量子理论与数学严谨性（四）

西格尔（1959，第 179 页）5) 首次提出，在处理无限量子系统时，代数方法的优美和强大之处便显而易见。根据 Segal (1959, pp. 5–6) 的说法，代数方法的关键优势在于，人们可以在抽象代数环境中工作，通过代数上的自同构可以从自由场中获得相互作用场，而这种自同构不必是酉可实现的。Segal 指出 (1959, p. 6)，冯·诺依曼 (1937) 在一份未发表的手稿中也有类似的想法（场动力学可以表示为代数上的自同构）。Segal 在回应 Haag (1955) 获得的结果时指出了这一优势，即自由场的场论表示与相互作用场的表示酉不等价。Haag 提到，冯·诺依曼 (1938) 很早就发现了“不同的”（酉不等价）表示。与西格尔的方法相反，哈格和卡斯特勒（1964）后来提出了一种不同的处理酉等价表示的方法，他们认为酉不等价表示在物理上是等价的。他们的物理等价概念基于费尔（Fell）的弱等价数学思想（Fell 1960）。

在指出他和冯·诺依曼在无限量子系统研究方法上的重要相似性之后，西格尔进行了重要的对比，这使得他的方法优于冯·诺依曼的方法。根据西格尔的说法，关键的数学区别在于冯·诺依曼研究的是弱闭算子环（即算子环相对于弱算子拓扑闭合）。而Segal研究的是一致闭环的算子（相对于一致拓扑闭合）。这一点至关重要，因为它具有以下基于操作性考量的解释性意义：

目前的直观想法大致是，唯一可测的场论变量是那些可以用有限个正则算子表示的变量，或者可以用这些算子一致近似的变量；其技术基础是一致闭环（更确切地说，是一个抽象的C∗-代数）。这两种近似的关键区别在于，一般来说，弱近似只具有解析意义，而一致近似可以进行操作性定义，即如果差值的最大值（谱值）较小，则两个可观测量接近（Segal 1959，第7页）。

最初，Segal 对冯·诺依曼代数和 C∗-代数在物理学方面相对优势的评估似乎得到了一篇开创性论文（Haag and Kastler 1964）的证实。除其他内容外，Haag 和 Kastler 引入了量子场论（QFT）代数方法的关键公理。他们还论证了酉不等价表示彼此“物理等价”。然而，使用物理等价性来证明酉不等价表示在物理上不显著的做法受到了质疑；参见 Kronz and Lupher (2005)、Lupher (2018) 和 Ruetsche (2011)。III 型因子冯·诺依曼代数在量子统计力学和量子场论的代数方法中的突出作用，进一步引发了人们对 Segal 评估的质疑。

代数方法已被证明在量子统计力学中最有效。它对于表征许多重要的宏观量子效应非常有用，包括结晶、铁磁性、超流体、结构相变、玻色-爱因斯坦凝聚态和超导性。Sewell (1986) 是一个很好的介绍性演讲，有关更高级的讨论，请参阅 Bratteli 和 Robinson (1979, 1981)。在代数量子统计力学中，无限量子系统通过指定可观测量的抽象代数来定义。然后可以使用特定状态将代数的具体表示指定为希尔伯特空间中的一组有界算子。代数统计力学中考虑的最重要的状态类型是平衡态，通常称为“KMS 状态”（因为它们是由物理学家 Kubo、Martin 和 Schwinger 首次引入的）。由于系统的每个可能的温度值τ至少有一个KMS状态，且0≤τ≤+∞，因此存在一个KMS状态连续统。给定一个自同构群，每个KMS状态对应于定义该系统的可观测量代数的一个表示，并且这些表示中的每一个都与其他表示酉不等价。事实证明，每个对应于KMS状态的表示都是一个因子：如果τ=0，则它是I型因子；如果τ=+∞，则它是II型因子；如果0<τ<+∞，则它是III型因子。因此，III型因子在代数量子统计力学中起着主导作用。

在代数量子场论中，可观测量的代数与闵可夫斯基时空的有界区域（以及通过某些限制操作包括所有时空的无界区域）相关联，这些区域需要满足局部结构的标准公理：同质性、局部性、协方差，可加性、正谱和唯一的不变真空态。由此产生的满足这些公理的闵可夫斯基时空中的代数集被称为局部代数网。已经证明，局部代数网的特殊子集——对应于各种类型的无界时空区域，例如管、单调（仅在一个方向上无限延伸的管）和楔——是III型因子。与有界时空区域相关的代数对物理学基础尤为重要，例如双锥（前向和后向光锥相交的有限区域）。根据过去三十年的研究成果，相对论量子场论的局部代数似乎是III型冯·诺依曼代数，更多详细信息请参见Halvorson（2007，第749-752页）。

