信念的形式化表征（四）

虽然很容易生成部分信念的合理例子，但要确切地说出信念程度的含义却很难。主体对 P 的信念度可能反映其对 P 真实性的信心程度，其在对话中同意 P 的意愿，或者可能需要多少证据才能说服其放弃对 P 的信念。一个古老的传统，在拉姆齐 (1926) 和德菲内蒂 (1937) 的著作中得到了经典的表达，认为信念度最直接地反映在主体愿意接受哪些关于 P 的赌注上。至少自帕斯卡 (约 1658/2004) 以来，主流哲学观点认为信念度可以用概率很好地建模（有关历史的可读性，请参阅 Hacking (1975)）。时至今日，主观概率或“认识论”概率仍然是概率演算的主流解释之一。

一个平行的传统，尽管从未占据主导地位，也认为信念度既不像帕斯卡的概率分析所暗示的那样精确，也不具有绝对的可比性。凯恩斯（1921）曾提出一个著名观点，即信念程度可能仅具有序数结构，这种结构允许定性比较，而不允许定量比较。凯恩斯甚至认为，某些部分信念的强度根本无法比较。

。

。科恩（1980）将另一个少数传统追溯到弗朗西斯·培根的《新工具论》（1620/2000）。在通常的概率尺度上，对某个命题的信念程度为零意味着对其否定有最大程度的确信。在培根的尺度上，信念程度为零意味着对该命题或其否定均无确信。因此，通常的尺度从“反证到证明”，而培根的尺度从“无证据或非证明到证明”。在过去的几十年里，培根概率论受到越来越多的关注，其理论的成熟度和复杂性逐渐接近帕斯卡传统理论（Spohn，2012；Huber，2019）。

。

在本节中，我们将介绍几个表示部分信念的框架，首先介绍迄今为止最突出的框架：主观概率论。

3.1 主观概率论

。主观概率论，通常被称为“贝叶斯主义”，是迄今为止建模部分信念的主导范式。目前，关于该主题的文献数量非常庞大。此处提供的摘要必然会比较简短。文章长度的介绍，请参阅贝叶斯认识论条目，Easwaran (2011a, 2011b) 或 Weisberg (2011)。书籍长度的介绍，请参阅 Earman (1992)、Skyrms (2000)、Hacking (2001)、Howson 和 Urbach (2006) 或 Huber (2018)。关于理性选择贝叶斯模型的文章长度的介绍，请参阅决策理论条目。关于理性选择理论的通俗易懂的书籍长度的介绍，请参阅 Resnik (1987)。

。

。主观概率论的核心大致如下：

。有一种基本的心理态度称为信念度，有时也称为信心或可信度，可以用 (0,1) 区间内的数字表示。

。理性主体的信念度满足概率论的公理。

。理性主体的信念度通过某种概率条件进行更新。

。前两个原则是贝叶斯理论的共时要求；第三个原则涉及历时更新行为。大多数贝叶斯主义者也会同意以下某些版本的原则，这些原则将主观概率与深思熟虑和行动联系起来：

。

。世界的可能状态（结果）被赋予一种效用：一个正实数或负实数，反映该结果的可取性或不可取性。

。理性主体只执行那些最大化预期效用的行为

。贝叶斯主义如此强大的原因在于，除了提供对理性信念及其更新的解释之外，它还提供对理性行动和深思熟虑的解释。没有任何其他理论能够声称对信念的这三个方面都进行了完善而细致的描述。下文我们将简要阐述贝叶斯图景的一些技术细节。

3.1.1 形式结构

引入 (0,1) 区间的信念度来量化信念态度的强度。为了便于探讨，我们将命题视为部分信念的对象。在形式语言中，也可以为句子分配信念度，但大多数情况下，这并不取决于我们选择的方法（参见 Weisberg，2011）。因此，设 A 是一个命题域，其范围为可能性集合 W。从 A 到实数集合 ℜ 的函数 Pr: A→ℜ 是 A 上的（有限可加且非条件的）概率测度，当且仅当对于 A 中的所有命题 A,B：

Pr(A) ≥0

Pr(W) =1

如果 A∩B=∅

，则 Pr(A∪B) =Pr(A)+Pr(B)。满足这三个原理的三元组 ⟨W,A,Pr⟩ 称为（有限可加的）概率空间。从这些原理可以推导出许多富有启发性的定理。例如，赋予矛盾命题的信念度必须等于零。此外，如果 E 蕴涵 F，则 Pr(E)≤Pr(F)。最后，对于任何命题 E∈A，我们有 0≤Pr(E)≤1。

