信念的形式化表征（五）

其他哲学家也提出了反对严格（以及杰弗里）条件化的论据：范弗拉森（van Fraassen，1989）认为理性并不要求采用特定的更新规则（另见Hájek，1998和Kvanvig，1994）。阿恩茨纽斯（Arntzenius，2003）利用自我定位信念的“转移”特性来反对严格条件化，以及范弗拉森的反射原理（参见范弗拉森，1995；关于反射原理和荷兰书论证的深入讨论，参见Briggs，2009a）。阿恩茨纽斯（Arntzenius，2003）使用的第二个特征称为“扩散”，并非自我定位信念所特有。韦斯伯格（Weisberg，2009）认为，杰弗里条件化无法处理他称之为“知觉破坏”的现象。有关杰弗里条件化的辩护，请参阅Huber（2014）。

就我们的目的而言，需要指出的是，条件概率始终是实质条件概率的下限。换句话说，

每当 p(E)＞0 时，p(H|E)≤p(E→H)，

我们可以将其视为 2.1.1 节中讨论的条件化定性原理的定量版本。无论贝叶斯代理在更新 E 后对 H 的信心有多大，她都必须至少同样确信 H 是 E 的实质结果。Popper 和 Miller (1983) 认为这一观察结果“彻底摧毁了概率演算的归纳解释”。有关 Popper-Miller 争论的历史，请参见 Earman (1992) 的第四章。Jeffrey 条件作用也可以证明类似的性质（Genin 2017，其他互联网资源）。

3.1.5 无知

主观概率论通过赋予命题 A 及其补集 ¬A 0.5 的概率来建模对命题 A 的无知。更一般地，当且仅当 Pr(Ai)=1/n 时，主观概率为 Pr 的主体才被称为对分区 {A1,…,An} 无知。无差异原则要求，当主体粗略地缺乏相关证据时，其主观概率以这种方式分配。Leitgeb 和 Pettigrew (2010b) 为无差异原则提供了一个准确性论证。然而，如果所讨论的分区不固定，该原则会导致矛盾的结果。举一个简单的例子，假设索菲亚不知道某个大理石弹珠的颜色。那么，她必须几乎肯定它不是蓝色的。在这种情况下，对一件事的无知意味着她对另一件事非常固执己见。但据推测，她也不知道该颜色是否是蓝色。有关更多信息，请参阅 Kneale (1949) 中关于伯特兰悖论的讨论和概率解释条目第 3.1 节。无差异原理的一个更谨慎的版本是最大熵原理，它同样适用于分区包含可数无穷个元素的情况。它要求主体采用其中一个概率测度 Pr 作为其对可数分区 {Ai}（由其生成的 σ 场）的信念度函数，以最大化数量 −∑iPr(Ai)logPr(Ai)。后者称为 Pr 关于分区 {Ai} 的熵。参见 Paris (1994)。

假设索菲亚对葡萄酒了解不多。根据无差异原理，她对奥地利席尔歇尔酒是白葡萄酒的信念度和对它是红葡萄酒的信念度都应该是 0.5。请将此与以下情况进行对比。索菲亚确信某枚硬币是公平的，即硬币正面朝上的客观概率和反面朝上的客观概率都恰好是0.5。主要原理（Lewis，1980）大致要求，在客观概率相同的条件下，一个人的主观概率应该等于客观概率（参见Briggs，2009b）。根据主要原理，她相信硬币在下一次旋转中会正面朝上的概率也应该是0.5。虽然索菲亚在这两种情况下的主观概率相似，但有一个重要的区别。在第一种情况下，0.5的主观概率代表完全无知。在第二种情况下，它代表对客观概率的确定性。

这样的例子表明，主观概率论不能充分解释部分信念，因为它无法区分完全无知和对概率的了解，或者至少是确定性。我们将在第3.2节

中讨论对这一反对意见的潜在回应。 3.1.6 审议与行动

。贝叶斯部分信念模型的显著优势之一是，它可以即插即用地应用于一个重要的实践审议模型。决策理论，或称理性选择理论，是一个过于庞大而杂乱无章的主题，本文无法有效涵盖，但本文将对其进行粗略的概述。有关出色的介绍，请参阅 Thoma (2019) 及其关于决策理论的条目。就我们的目的而言，只需指出存在一个完善的理论，并且对于其他信念模型，尚无可比拟的理论。然而，近期的研究，例如 Lin (2013) 和 Spohn (2017a, 2019)，或许可以弥补定性信念方面的不足。