解释性研究的一个重要领域是可观测量代数的酉不等价表示连续统的存在性。在哲学文献中，对酉不等价表示的态度截然不同。在（Wallace 2006）中，酉不等价表示不被认为是量子场论（QFT）的基础问题；而在Ruetsche (2011)、Lupher (2018) 以及 Kronz 和 Lupher (2005) 中，酉不等价表示被认为具有物理意义。

4.2 Wightman 的公理化量子场论

20 世纪 50 年代初，理论物理学家受到启发，将量子场论公理化。将理论公理化的一个动机（而非当前讨论的案例）是为了以完全严格的形式表达该理论，以便将该理论的表达标准化为成熟的概念体系。另一个动机，更类似于这个例子，就是要战略性地撤回到地基，以确定如何对一个因内部不一致而濒临倒塌的结构进行修复。然后，人们寻找能够穿透泥沼直抵坚固岩石的现有基础（基本公设），并尝试将其他基础置于有利位置。这样，就可以将上层建筑中得到适当支撑的元素（例如自由场的表征、色散关系等）与那些不可靠的元素区分开来。后者无需立即被推翻，最终可以从尚未构建的组件中获得支撑。简而言之，理论家希望公理化能够有效地区分合理性和无意义性，并希望这将有助于在发展成熟理论的道路上取得实质性进展。建立在严谨的数学框架之上是这项工作的重要组成部分，而这正是怀特曼对量子场论（QFT）进行公理化的一个关键方面。

20世纪50年代中期，Wightman（1956）利用Schwartz的分布理论发展出了一种量子场论的抽象表述，后来被称为公理量子场论。Wightman和Gårding（1964）以及Streater和Wightman（1964）的著作中提出了该表述的成熟表述。20世纪60年代末，Bogoliubov对其进行了进一步完善，他明确地将公理量子场论置于操纵的希尔伯特空间框架中（Bogoliubov等人，1975年，第256页）。如今，在公理化方法中，提出以下六个公设已成为标准：谱条件（不存在负能量或虚质量）、真空态（存在且唯一）、场的区域公理（量子场对应于算符值分布），变换律（受限非齐次洛伦兹群的场-算符（和态）空间中的幺正表示——“受限”表示排除反演，“非齐次”表示包含平移）、局部交换性（在类空分离区域进行的场测量互不干扰）、渐近完备性（散射矩阵是幺正的——该假设有时弱化为自由场多项式代数中真空态的循环性）。带约束的希尔伯特空间通过域公理进入公理框架，因此该公理将在下文中详细讨论。

在经典物理学中，场被表征为域上的标量（或矢量或张量）值函数ϕ(x)，该域对应于时空点的某个子集。在量子场论中，场是用算符而不是函数来表征的。场算符可以通过以正则方式对经典场函数进行量子化而从经典场函数中得到——参见 Mandl (1959, pp. 1-17)。为方便起见，下文中与 ϕ(x) 相关的场算符也用相同的表达式表示（因为下文仅讨论场算符）。与量子场论 (QFT) 相关的场算符过于奇异，难以视为现实，因此它们在各自的定义域上使用由良好函数空间（称为测试函数）的元素进行平滑处理。有许多不同的测试函数空间（Gelfand 和 Shilov 1977，第 4 章）。最初，公理量子场论 (QFT) 选择的测试函数空间是施瓦茨空间 Σ，该函数空间的元素在每个点处都有所有阶的偏导数，并且当 x→∞ 时，每个函数及其导数对于任何 n∈N 都比 x−n 下降得更快。后来发现，一些现实模型需要使用其他的测试函数空间。f∈Σ 的平滑场算符 ϕ[f] 被称为量子场算符，其定义如下：

ϕ[f]=∫d4xf(x)ϕ(x)。

测试函数 f(x) 与场算符 ϕ(x) 的乘积在场算符的定义域上进行积分，可以“平滑”场算符的定义域；更通俗的描述是，场在空间或时空中被“抹平”。公理化方法假设量子场算子 ϕ[f] 可以表示为可分希尔伯特空间 H 上的无界算子，并且 {ϕ[f]:f∈Σ}（与 ϕ(x) 相关的平滑场算子集）在 H 中具有稠密域 Ω。平滑场算子通常被称为算子值分布，这意味着对于每个 Φ,Ψ∈Ω，都有分布空间 Σx（Σ 的拓扑对偶）的一个元素可以等同于表达式 ⟨Φ∣ϕ[ ]∣Ψ⟩。如果 Ω′ 表示将 {ϕ[f]:f∈Σ} 元素的所有多项式应用于唯一真空态所获得的函数集，则上述公理意味着 Ω′ 在 H 中稠密（渐近完备性）且 Ω′⊂Ω（域公理）。 Ω 的元素对应于 {ϕ[f]:f∈Σ} 元素的可能状态。虽然目前为止只考虑了一个域，但该形式体系很容易推广到可数个域，并具有一组可数索引域算子 ϕk(x)——参见 (Streater and Wightman 1964)。

