信念的形式化表征（三）

在 AGM 理论中，主体的信念由形式语言 L 中的一组句子 B 表示。集合 B 被称为主体的信念状态。信念状态要求一致且演绎闭合（Hintikka 1961 和关于认识论逻辑的条目）。当然，这是一种不太现实的理想化。Levi (1991) 通过改变对集合 B 的解释来捍卫这种理想化——这些句子是主体承诺相信的，而不是她实际相信的。尽管我们可能永远无法履行自己的承诺，但 Levi 认为，我们承诺相信信念的逻辑后果。这或许可以挽救这一原则，但只能通过改变对该理论的解释来实现。

AGM 理论研究三种不同类型的信念变化。当信念状态 B 被 B÷α 取代时，即收缩发生，B÷α 是 B 的逻辑封闭子集，不再包含 α。当信念状态 B 被 B+α=Cn(B∪{α}) 取代时，即扩张发生，B+α=Cn(B∪{α}) 是简单地将 α 添加到 B 并在逻辑结果下封闭的结果。当信念状态 B 被信念状态 B∗α 取代时，即修正发生，B∗α 是“最小限度地改变” B 以容纳 α 的结果。

收缩是 AGM 研究的信念变化的基本形式。如何定义扩张并不神秘，修正通常通过 Levi 恒等式 (1977) 衍生定义：B∗p=(B÷¬p)+p。Alchourrón、Gärdenfors 和 Makinson (1985) 为未来的工作（Gärdenfors 1988、Gärdenfors 和 Rott 1995）树立了榜样，他们采用公理化方法：他们假设了每个合理的收缩操作都必须满足的几个原则。 AGM 理论的基础是几个表示定理，它们表明某些直观的构造会引发满足基本假设的收缩运算；反之，每个满足基本假设的运算都可以看作是此类构造的结果。有关这些结果的精彩介绍，请参阅关于信念修正的条目 Huber (2013a) 或 Lin (2019)。

AGM 理论的独特之处在于它关注信念收缩。对于维护数据库的人来说，收缩是一个相当自然的操作。医学研究人员可能希望发布数据集，但要确保它不能被用来识别他们的患者。隐私法规可能会强制数据收集者“忘记”关于你的某些事实，他们自然希望尽可能保守地做到这一点。然而，一个合理的论点认为，所有“在野外”发生的理性信念变化都涉及学习新信息，而不是保守地移除旧信念。本文涵盖的所有其他形式化方法都关注这种信念变化形式。因此，我们重点关注 AGM 的修正和忽略收缩理论。

在深入探讨一些技术发展之前，我们先来谈谈 AGM 框架的一些重要反对意见和替代方案。正如我们所提到的，代理的信念状态由代理承诺相信的（演绎封闭的）句子集 B 表示。代理理由的结构并未明确表示：你无法判断任意两个 α,β∈B 中哪一个是另一个的理由。Gärdenfors (1992) 区分了基础理论和连贯理论，基础理论追踪哪些信念可以证明哪些信念，而连贯理论则忽略了证明的结构，而是关注信念是否彼此一致。他主张连贯性方法，并对两者进行了鲜明的区分：

根据基础理论，信念修正应该首先包括放弃所有不再具有令人满意的证明的信念，其次包括添加新的已被证明的信念。另一方面，根据连贯性理论，其目标首先是保持修订后的认知状态的一致性；其次，对旧状态进行最小限度的更改，以保证整体的连贯性。

这段话隐含着这样一种观点，即基础理论与最小限度的改动原则格格不入。在其他地方（1988），Gärdenfors 的观点更为缓和，他认为某种混合理论是可能的，甚至可能更可取：

我承认，这里引入的收缩和修订假设相当简单，但它们似乎抓住了可以为贫乏的信念集结构制定的内容。在更丰富的认知状态模型中，例如，允许制定理由，相应的保守性假设必须更加谨慎地制定（第 67 页）。

此前，我们看到 Pollock（1987）倡导基础主义。在人工智能领域，Doyle (1979) 的推理维持系统被用来作为基础方法的例证。Horty (2012) 认为，默认逻辑恰如其分地代表了推理的结构。关于基础主义的辩护以及两种方法的有益比较，请参阅 Doyle (1992)。

