信念的形式化表征（二）
2. 完全信念的表征
认识论中一个重要的传统认为信念要么全有，要么全无。根据这一观点，主体对一个句子或命题可以采取三种信念态度：要么相信 α 但不相信 ¬α；要么相信 ¬α 但不相信 α；要么既不相信 α 也不相信 ¬α。在第一种情况下，我们简单地说她完全相信 α；在第二种情况下，我们说她完全不相信 α；在第三种情况下，我们说她对 α 和 ¬α 暂不做判断。主体完全相信 α 和 ¬α 或许在心理上也是可能的。由于大多数理论家都认为她不应该这样做，因此我们不为这种情况引入特殊术语。任何允许对信念态度进行更精细分级的信念表征，我们都称之为信念的分级表征。
本节介绍的框架主要处理“全有或全无”类型的信念态度。其中大多数框架用主体完全相信的所有句子的集合来表示其在任何特定时刻的信念状态。所有框架都要求，出于理性考虑，信念状态必须经过演绎闭合，且不包含任何矛盾。如果仅此而已，这些框架就没什么意思了。这些框架的真正洞见在于，主体的信念状态并非由其当前信念的完整列表充分表示，而只能由其在获取新信息后更新这些信念的倾向来表示。因此，这些框架的重点是制定规范性原则，以规范在吸收新信息时信念状态的动态变化。正如我们将看到的，尽管这些框架在理性的静态原则上基本一致，但它们在信念更新的动态原则上存在冲突。
了解定性更新动力学如何从更精细的信念度结构中涌现出来通常会很有帮助。在本节中，我们将看到以下几种“表示”结果的几个版本：每个满足某组定性动态更新原理的代理都可以被认为是更新特定结构的分级信念的代理；反之，每个具有该结构的分级信念的代理都将满足同一组定性动力学原理。这些结果表明了连接信念的全部和部分表示的桥梁原理。
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。2.1 非单调逻辑
。在第 1.2 节中，我们引入了演绎结果关系的概念。演绎结果关系的特征之一是，在演绎论证中添加更多前提可以让你得出与使用更少前提时相同的所有后果。换句话说，对于 L 中的任何句子 α、β、γ：如果 α⊢γ，则 α∧β⊢γ。
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。当然，各种看似合理的日常推理都违反了单调性。如果索菲亚被告知她的温度计读数是85华氏度，她就有理由得出结论，在花园里吃晚饭并不太冷。如果她随后得知温度计被移到了她正在煮意大利面的烤箱上方，她可能会收回自己的结论。这并不意味着她最初的推论不合理或不理性。非单调性在日常人类情境中是不可避免的。众所周知，归纳推理就是非单调的。伦理和法律推理同样充满了非单调性（Ross，1930年和Ullman-Margalit，1983年）。
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。非单调逻辑研究的是位于波浪形旋转栅门左侧的前提与右侧的结论之间的可废止后果关系|∼。我们可以将左边的前提 α 想象成一个句子，它表达了主体可能拥有的所有“确凿证据”，而将右边的结论想象成基于 α 而得到证实的可废止结论。表达式 α|∼β 可以理解为：如果我的全部证据是 α，我就有理由得出 β 的结论。因此，一个特定的可废止结果关系代表了主体根据新信息更新其信念的倾向。
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。回想一下 1.2 节，演绎结果关系满足健全性。也就是说，仅当 β 在所有 α 为真的世界中都为真时，α⊢β。从前面的例子可以清楚地看出，可废止推理无法满足健全性。如果 α|∼β，那么 β 可能在 α 为真的“典型”世界中为真。如果 α|∼β，我们称结果关系为扩增性的，但在某些世界中 α 为真，而 β 为假。该术语源自拉丁语 ampliare，意为“扩大”，因为可废止推理“扩展”或“超越”前提。除了最人为的情况外，扩增性和非单调性在所有情况下都相辅相成。