如前所述，绑定希尔伯特空间框架的适用性通过域公理体现出来。关于该公理，Wightman 给出了如下结论（用上面介绍的符号表示），与 Wightman 使用的略有不同）。

在理论的更高级阶段，人们可能希望在 Ω 中引入一个拓扑，使得 ϕ[f] 成为 Ω 到 Ω 的连续映射。这个拓扑很可能必须相当强。我们要强调的是，到目前为止，我们只要求当 Φ,Ψ 固定时，⟨Φ∣ϕ[f]∣Ψ⟩ 在 f 中连续；在 Ω 上引入合适的强拓扑之前，不能期望 Φ,Ψ 对具有连续性 (Wightman and Gårding 1964, p. 137)。

在 Bogoliubov 等人 (1975, p. 256) 的论文中，他们引入了一个拓扑来充当这个角色，尽管它是在 Ω′ 上而不是 Ω 上引入的。此后不久，他们断言，不难证明 Ω′ 相对于这个拓扑是一个完全核空间。这证明了他们在论文中先前提出的一个主张：

……正是对空间三重态 Ω⊂H⊂Ω∗ 的考虑，为构建线性算子的一般理论和正确表述量子场论的某些问题提供了自然的基础（Bogoliubov 等人，1975 年，第 34 页）。

请注意，他们将三重态 Ω⊂H⊂Ω∗ 称为“装配希尔伯特空间”。在上面介绍的术语中，他们实际上指的是盖尔芬德三重态 (Ω,H,Ωx) 或（等效地）相关的装配希尔伯特空间 (Ω,Ωx)。

最后，值得一提的是，场在代数量子场论中的地位与 Wightman 公理量子场论中的地位不同。在这两种方法中，场都是一个具有无限自由度的抽象系统。亚原子量子粒子是在特殊情况下出现的场效应。在代数量子场论中，还有进一步的抽象：最基本的实体是局部（和准局部）可观测量代数的元素，场是一个派生概念。“局部”一词表示受限于有限的时空区域，可观测量不被视为属于时空区域本身以外的任何实体的属性。“准局部”一词用于表示我们取所有有界时空区域的并集。简而言之，代数方法侧重于局部（或准局部）可观测量，并将场的概念视为派生概念；而公理化方法（如上所述）则将场的概念视为基本概念。事实上，代数方法的支持者通常将他们的理论称为“局域量子物理学”，以与场的概念保持距离。这两种方法是相辅相成的——它们并行发展，并通过类比相互影响（Wightman 1976）。有关这两种方法之间密切联系的讨论，请参阅Haag（1996，第106页）。

5 哲学问题

5.1 实用主义与公理化

大多数物理学家使用拉格朗日量子场论 (LQFT) 进行预测，这些预测在某些情况下已通过实验验证，并获得了极高的精度。然而，LQFT 被描述为“相互矛盾的数学思想的大杂烩”，未能对什么是量子场论模型提供清晰的数学描述 (Swanson 2017, pp. 1-2)。这些批评促使数学倾向的物理学家寻找量子场论的数学严谨表述。公理化的量子场论版本受到数学物理学家和大多数哲学家的青睐。凭借更高的数学严谨性，可以证明关于量子场论理论结构的结果，而无需考虑任何特定的拉格朗日量。公理量子场论 (QFT) 提供了清晰的概念框架，在此框架内可以提出精确的问题并解答解释性问题。QFT 主要有三种公理框架：怀特曼量子场论 (Wightman QFT)、奥斯特瓦尔德-施拉德量子场论 (Osterwalder-Schrader QFT) 和代数量子场论 (algebraic QFT)。怀特曼量子场论 (Wightman QFT) 的公理使用泛函分析和算子代数，并且更接近于线性量子场论 (LQFT)，因为其公理描述了作用于固定希尔伯特空间的协变场算子。奥斯特瓦尔德-施拉德公理使用泛函积分方法进行量子场论 (QFT)。代数量子场论 (QFT) 公理使用 C∗ 代数来建模局部可观测量。然而，公理量子场论 (QFT) 方法在构建经验充分的模型方面存在严重不足。与量子力学（其基于冯·诺依曼希尔伯特空间公式）具有正则数学框架不同，量子场论 (QFT) 没有正则数学框架。尽管量子力学存在一个规范的数学框架，但对该框架的诠释却多种多样，例如多世界理论、广义相对论、哥本哈根理论、玻姆理论等等。量子场论有两个层面需要解释：(1) 哪个量子场论框架应该成为这些基础性工作的重点（如果有的话）；以及 (2) 该优选框架应该如何解释。由于 (1) 涉及数学严谨性和实用性的问题，它与本文的重点直接相关。量子场论缺乏规范的表述，这可能会阻碍人们从量子场论中汲取任何形而上学或认识论的教训。