。假设 A 在可数交集下也是封闭的（因此是 σ 域）。假设 Pr 还满足，对于 A 中的所有命题 A1,…An,…，

。

。Pr(∪

。∞

。i=1

。Ai)=

。∞

。∑

。 i=1

Pr(Ai)，若 Ai∩Aj=∅，且 i≠j。

则 Pr 是 A 上的 σ 或可数加性概率测度（Kolmogorov 1956，第二章实际上给出了不同但等效的定义；参见 Huber 2007a，sct. 4.1）。在这种情况下，⟨W,A,Pr⟩ 是 σ 或可数加性概率空间。

可数加性并不像看起来那么无害：它排除了任何主体对可数无限个互斥可能性集无差异的可能性。De Finetti (1970, 1972) 提出了一个著名的论点，我们应该拒绝可数加性，因为可以想象上帝可以“随机”地以相等（零）的概率选择一个自然数。再举一个例子，假设你对命题¬B（并非所有观察到的乌鸦都是黑色的）的置信度为50%。令¬Bi表示命题，即观察到的第i只乌鸦是第一只出现的非黑色乌鸦。则¬B=∪

∞

i=1

¬Bi。可数可加性意味着，对于所有ϵ＞0，存在一个有限的n使得p(∪

n

i=1

¬Bi)=1/2−ϵ。因此，你几乎可以肯定，如果不是所有乌鸦都是黑色的，那么第一只非黑色乌鸦会出现在前n只乌鸦之中。但是，你必须对第一只非黑色乌鸦何时出现持有主观看法，这真的是理性的要求吗？为所有 ¬Bi 分配相同概率的唯一方法是违反可数可加性，即对所有 i 设定 p(¬Bi)=0。此解决方案有其自身的缺点。在所有标准的贝叶斯更新模型中，即使你看到的是白色的乌鸦，也不可能确信第 i 只乌鸦确实不是黑色的。有关可数可加性的更多信息，请参阅 Kelly (1996) 的第 13 章。

对于 A 中每个非空或一致的命题 A，A 上的概率测度 Pr 是正则的，只要 Pr(A)＞0。设 APr 是 A 中所有满足 Pr(A)＞0 的命题 A 的集合。A 上的条件概率测度 Pr(⋅∣−):A×APr→ℜ（基于 A 上的非条件概率测度 Pr）对于 A 中所有命题 A 和 APr 中的 B 的对定义为比率

Pr(A∣B)=

Pr(A∩B)

Pr(B)

.

（Kolmogorov 1956，第一章，§4）。通过 B 进行条件化，将所有可能性限制为与 B 相容的可能性，并通过 B 的概率进行重新正则化，以确保幺正性成立。Pr(⋅∣−) 的第二个自变量位置的定义域限制为 APr，因为如果 Pr(B)=0，则 Pr(A∩B)/Pr(B) 比率无定义。注意，对于 APr 中的每个命题 B，Pr(⋅∣B) 是 A 上的概率测度。一些作者将条件概率测度 Pr(⋅,given −):A×(A∖{∅})→ℜ 作为本原，并根据它们将（非条件）概率测度定义为，对于 A 中的所有命题 A，Pr(A)=Pr(A, given W)（参见 Hájek 2003）。条件概率通常被认为是波普尔-雷尼测度 (Popper 1955, Rényi 1955, Rényi 1970, Stalnaker 1970, Spohn 1986)。Spohn (2012, 202ff) 批评波普尔-雷尼测度缺乏完整的动态特性（Harper (1976) 已经指出这一特点），并且缺乏合理的独立性概念。相对概率 (Heinemann 1997, 其他互联网资源) 被认为不存在这两个缺陷。

3.1.2 解释

说索菲亚对“明天维也纳将是晴天”这一命题的主观概率等于 0.55 是什么意思？这是一个难题。让我们先回答一个不同的问题。我们如何衡量索菲亚的主观概率？传统上，索菲亚对 A 的主观概率由她对 A 的下注比率衡量，即她愿意为 A 获胜时回报 1 美元、否则回报 0 美元的赌注支付的最高价格。稍有不同的是，索菲亚对 A 的主观概率由她对 A 的公平下注比率衡量，即 r=b/(a+b)，即她认为以下赌注是公平的：如果 A 获胜，则下注 a 美元，否则下注 −b 美元（a,b≥0，至少有一个不等式）。

