自动推理（七）

（∀∙φμ→σ.∀∙xμ。（gμ→σx⊃∙（〜∙（p（μ→σ）→σφ）⊃∙〜∙（φx）））

以及：

∀∙xμ.∀∙yμ。（gμ→σx⊃∙（gμ→σy⊃∙x =∙y）），

也就是说，上帝是完美无瑕的，一门主义分别持有。 此时，说这些结果中的任何一个都足以使自动推理在精确的哲学中的应用。 现在，对于坏消息之后的好消息：第五，公式sσ⊃也可以正式得出，因为它意味着没有偶然的真理，即确定的一切，即没有自由意志。 然而，基于合适的人和安德森的内在论证的变体（Fuenmayor＆Benzmüller2017，合适的2002，Anderson 1990），已经解决了该问题。

摘要对象理论（AOT）是抽象物体的形而上学理论（Zalta 1983）。 抽象对象是科学理论预设的对象：数字，自然法律，属性，事态，可能性等。AOT在定义为o的普通物体之间取出基本区别。x =df◊e！x和抽象对象定义为a！x =df¬◊e！x。 AOT还提供了两个独特的预测模式：示例（FX，更通常FX1 ... XN）和编码（XF，'x编码F'，更通常X1 ... XNF）。 AOT在没有身份的情况下添加到2nd阶S5量化的模态逻辑，延伸了与明确的描述ιxφ，lambda表达式λx1...xnφ*（其中φ*表示不编码亚单晶），以及复杂术语的免费逻辑（Zalta 1983，Zalta 1988）。 AOT的关键原理是对抽象物体的理解，

∃x（一个！x＆∀f（xf≡φ））

没有免费x在φ中，以及经典λ转换，

[λy1...ynφ*]的x1 ...xn≡φ*（的x1 / y1，...，xn / yn）

在φ*中没有描述。 这些意味着对关系的理解，

∃fn◻∀x1... xn（fnx1 ...xn≡φ*）

在φ*中没有描述。 其他原则包括

o！x→◻¬∃fxf

◊xf→◻xf

o！x＆o！y→（x = y→◻∀f（fx≡fy））

一个！x和一个！y→（x = y→◻∀f（xf≡yf））

和ιx（a！x＆∀f（xf≡φ））始终定义。 为了给予AOT的表现力和应用的感觉，这里是AOT将形而上学实体定义为抽象对象并获得有趣的结果的一些示例（Zalta 2018）：

柏拉图的形式（例如三角形）

φt=dfιx（一个！x＆∀f（xf≡◻∀x（tx→fx）））

莱布尼兹的概念（例如亚历山大）

ca =dfιx（一个！x＆∀f（xf≡fa））

弗雷格数字

0 =dfιx（一个！x＆∀f（xf≡¬∃yfy））

1 =dfιx（一个！x＆∀f（xf≡∃y（fy＆∀z（fz→z = y））））

等。

真理价值观

⊤=dfιx（一个！x＆∀f（xf≡∃p（p＆f = [λyp]）））

⊥=dfιx（一个！x＆∀f（xf≡∃p（¬p＆f = [λyp]）））

情况和可能的世界

情况（x）=df∀f（xf→∃p（f = [λyp]））

s⊨p= DFS的[λyp]

可能的世界（x）=df◊∀p（（səp）≡p），从中可以派生Leibniz的原则，如果在所有世界，⊢◻p≡∀w（w⊨p）中，并且刘易斯的原则，这是为了实现世界可能是，有一个世界就是这样，⊢◊p≡∃w（w⊨p）