另一种基础主义观点主张信念基础而非信念状态。信念基础是一组通常不以逻辑结果封闭的句子。其元素代表并非源自其他信念的“基本”信念。这使我们能够区分明确的信念，例如“莎士比亚写了《哈姆雷特》”，以及从未想到的演绎结果，例如“要么莎士比亚写了《哈姆雷特》，要么艾伦·图灵出生于星期一”。然后，修正和收缩被重新定义为作用于信念基础，而非信念集。这使得更细微的区分能够清晰地表达，因为具有相同逻辑封闭性的信念基础不能互换处理。有关信念基础的介绍，请参阅“信念修正逻辑”条目的相关部分。有关书籍篇幅的论述，请参阅 Hansson (1999b)。

最后，对 AGM 理论最常见的批评之一是它没有阐明迭代信念变化。接下来我们将看到，规范修正操作将信念状态的巩固排序作为输入，但输出的信念状态没有巩固排序。这严重低估了后续修正的结果。有关迭代信念修正问题的更多信息，请参阅 Huber (2013a)。

2.2.1 信念修正原则

Gärdenfors (1988) 提出了以下理性信念修正公设。对于任何句子集 B⊆L 和任何句子 α,β∈L：

(AGM*1) B∗α=Cn(B∗α)；闭合

(AGM*2) α∈B∗α；成功

(AGM*3) B∗α⊆Cn(B∪{α})；包含

（AGM*4）若¬α∉B，则Cn（B∪{α}）⊆B∗α；保持性

。（AGM*5）B∗α不一致当且仅当⊢¬α；一致性

。（AGM*6）若⊢α↔β，则B∗α=B∗β。外延性

。闭合性、成功性、一致性和外延性都对B∗α施加了共时约束。它们并未说明B∗α必须如何与先前的信念状态B相关。闭合性要求新的信念集必须演绎闭合。放弃此要求将使您处于信念基础的阵营，而不是信念集的阵营（Hansson 1999a）。成功性要求新的信息包含在新的信念状态中。非优先信念修正放宽了此要求（Hansson 1999a）。外延性要求主体仅对证据的逻辑内容敏感，而不对其呈现方式敏感。一致性要求新的信念状态在逻辑上一致，至少在证据不矛盾时如此。

。

。保持性和包含性是唯一真正与修正有关的规范——它们抓住了AGM修正的历时性精神。包含性规定，α的修正不应产生比α的扩展更多的新信念。换句话说，任何你在用α修正后相信的句子β，都是α和你先前信念的演绎结果。考虑以下原则：

。

。如果β∈B∗α，则(α→β)∈B。条件化

。在第2.1.1节中，我们考虑了非单调逻辑的条件化的类似物。所有相同的反对意见也同样适用于信念修正。回想一下第1.2节，演绎结果关系承认演绎定理，当且仅当Δ∪{α}⊢β意味着Δ⊢α→β。只要演绎定理对于 Cn(⋅) 可证，包含定理和条件化定理就是等价的。如果你认为任何反对条件化的论证令人信服，你就应该对包含定理持怀疑态度。

。

保持定理认为，只要新信息 α 与你先前的信念逻辑一致，你所有的先前信念都能经受住 α 的修正。在非单调逻辑的背景下，我们将此原则称为理性单调性。第 2.1.1 节中所有针对理性单调性的反对意见和反例都同样适用于信念修正。正如我们所见，保持定理排除了任何形式的削弱先前成功的可废止推理的失败。同时接受保持定理（理性单调性）和包含定理（条件化），就等于说，当面对与其信念逻辑一致的新证据时，理性主体的反应是简单地用新证据形成其现有信念的演绎闭包。从这个角度来看，只要不陷入矛盾，演绎逻辑就是推理的唯一必要指南。

。

。Gärdenfors (1988) 还提出了以下两个额外的修正公设，与包含和保持密切相关。

。

。(AGM*7) B∗(α∧β)⊆Cn(B∗α∪{β})；合取包含

。(AGM*8) 如果 ¬β∉B∗α，则 Cn(B∗α∪{β})⊆B∗(α∧β)。合取保持

。可以精确地建立信念修正和非单调逻辑之间的联系。给定信念集 B 和修正操作 ∗，我们可以通过设置 α|∼β 当且仅当 β∈B∗α 来定义可废止的结果关系。类似地，给定一个可废止的结果关系 |∼，我们可以定义 B={α:⊤|∼α} 和 B∗α={β:α|∼β}。然后可以证明 AGM 信念修订与我们在第 2.1.1 节中称为系统 R 的原则集之间的以下对应关系。由此可见，AGM 修订可以用可能世界的总体优先模型来表示。

