自动推理（六）

b1的 MX = XX的MX = XX，MX = XX的感觉，MX = xx的响应与x的响应相同，MX = xx的思想鸟MIS。 b2的 鸟类组成鸟类A和B如果a（bx）= cx，则为任何鸟x。 换句话说，C对X的响应与对B对X的响应的响应相同。 b3的 如果A对B是B是B的反应，鸟A喜欢鸟类; 也就是说，ab = b。 这是一个关于这个迷人的森林的两个事实： f1键 对于森林中的任何鸟类A和B有一只鸟C，它构成了它们。 f2键 森林里有一只模仿鸟。 有谣言是森林中的每只鸟都喜欢至少一只鸟，也有至少一只鸟不喜欢任何鸟。 当然，对读者的挑战当然是使用F1和F2来解决这些谣言，以及给定的定义（B1） - （B3）。 GLICKFELD和UPLBEEK 1986只需几秒钟即可使用使用发道，解调和归档的自动推理系统。 对于更具挑战性的问题，请考虑附加定义： 的b4 一只鸟是Egocentric如果它自己自己：EE = e。 b5 如果任何鸟类x和y下面的鸟类l是lark：（lx）y = x（yy）。 令人震惊的挑战我们对百灵区来说是一个最令人惊讶的事情：假设我们没有给出任何其他信息，除了森林含有一个百灵区。 然后，表明森林中至少一只鸟必须是自我密度的！ 下面我们提供了自动推理系统发现的证据中的突出步骤，其中（x，y）'代表'xy'，以及条款（2）和（3）是百灵区的定义和拒绝定理的定义; 右边的数字是发道的应用： 1。（x1 = x1） 2。（s（s（l，x1），x2）= s（x1，s（x2，x2）））） 3。 - （s（x1，x1）= x1） 6。（S（x1，s（s（l，s（x2，x2）），x2））= s（s（l，x1），s（x2，x2））））2 2 8。（S（x1，s（s（x2，x2），s（x2，x2）））= s（s（l，s（l，x1）），x2））2 2 9。（s（s（s（l，l），x1），x2）= s（s（x1，x1），s（x2，x2）））2 2 18。 - （s（l，s（l，s（l，s（l，l）），x1），x1）= s（s（l，s（x1，x1）），x1））6 3 6 9 8 8 19。[] 18 1 在统一中的应用下，（18）的左右手侧的近侧和右手侧面揭示了一个10-L鸟的发现，即一只10符号的鸟类，仅仅是百革表达的，这是一个强大的自心性候选者。 这一发现是令人兴奋的，因为粉碎的最短的EgoCentric L鸟类是长度为12.随后的自动推理系统运行了这一事实的证据以及另一种新的重要鸟类：一个可能的Egentric 8-L鸟！ 系统最终产生了22线的运行（具有多达50个符号的术语，不包括逗号和括号）的事实：（（LL）））（L（LL））确实是自闭症的。 当然，要问下一个的自然问题是还有其他8-l的EGEntric鸟类以及是否有较短的鸟类。 读者可能希望用纸和铅笔尝试这一点，但是，鉴于有429只这样的鸟类，尝试它可能更明智地用自动推理程序尝试（或结合）; 这两种方法都在Glickfeld和Upbeek 1986中探讨。为了更加正式，但不可否认的较多色彩缤纷，组合逻辑和Lambda-Conversion介绍读者称为Hindley＆Seldin 1986。 等等微积分 经典等效微积分中的公式使用句子变量和两个函数符号，E，用于等价。 微积分有两种推理规则，分离（Modus Ponens）和替代; 规则可以组合成凝结脱离的单个规则：从e（s，t）和r，其中sθ=rθ用mguθ获得tθ。 微积分可以用公式公开： e（x，x）（自反） e（e（x，y），e（y，x））（对称） e（e（x，y），e（e（y，z），e（x，z）））（传递性） 我们可以分配反射性，因为它可从其他两种公式中衍生来源。 这使得减少到两个的公理数量以及要问的自然问题是等等等微积分是否存在单个公理。 1933年，Łukasiewicz发现了三个长度十一体的公式，每个十一个的公式可以充当微积分的单一公理 - 这是其中之一：E（e（x，y），e（e（z，y），e（x，z））） - 和他还表明，没有较短的单一公理。 