一种观点认为，这两种 QFT 方法，即数学上严格的公理方法和实用/经验上充分的 LQFT 方法，是相互竞争的研究项目（参见 David Wallace (2006, 2011) 和 Doreen Fraser (2009, 2011)），尽管 Swanson (2017) 认为它们不是相互竞争的项目。Fraser（2009，2011）认为，对量子场论（QFT）的解释应该基于量子场论（QFT）公理化公式的数学严谨方法。相比之下，Wallace（2006，2011）则认为，对量子场论（QFT）的解释应该基于线性量子场论（LQFT）。（Wallace在2006年将他偏爱的量子场论（QFT）框架称为传统量子场论（CQFT），但在2011年将其术语改为LQFT）。Swanson（2017）以及Egg、Lam和Oldofedi（2017）很好地概述了Fraser和Wallace之间的争论（更多分析请参见James Fraser 2016）。这场争论涵盖了量子场论（QFT）中的许多不同哲学主题，这使得准确界定双方论证的本质变得更加困难（关于这场争论的本质，请参见Egg、Lam和Oldofedi 2017）。一个问题是，由数学严谨性与经验充分性所建立的内部一致性的作用。Wallace 认为，LQFT 在经验上是充分的，因为它可以描述标准模型的力。LQFT 拥有一系列计算技术，包括微扰理论、路径积分和重正化群方法。对 LQFT 的一个批评是，它使用的计算技术在数学上不够严谨。Wallace 认为，重正化群方法将 LQFT 中的一种方法——微扰量子场论——置于数学严谨的基础上，并消除了公理化量子场论的主要动机。

5.1.1 微扰量子场论

以下是对微扰量子场论的粗略概述（更多详情请参阅 James Fraser 2016）。由于完全可解的自由量子场论模型在数学上比相互作用量子场论模型更易于处理，因此微扰量子场论将相互作用视为对自由拉格朗日量的扰动，并假设弱耦合。对于像量子色动力学这样的强耦合理论，这种理想化是行不通的。利用微扰理论，可以通过将S矩阵元素以耦合参数的形式展开幂级数来计算相互作用量子场论模型的近似解。然而，高阶项通常包含发散积分。通常，需要对高阶项进行重正化才能获得有限预测。发散积分的两个来源是红外（长距离、低能量）和紫外（短距离、高能量）发散。红外发散通常通过施加长距离截止或对动量积分设置一个较小的非零下限来处理。低动量下的急剧截止相当于将理论置于一个有限体积的盒子中。施加渐近边界条件并将可观测量限制为长距离“友好”可观测量也有助于红外发散。紫外发散通常通过施加动量截止来处理，以消除理论中的高动量模式。这相当于冻结任意短尺度场的变化。将系统置于具有有限间距的晶格上也有助于处理高动量。维度正则化，即将积分测度重新定义为分数维的范围，有助于处理红外和紫外发散。重正则化的最后一步是通过取连续极限（即移除高动量截止值）和无限体积极限（即移除低动量截止值）来移除截止值。希望极限定义明确，并且每个阶都有级数的有限表达式。James Fraser (2016) 指出了微扰量子场论 (QFT) 的三个问题。(1) 严谨性问题：微扰量子场论 (QFT) 在数学上并不严谨，这使得其难以分析和解释。(2) 一致性问题：微扰计算依赖于相互作用图像的存在，但 Haag 定理似乎表明相互作用图像并不存在。(3) 合理性问题：重正化缺乏物理依据，且显得有些随意。James Fraser 认为 (1) 和 (2) 不会对微扰量子场论 (QFT) 造成严重问题，因为它并非试图构建连续量子场论 (QFT) 模型。它构建的是近似的物理量，而不是需要解释为物理系统的数学结构。

Baker (2016) 和 Swanson (2017) 指出，连续量子场论 (LQFT) 做出了错误或未经证实的假设，例如微扰理论中某些无穷和的收敛性。 Dyson (1952) 提出了一个启发式论证，认为量子电动力学扰动级数不收敛。Baker 和 Swanson 也认为，使用长距离截断与宇宙学理论和天文观测相矛盾，因为后者认为宇宙在空间上是无限的。即使在可以正式应用扰动理论的弱耦合极限下，扰动量子场论何时能够准确地近似其底层物理仍不清楚。在相互作用的 ϕ4 理论中，当闵可夫斯基时空的维度小于 4 时，该理论非平凡；但当维度大于 4 时，重正化扰动级数渐近于自由场理论，即使它似乎描述了非平凡的相互作用。当维度为 4 时，如果其他技术假设成立，该理论也是平凡的（更多详情请参阅 Swanson 2017 (p. 3)）。