索菲亚愿意和你打赌 5.5 到 4.5 美元赌明天维也纳会是晴天，但不愿意和你打赌 550 到 450 美元赌这个命题为真，这不一定是不理性的。她甚至可能拒绝 200 到 999 美元的赌注。这是因为除了她的信念程度之外，还有其他因素影响她的下注商。索菲亚可能是风险规避者，例如，如果她不能冒险在每月预算中掏空 200 美元。其他人可能是风险偏好者。例如，赌场里的赌徒是风险偏好者：他们玩轮盘赌的金额高于根据合理的主观概率得出的公平货币价值。如果赌博的刺激本身就是一种补偿，那么这可能是完全合理的。请注意，即使说索菲亚对 A 的公平投注比率是 r=b/(a+b)，使得她认为以下投注是公平的，也于事无补：如果 A 成立，则 $1−r=a/(a+b)；否则，$−r=−b/(a+b)（a,b≥0，且至少有一个不等式）。正如 200 美元的赌注可能过高而无法进行测量一样，1 美元的赌注也可能过低。

当命题本身对代理人而言具有个人重要性时，就会出现另一个复杂情况。假设自由党在下次选举中赢得多数席位，索菲娅会非常不高兴，但她认为这不太可能。尽管如此，她可能愿意为一个赌注支付 20 美元，如果自由党获胜，她将获得 100 美元的赔付，否则一分钱也不付。想象一下，她正在购买一种保险，以防万一失望而归。在这种情况下，她的投注比率并不能明显反映她对自由党获胜的信任程度。

。

。拉姆齐 (1926) 通过以效用而非金钱来定价投注，避免了第一个难题。他通过预设至少存在一个“伦理中立”的命题（其真假无关紧要），从而避免了第二个难题，主体认为该命题为真的可能性与她认为该命题为假的可能性相同。参见“概率解释”条目的第 3.5 节。然而，前述示例的意义在于，公平投注比率和主观概率很容易分不清。主观概率是通过（公平）投注比率来衡量的，但并不等同于（公平）投注比率。后者是可操作定义的，并且可观察。前者是不可观察的理论实体，根据Eriksson & Hájek (2007) 的观点，我们将其视为原始的。

3.1.3 论证

。主观概率理论并不能准确描述实际人类的行为（Kahneman 等，1982）。它是一种规范理论，旨在告诉我们应该如何管理我们的认知生活。概率论认为，一个人的信念程度应该满足概率公理。但为什么它们应该满足呢？

。

。传统的答案是，违反概率公理的主体在某种意义上会让自己陷入一种必然会输的赌注体系。这种答案被称为“荷兰书论证”。该论证的实用主义版本认为，信念程度与赌注行为之间存在紧密联系。该论证最终证明了一个定理：当且仅当主体的信念程度违反概率演算时，她才会进入一种必然会输的赌注体系。但是，正如我们所见，有理由怀疑信念程度与投注行为之间的联系是否真的像实用主义荷兰书籍论证所要求的那样紧密。这使得该论证的说服力下降。该论证的非实用主义版本认为，信念程度与认为投注系统公平的倾向之间存在联系，但不一定参与其中（Armendt 1993 Christensen 1996, Ramsey 1926, Skyrms 1984）。该版本最终证明了一个本质上相同的定理，即当一个主体的信念程度违反概率演算时，她会认为一个保证必输的投注系统是公平的。非实用主义荷兰书籍论证是对概率论更有希望的证明。然而，请参阅Hájek (2005; 2008)。有关更广泛的讨论，请参阅“荷兰书籍论证”条目。

。一些认识论者认为荷兰书中的论证难以令人信服，要么是因为它们否认信念度与投注商之间存在任何合适的联系，要么是因为它们否认任何关于像投注这样实用的事情的事实都可能具有规范的认识论效力。Joyce (1998) 试图通过考虑信念度的准确性来证明概率论的正确性。其基本思想是，如果存在另一个信念度函数，该函数在每个可能世界中至少具有同等的准确性，并且在某些可能世界中严格更准确，则该信念度函数是有缺陷的。在世界 w 中，命题 A 的信念度 b(A) 的准确性等于 b(A) 与 A 在 w 中的真值之间的距离，其中 1 代表真，0 代表假。例如，对于真命题，信念度最高为 1，其值越高，准确性越高——如果等于 1，则完全准确。信念度函数 b 在世界 w 中的整体准确性由各个信念度 b(A) 的准确性决定。 Joyce 能够证明，在给定一些关于如何测量距离或不准确性的条件的情况下，信念度函数遵循概率演算，当且仅当不存在任何替代信念度函数，使其在每个可能世界中至少同样准确，且在某些可能世界中严格更准确（“唯一如果”部分在 Joyce 1998 年的论文中未明确提及，但在 Joyce 2009 年的论文中有所提及）。因此，信念度应该遵循概率演算。