随着时间的推移，发现其他单一的单一公理的长度为11，并通过Meredith，Kalman和Peterson的增加而增加的列表，其中13个公式，其中13个公式是单一公理和一个具有尚未确定状态的公式：公式xcb = e（x，e（e（e（x，y），e（z，y）），z）））。 （实际上，该名单增长到18公式，但WOS，Winker，Veroff，Smith＆Henschen 1983减少了14.）抵抗各种研究人员的激烈研究，它仍然是多年的第14条公式XCB的持续问题用于等级微积分的单一公理（Peterson 1977）。 以肯定的方式回答问题的一种方法是表示13个已知的单个公理中的至少一个是遍布XCB的; 另一种方法是从XCB获得3-Axiom Set（E1） - （E3）。 虽然WOS，Ulrich＆Fitelson 2002拍摄于前者，但他们的攻击线集中在后者上，最具挑战性的任务是证明对称性。 在强大的自动化推理计划的协助下，他们在开放问题上进行了一项协调一致，持续和非常激进的攻击。 （他们的文章有时会像从前线上的军事简报一样读出！）对于更简单的问题，可以自动通过推理程序找到证明; 更深入，更具有挑战性的人，就像手头的那样需要用户的指导。 推理工具的无情应用涉及在lemmas的环境中涉及lemmas作为目标的建设以及策略的阿森纳的部署，包括支持，前向和向后加州，引理术，方程式复杂性，暗示战略，比例策略，一期避免，水平饱和等。 经过大量的努力和CPU时间，打开的问题最终屈服于男性和机器的综合努力，并发现了61步证明对称性，随后在10个凝结脱离的应用后进行过渡。 随后使用解调阻塞运行定理报告，即所谓的CRAMMPING策略提供更短的证据。 以下是其25步证据的最后一行，在这种情况下，在这种情况下首先证明转运性： 123 [超，51,106,122] p（e（e（e（e（x，y），e（z，y）），z），x））。 124 [超，51,53,123] p（e（e（e（e（e（e（e（x，y），e（z，y））， z），x），u），e（v，u）），v））。 125 [超，51,124,123] p（e（e（e（x，y），x），y））。 127 [超，51,124,108] p（e（e（e（e（x，e（e（e（x，y），e（z，y）） ，z）），e（e（e（e（e（u，v），e（w，v）），w），u）， v6发动机）），v7），e（v6发动机，v7）））。 128 [超，51,127,123] p（e（e（x，y），e（e（y，z），e（x，z））））。 130 [超，51,128,125] p（e（e（x，y），e（e（e（z，x），z），y）））。 131 [超，51,128,130] p（e（e（e（e（e（x，y），x），z），u）， e（e（y，z），u）））。 132 [超，51,131,123] p（e（e（x，y），e（y，x）））。 通过一种有效的方法和一种策略，包括以关键的方式包括自动推理计划的协助，对等效计算的最短单一公理的搜索结束。 计算形而上学 Fitelson＆Zalta 2007年，Oppenheimer＆Zalta 2011年，Alama，Oppenheimer，＆Zalta 2015描述了在计算形而上学中的自动推理的几种应用。 通过使用Prover9，MACE4，电子谚语和悖论等程序在自动推理环境中代表自动推理环境中的正式形而上学索赔，研究了形而上学争论的逻辑状态。 在合适的公理和场所形式化之后，模型查找器程序MEACE4用于帮助验证它们的一致性。 然后，使用Prover9，柏拉图形式理论的许多定理自动生成证明，可能是可能的世界理论的二十五个基本定理，莱布尼兹在1690年和他的未发布文件中描述的定理模态形而上学，以及全自动建设圣安塞姆本体论论。 在后一申请中，Saint Anselm在Oppenheimer＆Zalta 2011中理解，因为已经找到了一种推断上帝的存在，而不是推断上帝的现状，从而从不仅仅是推动上帝的现实。 这允许正式化，没有模态运算符，涉及潜在的描述逻辑，三个非逻辑房屋以及上帝的定义。 