。

。假设你想做一个六个鸡蛋的煎蛋卷。你把 5 个新鲜鸡蛋打入搅拌碗中。你在冰箱里翻找，发现了一个来历不明的散落鸡蛋。如果你运气好，可以直接把可疑的鸡蛋打入搅拌碗中；如果你对鸡蛋心存疑虑，你可能会先把它打进碟子里，这样就得花更多时间洗碗。

。

。这类决策理论情境包含四个基本要素。首先是结果，我们定义了效用来衡量结果的可取性。就煎蛋卷而言，结果可能是毁掉的煎蛋卷，或者是一个 5 到 6 个鸡蛋的煎蛋卷，无论是否需要额外清洗。其次是状态——通常是行为者未知且无法控制的——会影响决策结果。在我们的例子中，状态指的是可疑鸡蛋的可能状态：好或坏。最后，还有一些行为在决策者的控制范围内。在我们的例子中，这些行为包括将鸡蛋打进碗里或碟子里。当然，还有其他可以想象的行为：你可以把可疑的鸡蛋扔掉，凑合着做一个 5 个鸡蛋的煎蛋卷；你甚至可以抛硬币来决定怎么做。为了简单起见，我们省略了这些。

。

。为了将其纳入部分信念的框架，我们假设行为集合 A1,A2,…,An 划分为 W。我们还假设状态集合 S1,S2,…,Sm 划分为 W。我们假设主观概率函数为每个行为赋予每个状态一个概率。我们假设行为和状态在逻辑上是独立的，因此任何状态都不会排除任何行为的执行。最后，我们假设给定世界状态 Sj 和行为 Ai，只有一个结果 Oij，其效用为 U(Oij)。理性选择理论的最终建议是，主体应该只执行那些最大化预期效用的行为。行为的预期效用定义为：

。

。EU(Ai)=

。m

。∑

。j=1

。PrAi(Sj)U(Oij)，

。其中 PrAi(Sj) 大致表示在主体执行了行为 Ai 的情况下，她考虑 Sj 的可能性。关于如何定义这个量的难题导致了证据决策理论和因果决策理论之间的分裂（参见 Thoma，2019 年第 3.3 节）。然而，在许多情况下，包括煎蛋卷困境，所选择的行为并不影响状态获得的概率。在理性选择理论的术语中，这被称为“行为-状态独立性”。在行为-状态独立的情况下，人们普遍认为 PrAi(Sj) 应该等于无条件信念度 Pr(Sj)。

。

。决策理论文献的核心是一些表示定理，这些定性定理表明，每个具有满足一组理性假设的定性偏好的代理都可以表示为预期效用最大化者（冯·诺依曼和摩根斯特恩，1944 年；萨维奇，1972 年）。这些公理存在争议，并且容易受到直观反例的影响。 Allais (1953) 和 Ellsberg (1961) 给出了一些例子，其中看似理性的主体违反了理性假设，因此即使在原则上也不能被表征为预期效用最大化者。有关 Ellsberg 和 Allais 提出的挑战的更多信息，请参阅“描述性决策理论”条目以及 Buchak (2013)。

3.2 不精确概率

。考虑对3.1.5节中的两个例子进行如下修改。在第一个案例中，索菲亚拿到了一枚饱经风霜、形状不规则的硬币——它刚刚在一座古城的考古发掘中被发现。根据概率论，索菲亚必须对这枚硬币下次旋转时会掷出正面有一个精确的实值信任度。根据无差异原理，她对正面的信任度恰好是0.5。在第二个案例中，她拿到了一枚她确信是公平的欧元硬币——这已经通过大量实验得到了证实。概率论和主要原理要求她对正面的信任度在这种情况下也恰好是0.5。正如我们已经看到的，将无知（在第一种情况下）与对机会的确定性（在第二种情况下）等同起来处理，存在一些不尽人意之处。

。

。有几种不同的方式来阐明这种情况的问题所在。在古钱币的案例中，索菲亚仅仅基于一些模糊不精确的信息就拥有了精确的信任。而在欧元的案例中，她则基于精确的信息而拥有精确的态度。这里的基本直觉是，在索菲亚的证据如此不精确的情况下，出于理性的要求而要求她拥有精确的态度是荒谬的。斯特金（2008）认为，证据和态度必须“性质匹配”，即确凿的证据需要确凿的态度，而不精确的证据只能需要不精确的态度。根据“性质匹配”论题，理性要求索菲亚对古钱币持有不精确的态度。