理论数学对象（例如，ZF中的空设置）

∅zf=dfιx（一个！x＆∀f（xf≡zf⊨f∅））

AOT在不断发展，并且有关该理论的进一步细节，读者称为其最新制剂之一（Zalta 2022）。 通过使用一阶系统Prover9，Fitelson和Zalta（Fitelson＆Zalta 2007）的AOT计算分析是由Fitelson和Zalta（Fitelson＆Zalta 2007）开创的。 使用一阶报道进行诸如AOT的高阶理论的计算调查具有固有的局限性，并且优选在更高阶证报的计算框架内工作。 然而，AOT是基于逻辑基础，与经典高阶逻辑显着不同，理想情况下，人们希望与AOT本身的定理先驱合作。 当然，这是一个需要建立这样的箴言，这不是琐碎的任务。 但是，在很大程度上可以在很大程度上建造这样一个系统，而不是将AOT的浅语义嵌入（SSE）置于现有的高阶箴言中。 Isabelle / Hol，研究人员可以忠实地代表AOT的公理和演绎系统（Benzmüller2019，Kirchner 2021）。 在此设置中，Isabelle / HOL充当SSE的Metalogical框架，为AOT提供“自定义”定理先驱。 但总有一个折衷，建立嵌入带来了自己的一系列挑战。 其中的关键是，可以在关系类型理论中容易地配制AOT的各个方面，但是当在Isabelle / Hol的潜在功能类型理论中重新配制时，呈现挑战。 例如，除非一个人愿意面对矛盾，否则AOT中的每个配方都可以转换为λ-术语！ 通过一些聪明才智，可以使用Isabelle / HOL的功能性微积分来定义一些复杂类型，以帮助构建AOT的ACzel模型，然后在自由逻辑的上下文中解释所有复杂类型的违规λ表达式。 底线：然后可以表达AOT的每种配方，但不是所有这些术语表示; 因此，保留了一致性。

Isabelle / HOL中AOT的SSE的关键方面包括使用Aczel模型的嵌入模型构造，再现AOT的语法，扩展伊莎贝尔的“外部”语法（以处理AOT的某些挑战），代表AOT的抽象语义，指定Hilbertε运算符的逻辑，代表现实运算符的逻辑，代表过度增值，导出Axiom系统和演绎系统以及其他考虑因素 - 见Kirchner 2021详细信息。 这些中的突出者是使用抽象层（Kirchner 2017），其在确定从目标理论的演绎系统（这里的AOT）的陈述中起着重要作用。 通过证明AOT的公理和扣除规则在SSE中进行语义有效来构造抽象层; 在此之后，所有后续推理（如例如，Salgehammer，Isabelle / Hol的自动推理的主要工具）仅限于依靠派生的公理和扣除规则本身，并且可能不参考底层语义。 这项工作占地约25,000行的伊莎贝尔/霍尔：约5,000行，以建立所需的模型结构和语义以及AOT的语法表示，以及AOT中逻辑推理的剩余20,000。 在嵌入之下，AOT的计算探索可以以更“原生”方式进行，如下面在Isabelle / HOL表示法中的9线证明中所示，没有对象是普通和抽象的（Kirchner 2021）：

7571。aot_theorem分区：¬∃x（o！x＆a！x）❭

7572。证明（规则“RAA-COR：2”）

7573。aot_assume∃x（o！x＆a！x）❭

7574。然后aot_obtain a where o o！a＆a！a❭

7575。用爆炸使用“∃e”[旋转]

7576。AT_THUS❬＆¬P❭p

7577。（Metis“＆E”（1）“结合简化”（2）“≡e”（1）

7578。“Modus-tollens：1”“OA-unstiles：2”“Raa-Cor：3”）

7579。QED

另外1,000行的这种计算衍生导致结果导致存在不同的抽象对象，其不能通过举例来区分：∃x∃y（a！x＆a！y＆x y＆u＆∀f（fx≡fy））。 更多的衍生土地是一个重要的新发现，它提供了分析方法，以确定Aλ-表达式是否在AOT中表示：[λxφ]≡◻∀x∀y（∀f（fx≡fy）→（φίφ（y / x））与φ不自由，而且，作为推子，[λxφ]→∀x∀y（∀f（fx≡fy）→◻（φνφ（y / x）），Y不自由φ。证明后者在SSE的上下文中，在下面给出了Isabelle / Hol的20行：

8761。AOT_THEREM“KIRCHNER-THM-COR：1”：

8762。❬[λxφ{x}]→∀x∀y（∀f（[f]x∈[f] y）→□（φ{x}≡φ{y}））❭

8763。证明（规则“→i”;规则Gen;规则Gen;规则“→I”）

8764。修复x y

8765。aot_assume❬[λxφ{x}]↓

8766。AOT_HENCE❬□∀x∀y（∀f（[f]x∈[f] y）→（φ{x}≡φ{y}））❭

8767。（规则“Kirchner-thm：1”[然后“≡e”（1）]）

8768。AOT_HUNCE∀x□∀y（∀f（[f]x∈[f] y）→（φ{x}≡φ{y}））❭

8769。用爆炸使用CBF [然后“→e”]

8770。AOT_HENCE❬□∀y（∀f（[f]x∈[f] y）→（φ{x} =φ{y}））❭

8771。用爆炸使用“∀e”

