量子理论与数学严谨性（五）

5.1.2 量子场论中的路径积分

微扰量子场论中另一个涉及数学严谨性的问题是路径积分的使用。S矩阵幂级数展开包含动量空间上的积分，而路径积分/费曼图对计算很有帮助。关键概念是配分函数Z，它被定义为涉及作用量的函数积分，而作用量本身是拉格朗日量的积分。以下细节主要来自Hancox-Li (2017)。更具体地说，作用量是量子场的函数。作用量的函数积分涵盖时空中量子场值的所有可能组合。通俗地说，求和是对所有可能的场配置进行求和。正如Swanson (2017) 指出的那样，路径积分需要在无限维路径空间中选择一个测度，而这只有在特殊情况下才具有数学上的明确定义。例如，如果系统是在超立方晶格上建立的，则可以定义测度（参见 James Fraser 2016 的 1.2 节）。另一种获得明确定义的测度的方法是将注意力限制在有限维子空间内。但是，如果允许函数在短尺度上任意变化，则积分将不再具有明确定义（Wallace 2006，第 42 页）。所有关联函数（即场在不同时空点的真空状态期望值）都可以从配分函数 Z 推导出来。因此，给定 Z，就可以计算出所有与拉格朗日量相关的经验量，例如散射截面。求解 Z 相当于求解 LQFT。Z 可以用耦合常数的泰勒级数展开。完成此操作后，可能出现两种类型的发散：(1) 扰动级数的个别项可能发散，和/或 (2) 扰动级数本身发散，尽管该级数可能是渐近级数。为了处理 (1)，物理学家采取以下程序 (Hancox-Li 2017, pp. 344–345)：(i) 正则化，包括通过维度正则化、动量截断或使用格子公式来减少自由度；(ii) 添加反项来补偿 (i) 中的正则化。但这种构造纯粹是形式上的，而非数学上的定义。用于操纵拉格朗日量以及配分函数的规则尚未明确定义。

5.1.3 重正化群技术

Wallace (2011) 认为，重正化群技术克服了旧有重正化计算技术的数学缺陷（有关重正化群的更多细节，请参阅 Butterfield 和 Bouatta (2015)、Fraser (2016) 和 Hancox-Li (2015a, 2015b, 2017)）。Wallace 认为，重正化群方法使局部量子场论 (LQFT) 的数学严谨性达到了与其他理论物理领域相同的水平。它提供了一个坚实的理论框架，在粒子物理和凝聚态物理中具有丰富的解释力，因此公理化量子场论 (QFT) 的动力得到了解决。重正化群技术预设量子场论 (QFT) 在某些短尺度上会失效，但 LQFT 的经验内容对此类短尺度上的细节基本不敏感。 Doreen Fraser (2011) 认为重正化群方法有助于阐明 QFT 的经验内容，但重正化群对于 QFT 的理论内容并不重要，因为它没有告诉我们应该关注 LQFT 还是 AQFT。James Fraser (2016) 和 Hancox-Li (2015b) 认为，重正化群在量子场论中的作用远不止提供经验预测。重正化群为我们提供了研究不同能量尺度下物理系统行为的方法，即量子场论模型的性质如何依赖于或不依赖于小尺度结构。重正化群为微扰量子场论的成功提供了非微扰解释。Hancox-Li (2015b) 讨论了从事构造性量子场论的数学家如何利用误差界限控制良好的非微扰近似来证明紫外不动点的存在或不存在。Hancox-Li 认为，重正化群以非微扰的方式解释了微扰重正化。重正化群可以告诉我们某些拉格朗日量是否具有满足量子场论应满足的公理的紫外极限。因此，在构造性量子场论中使用重正化群可以提供额外的动力学信息（例如，某种动力学是否可以在连续时空中发生），而纯公理化方法则无法提供。

5.2 中间地带

Egg、Lam 和 Oldofredi (2017) 认为，Doreen Fraser 和 David Wallace 之间的主要分歧在于量子场论的定义本身。Fraser 将量子场论视为量子理论与狭义相对论的结合。如果像 Fraser 所主张的那样，量子场论 = 量子力学 + 狭义相对论，那么连续量子场论就无法满足该标准，因为它采用了违反庞加莱协方差的截断。对于 Wallace 来说，违反量子场论的庞加莱协方差并不那么令人担忧。由于引力不存在，量子场论并非真正的基础理论。Wallace 更感兴趣的是量子场论的近似真理如何告诉我们关于世界的真相。连续量子场论为我们提供了一个有效的本体论。重正化群告诉我们，在量子引力预期适用的高能区（即引力效应不可忽略的普朗克长度尺度）中，量子场论（QFT）是不可信的。根据华莱士的说法，如果引力的基本量子理论施加了某种真实的截断，通过截断违反庞加莱协变性可能不会造成太大影响。然而，还有其他选择可以考虑。