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。在过去的四十年中，人工智能研究人员为可废止推理创建了许多不同的逻辑，这些逻辑通常是为了模拟特定类型的可废止推理而开发的。有关非单调逻辑的概述，请参阅词条。鉴于这种大量专门逻辑，非单调逻辑研究可废止结果逻辑必须具备哪些属性才能算作逻辑。 （有关这一抽象观点的起源，请参阅 Gabbay (1985)。）非单调逻辑为比较不同的可废止推理逻辑提供了一种重要的通用语言。它也非常适合本文的目的，因为它使我们能够比较关于如何根据新证据更新信念的不同规范理论，以及关于完整信念和部分信念应如何相互关联的理论。
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。在我们继续进行技术开发之前，介绍哲学家 John Pollock 对非单调逻辑的一项重要的早期批判将很有帮助。Pollock (1987) 确定了可废止推理中非单调性的两个来源。代理人可能相信 β ，因为她相信 α ，并将 α 视为 β 的可废止理由。 Pollock 针对此推理区分了两种类型的击败者：反驳击败者是相信 ¬β 的可击败理由，而削弱击败者是相信 ¬α 的理由。两种击败者都可能诱使主体撤回其对 β 的信念。Pollock 的观点是，由于非单调逻辑通常不代表主体理由的结构，因此它们常常无法优雅地处理削弱击败的情况。我们很快就会看到几个例子。
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。2.1.1 非单调逻辑原理
。Kraus、Lehmann 和 Magidor (1990) 阐明了任何“合理的”非单调语言都必须满足的一组原理。现在通常将这组原理称为系统 P。时至今日，这些原理仍然是非单调逻辑毫无争议的核心。
（KLM1）α|∼α 自反性
。（KLM2）若 ⊢β↔γ 且 α|∼β，则 α|∼γ。左逻辑等价
。（KLM3）若 ⊢α→β 且 γ|∼α，则 γ|∼β。右弱化
。（KLM4）若 α∧β|∼γ 且 α|∼β，则 α|∼γ。截断
。（KLM5）若 α|∼β 且 α|∼γ，则 α∧β|∼γ。谨慎单调性
。（KLM6）若 α|∼γ 且 β|∼γ，则 α∨β|∼γ。或
。自反性仅仅表达了这样一个真理：人们有权从自身推断出 α。接下来的两个原则规定了非单调后果关系应如何与演绎后果相互作用。左逻辑等价原则认为，如果 α 和 β 经典等价，则它们允许完全相同的可废止推理。右弱化原则认为，如果 α 可废止地允许 β，则它也允许 β 的所有演绎结果。综合起来，这些原则表明可废止推理涵盖了所有演绎推理。如果我们将 |∼ 视为对有界主体的可废止推理的建模，这听起来似乎不合理。如果我们将 |∼ 视为对基于某些“硬”证据证明的扩展结论的建模，则听起来会更好一些。
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。其余原则是系统 P 的核心。Cut 原则认为，将从 α 可废止推断出的结论添加到前提中不会增加推理能力。谨慎单调性原则认为这不会降低推理能力。设 C(α) 为 {β:α|∼β}，即由 α 许可的结论集合。如果我们将 |∼ 左边的前提视为我的全部“硬”证据，将集合 C(α) 视为基于 α 归纳推断出的理论，那么谨慎单调性就是假设演绎主义的一种表达：如果我了解到我的理论 C(α) 的一个结果，我不应该撤回我之前的任何结论。此外，Cut 还说我不应该添加任何新的结论。综合起来，这两个原则表明，如果你的理论的一个结果被添加到你的全部证据中，你的理论不应该改变，即如果 α|∼β，则 C(α)=C(α∧β)。
最后一条原则最好通过它的一个实例来理解。用 ¬α 代替 β 可得出以下原则：
如果 α|∼γ 且 ¬α|∼γ，则 ⊤|∼γ。案例推理
任何真正的结果关系都应该能够通过案例进行推理。如果无论我了解到什么关于 α 的信息我都能够推断出 γ，那么我应该能够在 α 的事情被决定之前推断出 γ。通常，或命题表明，如果 γ 可以从 α 和 β 可废止地推出，那么它应该从它们的析取中推出。任何满足自反性、右弱化和或命题的后果关系也必须满足以下原则：
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。如果 α∧β|∼γ，则 α|∼β→γ。条件化