。

。Bronfman（2006 年，其他互联网资源）观察到，Joyce 关于不准确性度量的条件并非决定单一度量，而是决定了一整套不准确性度量。Joyce 的所有度量都一致认为，信念度函数违反概率公理的代理应该采用一个概率信念度函数，该函数在每个可能世界中至少同样准确，且在某些可能世界中更准确。然而，这些度量在建议代理应采用哪种特定概率度量方面可能有所不同。事实上，对于每一个可能世界，遵循一种度量的建议会导致主体根据其他度量的准确性降低。那么，为什么布朗夫曼反对理想的信念主体首先要从其非概率信念度函数转向概率度量呢？Maher（2002）以及最近的Easwaran和Fitelson（2012）也提出了其他反对意见。Joyce（2009年和2013年（其他网络资源））和Pettigrew（2013年、2016年）也对这些反对意见进行了探讨。Leitgeb和Pettigrew（2010a；2010b）提出了一些条件，将不准确性度量范围缩小到所谓的二次评分规则。这使他们能够避开布朗夫曼的反对意见。有关详细说明，请参阅“概率论的认知效用论证”条目。

有关概率主义的其他论证，请参见 Cox (1946) 和测量理论表示定理 (Krantz 等，1971)。有关后者的批评，请参见 Meacham & Weisberg (2011)。有关从分割不变性角度对概率主义的最新论证，请参见 Leitgeb（即将出版）。

3.1.4 更新规则

概率主义对信念度施加了共时条件。但是，当收到新信息时，主观概率应该如何更新？更新规则是历时条件，它告诉我们在收到新信息时如何修改我们的主观概率。有两个标准更新规则。当新信息获得最大信念度时，适用严格条件化。Jeffrey 条件化允许在获取新信息时没有命题升级到完全确定的情况。在第一种情况下，概率主义通过

严格条件化

得到扩展。如果 Pr(⋅) 是你在时刻 t 的主观概率，并且如果在 t 和 t′ 之间你确定 A∈APr 且没有逻辑上更强的命题，那么你在时刻 t′ 的主观概率应该是 Pr(⋅∣A)。

严格条件化是指，只要 A 具有正的先验概率，那么代理人在确定 A 之后对命题 B 的新主观概率应该等于她在 A 条件下对 B 的旧主观概率。这是迄今为止最标准的部分信念更新模型。

敏锐的读者可能会反对说，我们的严格条件化陈述中隐藏了其他条件不变条款。按照预期的解释，在 t 和 t′ 之间你的主观信念状态的唯一外部变化是你确定了 A。此外，你不会忘记任何事情，不会对先前的信念产生怀疑，也不会获得任何新概念。最后，t 和 t′ 之间不存在时间 t′′，在此时间之前，你对 A 的信念度提升到 1，而你的其他主观概率却还没能“赶上”。如果存在，那么你在 t′′ 和 t′ 之间就会出现概率上的不连贯性。按照预期的解释，虽然你在 t 和 t′ 之间获得了信息，但你的主观概率在 t′ 之前保持不变，此时新信息会被整体吸收。这类考虑同样适用于我们在本文中讨论的其他形式的条件作用，包括第 3.4 节中的条件作用。有关解释条件化难点的详细讨论，请参见 Spohn (2012, p. 186–8)。

如果新信息不能使任何命题确定，而仅仅改变了某些命题的主观概率，该怎么办？Jeffrey (1983a) 对这个问题给出了最广为接受的答案。粗略地说，Jeffrey 条件化认为，理想的信念主体应该保持其“推理信念”，即基于任何证据命题的所有假设的概率。

。

。Jeffrey 条件化

。假设 Pr(⋅) 是你在时刻 t 的主观概率，且在 t 和 t′ 之间，你在分区 {Ai:1≤i≤n}⊆APr（没有更精细的分区）中的主观概率变为 pi∈)0,1)，其中 ∑ipi=1。那么，你在时刻 t′ 的主观概率应该是 Pr′(⋅)=∑iPr(⋅∣Ai)pi。

。

。 Jeffrey 条件化认为，在主体对分区元素的主观概率变为 pi 之后，主体对 B 的新主观概率应该等于其在 Ai 条件下对 B 的旧主观概率的加权和，其中权重是分区元素的新主观概率 pi。

为什么我们应该根据严格条件化或 Jeffrey 条件化来更新主观概率？Teller (1973) 和 Lewis (199) 提出了荷兰书籍风格的严格条件化论证，并在 Armendt (1980) 中扩展到 Jeffrey 条件化。更多信息，请参阅 Skyrms (1987, 2006)。Leitgeb 和 Pettigrew (2010b) 提出了严格条件化的准确性论证（另见 Greaves 和 Wallace, 2006），以及 Jeffrey 条件化替代方案的论证。要了解概述，请参阅关于概率论的认识论效用论证的条目。