8772。AOT_HENCE∀y□（∀f（[F]x∈[f] y）→（φ{x}≡φ{y}））❭

8773。用爆炸使用CBF [然后“→e”]

8774。AOT_HENCE❬（∀f（[f]x∈[f] y）→（φ{x}≡φ{y}））❭

8775。用爆炸使用“∀e”

8776。AOT_HENCE❬□∀f（[f]x∈[f] y）→□（φ{x}≡φ{y}）❭

8777。使用“qml：1”[axiom_inst]“vdash-属性：6”通过blast

8778。此外，aot_assume（[F] x≡[f] y）❭

8779。最终AOT_SHOW❬□（φ{x}≡φ{y}）❭通过BLAST使用“→E”“IND-NEC”

8780。QED

在建立关于基本逻辑对象的进一步结果之后，受限制变量，扩展关系理解和可能的世界，然后可以将计算探索重定向到Dedekind-Peano算法，其中其自然数的假设在自由的系统中正式得出数学原始概念和数学公理 - 弗赖尔格的定理 - 从而支持AOT可以为数学对象提供哲学接地的哲学基础。 Kirchner 2021中的计算方法由先前在齐尔塔1999中给出的证据轮廓引导，但现在在伊莎贝尔/霍尔中重建，以完整的细节和形式产生假设的衍生。

假设1

aot_theorem“0-n”：❬[ℕ] 0❭

假设2

AOT_Theorem“0-pred”：¬∃n[ℙ] n 0❭

假设3

aot_theorem“no-scare-succ”：∀n∀m∀k（[ℙ] nk＆[ℙ] mk→n = m）❭

假设4

aot_theorem“th-succ”：∀n∃！m [ℙ] nm❭

假设5

AOT_theorem诱导：∀f（[f] 0＆∀n∀m（[ℙ] nm→（[f] n→[f] m））→∀n[f] n）❭

上述计算探索是使用AOT的二阶片段完成的，但是SSE可以扩展到全高阶逻辑AOT（KIRCHNER 2021），在那里它可以应用于理论数学的分析。 重要的是要强调在现有谚语的高阶逻辑内嵌入目标理论的强调，这不仅仅是一个理论的形式化：证书允许在目标理论内发现新结果，如上所述，以及目标理论本身的研究和进一步发展作为将理论放在更坚定的基础上，例如， 避免已知的悖论（Zalta 2018，Kirchner 2021）。 这里描述的AOT的计算分析也可以解释为嵌入理论，简单和复杂的相似概念的另一个测试，在更高阶透明度的框架内。 它说明了这种方法的力量和便利性，自动推理的研究人员可能希望在其定述努力中使用SSE来认真考虑（Benzmüller2019）。

莱布尼兹的梦想是拥有纪念碑界限和微积分率，这将使我们在几何和分析中的方式与我们的形而上学和道德的推理 也就是说，为了解决哲学家之间的争议，作为会计师所做的：“在手中拿笔，坐在算盘上，如果他们想要的话，互相打电话给彼此：让我们计算！” 从上面的自动推理中的应用，一个人会同意研究人员，当他们暗示这些结果在某种程度上在某种程度上实现了莱布尼兹的计算形而上学（Fitelson＆Zalta 2007，Benzmüller和Paleo 2014）。

程序认识论

计算形而上学的工作在哲学中的其他地区有影响，例如例如， 认识论。 一个显而易见的例子是我们改善了我们推理的错误（计算地）检测和纠正时的误读状态。 此外，自动推理系统产生的证明可以帮助我们更好地了解复杂的论点，并更快地看到通过引入或删除或公理 - 一种“什么分析的原理”修改我们的理论的后果。 为了说明，为了简化AOT的基础，可以尝试在理解原理中去除限制，但是可以示出这一移动以非微不足道的方式通向悖论（Kirchner 2021）。 找到给定理论的替代公理组可以帮助减少证明荟萃理论结果如健全的认识论载荷。 简而言之，“使用计算技术的一个很大的好处是，使我们能够确切地看到我们理论的承诺”（Zalta 2018）。