定理。假设 ∗ 是 B 的修订操作，满足所有八个修订公设。然后，由 α|∼β 给出的非非单调结果关系当且仅当 β∈B∗α 满足系统 R 的所有原则。相反，假设 |∼ 是满足系统 R 所有原则的结果关系。然后，修订操作 ∗ 定义为让 B={α:⊤|∼α} 和 B∗α={β:α|∼β} 满足所有八个修订公设。

2.2.2 根深蒂固

。Gärdenfors (1988) 以如下方式引入了根深蒂固关系的概念：

。

。即使集合中的所有句子都被接受或视为事实……，这并不意味着所有句子对于规划或解决问题的目的都具有同等价值。……我们会说有些句子……比其他句子具有更高的认知根深蒂固程度。直观地说，根深蒂固的程度将与在进行缩减或修订时放弃的内容和保留的内容有关。

。

。为了对根深蒂固的程度进行建模，引入了一个关系 ⪯，它存在于语言 L 的句子之间。符号 α⪯β 发音为“α 至多与 β 一样根深蒂固”。Gärdenfors (1988) 要求该关系满足以下假设。对于 L 中的所有 α,β,γ：

（≼1）如果 α≼β 且 β≼γ，则 α≼γ 传递性

（≼2）如果 α⊢β，则 α≼β 支配性

（≼3）α≼α∧β 或 β≼α∧β 连接性

（≼4）如果 ⊥∉Cn(B)，则 )α∉B 当且仅当 对于 L 中的所有 β：α≼β) 最小性

（≼5）如果 对于 L 中的所有 α：α≼β，则 β∈Cn(∅) 最大值性

给定一组固定的背景信念 B 和 L 上的根深蒂固排序 ≼，并让 α⪱β 在 α≼β 和 β⋠α 的情况下成立，我们可以定义一个修正算子 ∗ 如下：

。

。B∗α=Cn({β∈B:¬α⪱β}∪{α})

。该等式背后的想法是，代理通过首先从其信念集中清除任何根深蒂固程度低于¬α的内容（根据主导地位，这包括所有包含¬α的内容），添加 α，然后在逻辑结果下关闭，来修改 α。Gärdenfors 和 Makinson (1988) 证明，此定义可以得出满足 AGM*1–8 的修正算子，反之，每个满足 AGM*1–8 的修正算子都可以看作是以这种方式从某种根深蒂固顺序中产生的。这些结果说明了为什么 AGM 理论并非迭代修正理论：修正操作以巩固顺序和信念状态作为输入，但仅输出信念状态。这严重低估了后续修正的结果。

。

。Grove (1988) 证明了球体系统语义学的类似表示定理，该定理推广了 Lewis (1973) 的反事实语义学。有关 Grove 可能世界语义学的介绍，请参阅信念修正逻辑条目的相关部分。Segerberg (1995) 在动态信念逻辑框架内阐述了 AGM 方法。Lindström & Rabinowicz (1999) 将其扩展到迭代信念修正。我们对信念修正理论的介绍必然较为精简。有关优秀的文章长度介绍，请参阅信念修正逻辑条目、Huber (2013a) 或 Lin (2019)。有关书籍长度的论述，请参阅 Gärdenfors (1988)、Hansson (1999) 或 Rott (2001)。

2.3 认识论逻辑

到目前为止，我们看到的形式化框架都强调信念修正的动态原理——它们本质上关注的是如何适应新信息。这种理论重点将其他问题置于次要地位。具体而言，这些框架难以轻易表达高阶信念（规范关于信念的信念）的原理，也难以表达信念与知识之间的关系。因此，这些框架相对沉默地探讨了经典的认识论问题，例如知识是否蕴涵信念（参见知识分析词条），或者为什么同时相信 p 和不相信 p 是荒谬的（参见认识论悖论词条）。

认识论逻辑的现代表述通常可追溯到冯·赖特 (von Wright, 1951) 和欣蒂卡 (Hintikka, 1962)，它是一个旨在突出这些问题的形式化框架。一篇颇具影响力的入门教材，请参阅 Fagin 等人 (1995) 的著作。认识论逻辑的形式语言扩展了命题逻辑的形式语言，引入了认识论算子 Baϕ 和 Kaϕ，分别读作“主体 a 相信 ϕ”和“主体 a 知道 ϕ”。当仅讨论一个主体时，下标被省略。（熟悉模态逻辑的读者会认出这些算子类似于其他“盒子”算子，例如必然性和义务。）鉴于该语言的这种扩展，可以表达如下认识论原理：