以下是在形式化中的两个关键定义，如prover9所输入，有助于表达上帝的概念： none_greater的定义： 所有x（对象（x） - >（ex1（none_greater，x）< - > （ex1（可想象，x）和 - （存在y（对象（y）＆ex2（greater_than，y，x）＆ ex1（想象，y））））））。 上帝的定义： is_the（g，none_greater）。 在Prover9中代表的部分挑战这些和来自公理形而上学的其他陈述是为了规避一些谚语的语言局限性。 例如，Prover9没有明确的描述，因此必须在Prover9现有的一阶逻辑方面表达这种和二阶概念的陈述。 但回归值得投资以来，箴言9不仅交付了ex1（e，g）的证据 - 只有一个，只有一个上帝 - 但是额外的奖金。 近期检验输出提供了自动定理箴言的另一个例子“宣传”其用户，揭示了一些逻辑机器实际上是冗余的：证明只能使用描述理论的两个逻辑定理（称为“定理2”和“他们的文章中的”定理3“），其中一个非逻辑房屋（称为”前提2“），以及上帝的定义。 我们不禁在此处包含Prover9的更短的证据，写入标准逻辑的更优雅的符号（来自Oppenheimer＆Zalta 2011）： 1。~~！ιxφ1。假设，用于还原 2。∃y（gyιxφ1＆cy）从（1），由前提2和MP 3。ghιxφ1＆ch。从（2），∃e，'h'任意 4。ghιxφ1。来自（3），by＆e 5。∃y（y =ιxφ1）从（4），通过描述理论，定理3 6。cιxφ1＆＆thy（gyιxφ1＆cy）从（5），通过描述理论，定理2 7。~yy（gyιxφ1＆cy）从（6），by＆e 8。e！ιxφ1。来自（1），（2），（7），通过还原 9。e！g。从（8），通过'g'的定义 在与圣安塞姆的传统相同，哥德尔还提供了上帝存在的本体证明（Gödel1970，Scott 1972）。 两者之间的一个重要差异是哥德尔的使用模态运营商代表了形而上学的可能性和必要性，当然，他使用符号逻辑的使用以增加推理精度。 在他的证据中，哥德尔首先使用两个公理构成“积极财产”的概念，他介绍了一个定义，说明“像上帝一样拥有所有积极的属性”。 这是足够的逻辑机制，以证明是一个定理的上帝存在的可能性，◊∃xg（x）; 三个更多的公理和两种附加定义允许哥德尔进一步证明他不仅仅是上帝存在，∃xg（x），但这是必要的，◻∃xg（x）。 Gödel的证据是使用模态运算符和对属性量化的高阶模态逻辑（HOML）的形式主义。 哥德尔从未发表过他的证据，但他与Dana Scott分享了那些在下面提供的版本的达纳·斯科特（Benzmüller＆Paleo 2014）以及其英文注释，以帮助读者提出其预期的解释： Axiom A1 ∀φ[p（~φ）≡~p（φ）] 属性或其否定是积极的，但不是两者） Axiom A2 ∀φ∀ψ[（p（φ）∧◻∀x[φ（x）→ψ（x）]）⊃p（ψ）] 一个必然被积极财产暗示的财产是积极的 定理T1 ∀φ[p（φ）⊃◊∃xφ（x）] 可能是阳性性质 定义d1 g（x）≡∀φ[p（φ）⊃φ（x）] 像上帝的身份拥有所有积极的财产 Axiom A3 p（g） 上帝样的财产是积极的 推论c ◊∃xg（x） 可能，上帝存在 Axiom A4 ∀φ[p（φ）⊃◻p（φ）] 正性质必须是正的 定义d2 φessx≡φ（x）∧∀ψ（ψ（x）⊃◻∀y（φ（y）⊃ψ（y））） 个人的本质是它拥有的财产 必然暗示其任何属性 定理T2 ∀x[g（x）⊃gessx] 上帝的样子是任何上帝的存在的本质 定义d3 东北（x）≡∀φ[φessx⊃◻∃yφ（y）] 必要的个人是必要的 所有本质的举例 Axiom A5 p（东北） 必要的存在是一个积极的财产 定理T3 ◻∃xg（x） 必然，上帝存在 最近，该证据已被分析到诸如自动定理普罗瓦尔的自动定理普通的Benzmüller和Paleo 2014的前所未有的细节和精确度。 这些作者面临的主要挑战是缺乏基于HOML的定理先词，可以执行工作，但这是通过将逻辑嵌入已经由Leo-II等现有定理普通的经典高阶逻辑（HOL）中的逻辑来规避，satallax和反模特查找器nitpick。 句法和语义嵌入的细节在其纸上给出，它包括通过映射，扩展和β-oppling编码Homl公式作为HOL谓词。 