。条件化表明，在学习新证据后，你绝不会“妄下结论”，而这些结论不是由你的旧信念与新证据的演绎闭合所必然导致的。这显然不是一个有吸引力的原则。一个只从琐碎证据 ⊤ 开始的代理要么无法验证条件化，要么根本不会做出任何扩增推理。假设在观察了 100 只黑乌鸦之后，一个验证条件化理论的主体开始相信所有乌鸦都是黑色的。那么，在开始探究时，她必然相信要么所有乌鸦都是黑色的，要么她会看到前 100 只乌鸦中第一只非黑色的。这样的主体似乎对何时出现归纳概括的第一个反例有着奇怪的固执己见。
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举一个更现实的例子，请考虑 1887 年的迈克尔逊-莫雷实验。在实验结果为零，未能检测到假定以太风盛行方向上的光速与垂直于风向的光速之间的任何显著差异后，物理学家们转而反对以太理论。如果物理学家们验证了条件化理论，那么在实验之前，他们必然相信要么不存在光以太，要么以太风吹得足够快，以至于他们的设备能够探测到。但他们为何如此确信以太风并非慢到无法探测到呢？
即使验证条件化论证的主体本身并无不妥，但以下论点却带有强烈的反归纳主义色彩：所有基于新证据而得到证实的可废止推论，都可以重构为基于先前结论和新证据的演绎推论。在条件化论证下，形成归纳概括的倾向必须在探究之初就通过实质条件句“编程化”。（参见 Schurz (2011) 的类似批评，但语境略有不同。）任何认同此批评的人都必须拒绝“或”、“反身性”或“右弱化”。从看似不成问题的原理中发现如此令人意外的后果，是研究非单调逻辑的一大益处。
我们将通过介绍非单调逻辑中另一个突出且备受争议的原理来结束本节。将此原理添加到系统 P 中，将得到通常所说的系统 R。人们对此原理的立场将决定人们对我们接下来要讨论的许多理论的看法。Kraus 等人 (1990) 声称，任何理性推理者都应验证以下对谨慎单调性的加强：
(KLM7) 如果 α|∼β 且 α
⧸
|∼¬γ，则 α∧γ|∼β。理性单调性
理性单调性认为，只要新证据 γ 与你先前的信念 C(α) 在逻辑上兼容，你就不应该撤回 C(α) 中的任何信念。同时接受理性单调性和条件化就等于说，当面对与其信念在逻辑上一致的新证据时，理性主体的反应是简单地用新证据形成其现有信念的演绎闭包。从这个角度来看，只要不陷入矛盾，演绎逻辑就是推理的唯一必要指南。Stalnaker (1994) 给出了以下众所周知的所谓理性单调性反例。
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。假设索菲亚相信威尔第是意大利人，比才和萨蒂都是法国人。设 α 为威尔第和比才是同胞的句子。设 β 为萨蒂是法国人的信念。设 γ 为比才和萨蒂是同胞的句子。假设索菲亚收到了证据 α。因此，她得出结论，威尔第和比才要么都是法国人，要么都是意大利人，但她无法说出是哪一个。她仍然相信萨蒂是法国人。所以 α|∼β 和 α
。⧸
。|∼γ。现在假设她收到了证据 γ。由于γ与她之前的结论相容，理性单调性要求她保留对β的信念，并得出结论，三位作曲家都是法国人。然而，撤回β并得出结论，这三个人要么都是意大利人，要么都是法国人，这似乎完全合理。
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。Kelly和Lin（即将出版）使用以下示例来反驳理性单调性。索菲亚的办公室里只有两个人，分别叫爱丽丝和鲍勃。她想知道其中一人是否拥有某辆福特汽车。令β为“爱丽丝拥有福特”的句子。令γ为“鲍勃拥有福特”的句子。索菲亚没有确凿的证据证明爱丽丝拥有福特汽车——她看到爱丽丝开着一辆一模一样的福特汽车。她有更弱的证据证明鲍勃拥有福特汽车——他的兄弟拥有一家福特经销店。基于她的全部证据α，她得出结论β∨γ，即办公室里有人拥有福特汽车，但没有进一步推断β或γ。然后，爱丽丝说她开的福特车是租的，她没有车。这就推翻了索菲亚关于β∨γ的主要原因，因此她收回了办公室里有人拥有福特车的信念。但由于α
⧸
|∼¬β，理性单调性要求她保留对β∨γ的信念，并得出结论Bob拥有福特车。然而，她的推理似乎并没有什么不合理的地方。这似乎印证了波洛克（1987）的观点：逻辑出了问题，因为它忽略了索菲亚推理的结构。