B(p→q)→(Bp→Bq)，

表示你的信念在肯定前件推理下是封闭的，或者

Bp→BBp，

它表示如果你相信 p，那么你也相信你相信它。需要注意的是，尽管第一原理在 AGM（闭包）和非单调逻辑（右弱化）中有着自然的对应，但第二原理却无法在这两种形式体系中直接表达。例如，在 AGM 框架中，我们或许可以将 p∈B 理解为与 Bp 表达相同的意思，但如何表达 BBp 却完全不清楚。（然而，请参阅 Moore (1985) 和非单调逻辑条目中的自认识论部分。）此外，认识论逻辑可以毫无困难地表达支配知识与信念相互作用的原理。例如，Kp→Bp 表达了“所有已知的事物也都会被相信”这一论题。AGM 和非单调逻辑无法轻易地阐明这些问题。

。

支配信念、知识及其相互作用的公理的不同选择产生了不同的认识论逻辑。认识论逻辑领域的大量工作刻画了这些系统，并证明了这些公理的各种令人惊讶的后果。克里普克模型是认知逻辑中最广泛使用的语义学的基础。（有关这些模型是否应归于克里普克的讨论，请参阅 Goldblatt (2006)。）克里普克模型为可能世界集合 W 配备了一个关于 W 的二元不可区分关系。其基本思想是，如果 w 是现实世界，且主体 a 不能排除现实世界是 w′，则两个世界 w 和 w′ 构成关系 wRaw′。然后，该模型通过以下定义与形式语言相连接：

。w⊨Baϕ 当且仅当对所有 w′ 满足 wRaw′ 时，w′⊨ϕ。

。换句话说：在 w 中，a 相信 ϕ 为真，当且仅当 ϕ 在所有 a 无法区分 w 的世界中为真。利用这种语义，可以证明认知原理与不可区分关系的结构属性之间的各种优雅对应关系。例如，只要不可区分关系具有传递性，原理 Bϕ→BBϕ 就会成立。只要不可区分关系具有自反性，可疑原理 Bϕ→ϕ 就会成立。大量的理论活动致力于研究以模态逻辑语言表达的直观认识论原理与不可区分关系的优雅结构条件之间的相互作用。有关该主题的详细介绍，请参阅“认识论逻辑”条目，或更通用的“模态逻辑”条目。有关知识逻辑与信念逻辑之间关系的更多信息，请参阅“多模态逻辑的哲学方面”条目。最近，认识论逻辑的替代拓扑语义学引起了重要的理论活动（例如：Bjorndahl 和 Özgün，即将出版）。

。

。正如 von Wright (1951) 和 Hintikka (1962) 最初提出的，认识论逻辑并未提及主体应如何对新信息作出反应。 Segerberg 引入了动态信念逻辑 (1995, 1999)，以弥合信念修正与认识论逻辑之间的鸿沟。此外，动态认识论逻辑也是为了同样的目的而发展起来的，但其侧重于多主体情境（参见 Plaza 1989、Baltag 等人 1998、van Ditmarsch 等人 2007）。该框架受益于哲学家、逻辑学家、经济学家和计算机科学家的理论贡献。对这些发展进行详尽的讨论可能会让我们走题太远。感兴趣的读者可以参考动态认识论逻辑的条目。关于贝叶斯自认识论方法，请参见 van Fraassen (1985, 1995)。关于排序理论方法，请参见 Spohn (2012) 的第九章以及 Hild (1998) 和 Spohn (2017b)。欲了解将传统认识论中的定性概念与概率概念相结合的截然不同的方法，请参阅 Moss (2013, 2018) 的文章，他捍卫了知识包含概率内容的论点。

3. 部分信念的表征

人们普遍认为，信念并非全有或全无的问题，它具有程度之分。索菲亚相信维也纳是奥地利首都的程度，可能比她相信维也纳明天会是晴天的程度更大。如果她的信念程度具有数值结构（而不仅仅是序数结构），那么她对前者的确信程度可能是后者的两倍。对这类例子印象深刻的哲学家们会围绕“部分信念”的结构，而不是全有或全无的结构开展研究。