映射关联主页α，术语Sα，术语Sα和逻辑运算符θ，具有相应的HOL“凸起”类型⌈α⌉，录制的术语⌈sα⌉，录制的逻辑运算符θ∞。 如果μ和ο分别是单个和布尔值的类型，那么⌈μ⌉=μ和⌈ο⌉⌈ο⌉=σ，其中σ是ι→ο与ι为ι的shorthand→，作为可能的世界的类型; 至于功能类型，⌈β→γ⌉=⌈β⌉。 出于型号术语，由于以下示例说明：以下示例： ⌈∃（μ→ο）→οxμ.gμ→οx⌉=⌈∃（μ→ο）→ο⌉⌈xμ.gμ→οx⌉ =⌈∃（μ→ο）→ο⌉⌈xμ⌉.⌈gμ→ο⌉⌈x⌉ =∃ ∙ ⌈（μ→ο）→ο⌉ x⌈μ⌉.g⌈μ→ο⌉x =∃ ∙ （μ→σ）→σ xμ.gμ→σx 类型凸起的逻辑连接，θ，在下面定义，其中R是与Homl的可访问性关系相关联的HOL中的新常量符号： 〜 ∙ σ→σ =λsσλwι~（sw） ∨ ∙ σ→σ→σ =λsσλtσλwι（sw∨tv） ∀ ∙ （α→σ）→σ =λsα→σλwι∀xαsxw ◻ ∙ σ→σ =λsσλwι∀uι.~（rι→ι→οwu）∨su） 其他连接可以以通常的方式定义。 有效性表示为λ-term，λι→ο∀wιsw，当应用于术语sσ时，我们写入[sσ]。 例如，在嵌入下，证明是上帝存在的可能性，◊ο→（μ→ο）→οxμ.gμ→→xx，以证明其在Hol中的有效性：[◊ ∙ σ→σ ∃ ∙ （μ→σ）→σ xμ.gμ→σx]μ→ο。 为了证明，在送送之前，在所谓的THF0语法（Sutcliffe＆Benzmüller2010）中，编码类型升高的HOL表达式[xμ.gμ→Σx]，以及以上一组平等规则，用于完成证明的普通： THF（CORC，猜想， （v @（mdia @（mexists_ind @ ^ [x：mu]： (g @ X)))))). Benzmüller＆Paleo 2014的证据在此介绍，包括公理和定义以及其四个主要结果-T1，C，T2，T3-的衍生方式，这些型在装饰类型的高阶逻辑符号中写入嵌入而导致。 校对步骤未完全扩展 - 注意类型录制的连接 - 以及推理移动不会分解为较低的细节。 从伯特兰罗素（Urquhart 1994）借用一句话，这是为了备用“一种恶心”的读者，即完全详细的自动化证明会导致： a1 [∀∙φμ→σ.p（μ→σ）→σ（λxμ.~∙φx））≡∙〜∙pφ]公理 A2。[φμ→σ.∀→Σ。（p（μ→σ）→σφxμ。（φx⊃））⊃ψ]公理 T1。[∀φμ→Σ.p（μ→σ）→xμ.φx] A1，A2（k） d1的gμ→σ=λxμ.∀∙φμ→σ.p（μ→σ）→σφ⊃∙φx定义 3号[p（μ→σ）→σgμ→σ]公理 c。[◊∙∃∙xμ.gμ→Σx] T1，D1，A3（在K） 页a4 [∀∙φμ→σ.p（μ→σ）→σφ⊃∙◻∙pφ]公理 D2。ESS（μ→σ）→μ→σ=λφμ→σ.λxμ.Φx∧∀ψμψμ→σ。（φy⊃∙ψy））））定义 T2。[∀∙xμ.gμ→σx⊃（μ→σ）→μ→Σgx] A1，D1，A4，D2（在k中） 维生素d3neμ→σ=λxμ.∀∙φμ→σ。（essφx⊃∙◻∙∃∙yμ.φy）定义 5号[p（μ→σ）→σneμ→σ]公理 T3。[∃xμ.gμ→Σx] D1，C，T2，D3，A5（在KB中） 除了帮助完成证明之外，在寻找一些新结果的情况下，自动定理普通也非常有助于。 首先，通过证明自我差异成为每个实体的基本属性，哥伦布尔的原始假设显示出不一致; 由于Dana Scott而重新制定了本质的定义 - 这涉及在定义中添加缺失的结合，φx - 由Nitpick显示为一致。 其次，Leo-II和SatAllax管理仅使用逻辑系统K证明C，T1和T2，而且，Nitpick在K中找到了T3的计数器模型，从而表明需要更多的逻辑功率来完成其余的证据。 三，使用Leo-II和Satallax，表明逻辑系统KB（带有Brouwer Axiom的系统K）足以建立上帝存在的必要性，◻xμ.gμ→σx，这是一个双重-Win用于自动推理：逻辑经济的收益，以及有效地解除了对哥德尔证据的重大批评的更深层次的哲学结果，即他使用更强的逻辑系统S5。 第四，作者还证明了KB：