理性单调性的捍卫者会争辩说，如果我们发现这些反例看似合理，那是因为我们要么低估了代理人先验信念的结构，要么低估了触发更新的信息的结构。他们认为，如果我们用现实的细节来描述这些反例，我们就不会信服。有关这一辩护思路的详细说明，请参见 Lin (2019) 的第 5 节。对理性单调性的其他批评本质上并非基于反例的似然性，而是基于理性单调性与竞争性探究规范的不相容性。Lin 和 Kelly (2012) 提出的其中一项批评将在第 4.2.4 节中讨论。另一个例子，请参见 Genin 和 Kelly (2018)。
2.1.2 优先语义
到目前为止，我们仅将非单调后果关系视为句法对象之间的关系。我们可以“语义地”重新表述非单调逻辑的属性，即根据句子为真或为假的可能世界。在某些情况下，这使我们能够对可废止逻辑给出非常清晰的见解。
回想一下1.2节，演绎结果关系满足稳健性，即仅当β在所有α为真的世界中都为真时，α⊢β。正如我们之前所讨论的，非单调逻辑是扩增性的，因此必然违反稳健性。Shoham (1987) 开创了一种非单调逻辑的语义，其中仅当β在α为真的“优选”世界中集合中为真时，α|∼β。通常而言，这些世界集合是α为真的最典型或最正常的世界集合。
Kraus 等人 (1990) 首先证明了本节的大部分结果。然而，原始结果的表述过于笼统，对我们这里的目的而言，会造成太多技术上的困扰。我们对其结果进行了简化，但更加清晰易懂。请参阅 Makinson (1994) 和可废止推理条目，以获得更贴近原文的表述。
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。优先模型是一个三元组 ⟨W,V,≺⟩，其中 W 是可能世界集合，V 是估值函数，≺ 是 W 元素上的任意关系。回想一下 1.2 节，V(α) 是 α 为真的世界集合。当且仅当 x≺y 且 y≺z 时，关系 ≺ 是传递的。当且仅当对于所有 w∈W，w≺w 不成立时，关系 ≺ 是非自反的。传递性、非自反性关系称为严格序。我们记为 w⪯v 当且仅当 w≺v 或 w=v。严格序 ≺ 是完全的当且仅当对于 w,v∈W，要么 w≺v 要么 v≺w。
我们称 w 为 α-最小世界当且仅当 w∈V(α) 且不存在 v∈V(α) 使得 v≺w。每个优先模型都会通过设定 α|∼β 来得出一个结果关系，只要 β 在所有 α-最小世界中为真。Kraus 等人 (1990) 证明了以下内容：
定理。假设 ≺ 是 W 上的严格序。定义结果关系 |∼，即设定 α|∼β 当且仅当 β 在所有 α-最小世界中为真。那么，|∼ 满足 KLM1-6。如果 ≺ 是完全的，则 KLM7 也成立。相反，假设结果关系 |∼ 满足 KLM1–6。那么，存在一个严格序 ≺，使得 α|∼β 当且仅当 β 在所有 α-最小世界中为真。如果 KLM7 也得到满足，则可以选择该序为完全序。
这意味着我们可以用以下方式解释任何满足基本 KLM 假设的结果关系 |∼：|∼ 表示以下主体的信念倾向：(1) 该主体对 W 中的可能性集合具有严格的似真性排序，并且 (2) 相信与其确凿证据相符的“最似真”可能性所蕴含的一切。如果不满足理性单调性，那么某些可能性在似真性上将是不可通约的。否则，所有可能性都是可通约的。
2.2 AGM 信念修正理论
。与非单调逻辑类似，信念修正理论关注的是如何根据新证据更新一个人的信念。当新证据与所有先前的信念一致时，该理论的建议虽然严格，但很简单：只需将新证据添加到你旧的信念库中，并根据演绎结果进行修正即可。当新证据与你先前的信念不一致时，情况会变得更加复杂。如果你想吸收新信息并保持逻辑上的一致性，你就必须撤回一些原有的信念。信念修正的核心问题在于，仅凭演绎逻辑无法告诉你应该放弃哪些信念——这必须通过其他方式来决定。
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考虑到类似的问题，奎因和乌利安（1970）阐述了“保守主义”原则，建议我们的新信念“可能不得不与我们先前的一些信念相冲突；但冲突越少越好”。奎因在其著作（1990）中将其称为“最小限度破坏准则”。受这些暗示性原则的启发，Alchourrón、Gärdenfors 和 Makinson (1985) 发展了一种极具影响力的信念修正理论，以其三位创始人的名字命名，即后来的 AGM 理论。