5.2.1 多元论方法

一些哲学家拒绝了华莱士和弗雷泽之间看似非此即彼的争论，转而接受更多元的观点。基于这些多元论观点，不同的量子场论表述可能适用于不同的哲学问题。贝克（2016）主张，在理想化不成问题的探究领域中，反量子场论（AQFT）或平行量子场论（LQFT）应该被信任。例如，如果要解释的领域是标准模型，那么平行量子场论就是合适的框架。 Swanson (2017) 分析了 LQFT、AQFT 和 Wightman QFT，并认为这三种方法互为补充，不存在深层次的不兼容性。LQFT 提供了各种强大的预测工具和解释模式。它可以解释规范场论、粒子物理的标准模型、弱核力、强核力以及电磁力。然而，这一系列计算技术并非全部在数学上都有明确的定义。LQFT 仅提供特定长度尺度的 QFT 理论，并且无法使用酉不等价表示，因为 LQFT 使用的截断使得所有表示都是有限维的，并且根据 Stone-von Neumann 定理酉等价。公理化 QFT 应该在所有长度尺度上提供对基本 QFT 的严格描述。但这与有效场论的观点相冲突，在有效场论中，量子场论仅对特定长度进行定义。但是，如果公理量子场论能够捕捉所有量子场论的共同点，那么有效场论也应该能够被它捕捉。公理量子场论对线性量子场论进行了精确的组织，但目前尚不清楚公理量子场论是否完全忠实于线性量子场论的图景。在公理方法中，怀特曼量子场论除了严格证明结构性结果（如PCT定理和自旋统计定理）外，还有许多用于构建量子场论具体模型的复杂工具。但怀特曼量子场论依赖于局部规范相关场算符，这些算符并不直接表示物理性质。反量子场论可能提供一种物理上更透明的无规范量子场论描述。它具有拓扑工具来定义使用酉不等价表示的温度、能量、电荷、粒子数等全局量。但反量子场论在构建模型方面存在困难。虽然低维量子场论 (LQFT) 在数学上更加无定形，但最近出现了一些代数构造的低维相互作用模型，这些模型没有已知的拉格朗日量，这表明反量子场论 (AQFT) 比 LQFT 更具通用性 (Swanson 2017, p. 5)。然而，LQFT 为构造性量子场论 (CCQFT) 提供了指导，使其能够正确地构建与粒子物理学家使用的拉格朗日量相对应的模型，并取得了巨大的经验成功 (Hancox-Li 2017, p. 353)。

5.2.2 构造性量子场论

构造性量子场论 (CCQFT) 试图通过严格构建 QFT 的特定相互作用模型来协调 LQFT 和公理化量子场论 (CCQFT)。它所构建的非平凡解被认为与粒子物理学家使用的拉格朗日量相对应。这确保了各种公理化系统能够通过 LQFT 的经验成功与世界建立物理联系。虽然构造性量子场论已经对一些维度小于4的模型实现了这一点，但对于粒子物理学家使用的4维拉格朗日量，它尚未实现。任何满足奥斯特瓦德-施拉德公理的模型都将自动满足怀特曼公理。构造性量子场论试图通过威克旋转从闵可夫斯基时空转移到欧几里得时空，从而构建路径积分的泛函积分测度（以下内容基于Hancox-Li (2017) 的第四部分）。在欧几里得场论中，以Z定义的施温格函数必须满足奥斯特瓦德-施拉德公理。Z的测度是快速递减函数施瓦茨空间上的高斯测度。 Osterwalder-Schrader 公理通过 Osterwalder-Schrader 重构定理与 Wightman 公理相关联，该定理指出，任何满足 Osterwalder-Schrader 公理的函数集都确定一个唯一的 Wightman 模型，该模型的 Schwinger 函数构成该集合。它允许建设性场论家利​​用欧几里得空间的优势来定义测度，同时确保他们构建的模型存在于闵可夫斯基时空中。仍然需要验证该解是否对应于物理学家为 LQFT 中的相应拉格朗日量推导的重正化扰动级数。挑战在于如何将数学上未明确定义的东西转化为数学上明确定义的东西，同时证明 LQFT 中的“解”可以通过与一组公理一致的东西来重现。这一点至关重要，因为正如 Swanson (2017) 指出的那样，尚不清楚微扰理论是否能够准确指导 LQFT 所描述的底层物理。这使得 Hancox-Li (2017) 认为，在构建严格的量子场论模型时，数学上不严谨的线性量子场论 (LQFT) 与构造性量子场论 (QFT) 的严格程序相关。这些模型对应于粒子物理学家感兴趣的拉格朗日量。因此，LQFT 可以解释量子场论的理论内容。

构造性量子场论的另一个工具是使用渐近级数，它可以告诉我们微扰级数渐近于哪个函数，而微扰量子场论不渐近于哪个函数。构造性量子场论试图确定运动方程非微扰解的一些性质，这些性质保证某些渐近展开式求和方法能够得到唯一解（更多详情参见 Hancox-Li 2017，第 349-350 页）。严格定义的配分函数 Z 是否渐近于重正化微扰级数？粗略地说，当级数的连续项能够越来越准确地描述函数的增长速度时，该函数渐近于级数展开式。函数与扰动级数的每一阶之间的差异大约很小。但是有许多不同的函数具有相同的渐近展开式。理想情况下，我们希望存在一个唯一的函数，因为这样就存在一个唯一的非扰动解。强渐近性的概念要求函数与级数的每一阶之间的差异小于渐近性的要求。强渐近级数唯一地确定一个函数。如果存在强渐近级数，则可以通过 Borel 求和从级数唯一地重建该函数。该级数的博雷尔变换通过将级数中每一项的系数除以该项阶数的阶乘，然后积分以恢复精确函数而得到。在构造性量子场论中，目标是将一个唯一函数与重正则化的扰动级数关联起来，某种博雷尔可和性是目前的主要候选，尽管博雷尔变换无法消除大阶发散。重正则化扰动级数的渐近行为对正则化的选择极其敏感，即使它似乎描述了非平凡的扰动，也使其渐近于自由场理论（更多详情请参阅 Swanson 2017，第 11 页）。