作为在认识学中的直接应用，非单调定理先驱可以为“计算实验室”提供基础，在其中探索和实验不同模型的人工合理性; 定理箴言可用于装备具有推理引擎的人工理性剂，以推理和获取有关世界的信息。 在这种程序认识学中，理性剂是不可取的（即非单调的），即新的推理导致接受新信念，而且还要在新信息存在下偿还先前持有的信念。 在任何给定的时间点，代理人持有一套正当的信念，但该组是打开的修订，并且在连续的通量集中，随着进一步推理的进一步推理。 这种型号更好地反映了我们公认的合理概念而不是一定是所有信仰所在的模型，即曾经达到的信念从未撤回。 实际上，一套认证的信念可以被视为合理的信念“在限制”中，即代理人在寻求关于其世界的真正知识的真正知识中的最终认识目标。 （Pollock 1995）提供以下定义：

一个集合是令人难以识别的IFF，IFF有一个有效的可计算函数f，使得对于每个n，f（n）是递归组，并且以下两个条件保持

1。

（∀x）（x∈a→（∃n）（∀m> n）x∈f（是））2。

（∀x）（x∉a→（∃n）（∀m> n）x∉f（是））

为了比较概念，如果A递归令人识别，则存在一系列递归集AI，使得每个AI是AI的每个AI的子集，每个AI在单调上生长，接近极限。 但是，如果A才能易于令人令人令人识别，则AI仍然在极限中接近A，但可能不是从上方和下方间歇地接近A的子集。 奥斯卡项目（Pollock 1989）的目标是构建一般的理性理论，并在基于人工计算机的理性剂中实现它。 因此，系统使用可行的自动化推理员，根据Maxim运行，所以保证信仰的一套应该是可辨认的令人令人难以理解的。 奥斯卡一直在制作一段时间，自动化非单调推理的应用也已被用来将其能力扩展到蔑视的理性，这些能力是缺乏的感知和时间，因果关系和决策 - 理论规划（Pollock 2006）。

4.7数学

自动推理的主要目标之一是数学自动化。 此时早期尝试是Automath（De Bruijn 1968），这是用于检查数学证据和整本书的正确性的第一台计算机系统，包括Landau的Grundlagen Der分析（Van Benthem Jutting 1977）。 Automath已被更现代化和能力的系统取代，最符合的是MIZAR。 Mizar System（Trybulec 1979，Muzalewski 1993）基于Tarski-Grothendieck设置理论，如自动化，包括一种正式的语言，用于编写数学定理及其证明。 一旦用语言编写证据，可以通过MIZAR自动检查它以进行正确检查。 Mizar证明是正式的，但非常可读，可以参考定义和先前被证明的定理，并且一旦正式检查，可以添加到越来越多的mizar数学库（MML）（BanceRek＆Rudnicki 2003，BanceRek等人。2018）。 截至2018年6月，MML包含大约12,000个定义和59,000定理。 MIZAR语言是数学文本中使用的标准英语的子集，高度结构化，以确保生产严格和语义明确的文本。 这是一个有理数XY存在的样本证明，其中x和y是不合理的：

定理T2：

ex x，y st x是不合理的，y是不合理的＆x。^。y是理性的

证明

设置w =√2;

H1：W通过INT_2：44，T1不合理;

用公理0：22，Square_1：84;

然后（w。^。w）。^。w = w。^。（w•w）按电源：38

。= w。^。（w2）按方形_1：58

。= w。^。2 by square_1：88

。= W2通过电源：53

。= 2 by Square_1：88;

然后h2 :( w。^。w）。^。W由Rat_1：8是理性的;

每个病例;

假设h3：w。^。W是理性的;

拿w，w;

因此，H1，H3的论文;

假设h4：w。^。w是不合理的;

拿w. ^。w，w;

因此，H1，H2，H4的论文;

结束;

MIZAR检查的证据示例包括HAHN-BANACH定理，BRORWER定点定理，kőnig的引理，乔丹曲线定理和Gödel的完整性定理。 Rudnicki（2004）讨论了正式化Witt对Wedderburn定理证明的挑战：每个有限分区环都是换向的。 使用MML中可用的现有形式化，但证明需要进一步进入图书馆的证据，以将代数，复数，整数，团结，紧固多项式的根系的概念和事实正式化，并且多项式一般。 需要几个月的时间来向MML库提供缺失的材料，但是一旦到位，证明就在几天内正式化并检查。 显然，正式的数学事实和定义的存储库是更高级应用的先决条件。 Qed Manifesto（Boyer等，1994年，Wiedijk 2007）有很多工作要做：Mizar拥有最大的这样的存储库，但即使经过30年的工作“而言，它就会尊重成立数学的身体。（Rudnicki 2004）。 最后一句话应被解释为呼吁增加数学自动化方面的努力。