。

。乔伊斯（2005）以不同的方式阐述了这一难题。他认为，证据的分量和平衡性之间存在重要区别。在古钱币的案例中，证据是平衡的（通过对称性），但由于证据稀少，以至于没有分量。就欧元而言，证据充足（因为证据数量众多）且均衡，因为正面和反面都同样有利。Joyce 批评精确概率论无法体现证据的权重和均衡性之间的区别。Skyrms (2011) 和 Leitgeb (2014) 认为这种区别是可以体现的：反映充足证据的信念在更新后更具弹性（Skyrms 的观点）或更稳定（Leitgeb 的观点）。用古钱币进行几次试验可能会极大地改变索菲亚的信念，但对于欧元则并非如此。

当我们考虑其对决策的影响时，问题就呈现出不同的特征。根据标准理论，效用最大化的贝叶斯主义者必须发现任何赌注的至少一方具有吸引力。很容易检验，如果一个赌注的成本为 $ℓ 且回报为 $w 的赌注具有负预期效用，那么赌注的另一方，即成本为 $w 且回报为 $ℓ 的赌注，具有正预期效用。由于索菲亚在两种情况下的信任度相同，所以无论她对欧元的下一次旋转接受什么赌注，她都必须对古币也接受。因此，即使她对欧元的信念更稳定，这种差异并没有反映在她的投注行为中。然而，直觉上，完全拒绝对古币下注似乎是合理的。对欧元的下注是有风险的：旋转的结果不确定，但每个结果发生的概率都不存在不确定性。对古币的下注是模棱两可的：旋转的结果不确定，而且每个结果发生的概率都存在很大的不确定性。许多看似理性的人在决策时会考虑到这种区别（参见“不精确概率”条目中关于埃尔斯伯格决策的讨论）。然而，这种区别无法在标准理论中体现（参见Buchak (2013)）。

。不精确概率论者（van Fraasen，1990；Levi，1974）对这些难题的回应是，否认单个概率函数足以描述主体的信念。相反，他们认为信念状态最好用一组概率函数来表示。该集合代表一种“信念委员会”，其中每个成员都代表一种精确化每个命题概率的方式。当新信息到达时，每个成员都会通过通常的条件反射进行更新。Levi 要求信念集在凸组合下闭合。换句话说，如果 p,q 是你的信念集的成员，那么对于所有 λ∈0,1)，λp+(1−λ)q 也必须是你的信念集的成员。根据 Levi 的说法，p,q 的凸组合是它们之间“冲突的潜在解决方案”，并且“在暂停对竞争系统进行判断时，不应排除潜在的解决方案”（Levi，1980）。然而，以这种方式解决冲突会导致一些非直觉的后果。例如，如果 p,q 同意两个事件在概率上独立，那么它们的凸组合就并非如此。此外，如果所有信条委员会成员都同意某些硬币存在偏差（因为它弯曲了），但偏差的方向并非一致，那么要求某些委员会成员认为该硬币是公平的，这不符合直觉。关于如何利用概率信条汇总智能体意见的更多信息，请参阅 Dietrich 和 List (2016) 以及 Pettigrew (2019) 的 10.4 节。

无论我们是否接受 Levi 的凸性要求，概率函数集都为我们提供了区分对机会的无知和确定性的资源。如果智能体确信存在客观机会，那么其信条委员会的每个成员都会分配相同的概率。然而，如果她对某个命题一无所知，她的信条集会接受区间 )a,b)⊆ )0,1) 中的值。由于索菲亚对古钱币一无所知，她可能会接受区间 )0,1) 中的任意值来判断下次旋转时正面朝上的命题。但由于她知道欧元是公平的，所以她信条委员会的每一位成员都会为相应的命题分配 0.5 分。如果我们同样重新定义预期效用，那么押注欧元，如果押注成本为 1 美元，如果正面朝上则支付 2 美元，则预期效用为正。但押注古钱币的类似赌注，其预期效用在 -1 到 2 美元之间。这种区别使得人们对这两种赌注持有不同的态度。

有关不精确概率论的详细阐述，请参阅 Levi (1980)、van Fraassen (1990)、Walley (1991) 以及 Kyburg 和 Teng (2001)。有关出色的介绍，请参阅 Mahtani (2019)，以及有关不精确概率的条目及其技术和历史附录。有关通过将信念区间 )a,b)⊆)0,1) 直接分配给命题来避免概率函数集的方法，请参阅 Weichselberger (2000)。有关近期一种复杂的观点，即信念的内容是概率函数集，请参阅 Moss (2018)。

3.2 邓普斯特-谢弗理论

邓普斯特-谢弗 (DS) 信念函数 (Dempster 1968, Shafer 1976) 也可以理解为一种形式上区分风险和模糊性的尝试。与概率函数一样，DS 信念函数是满足正性和幺正性的实值函数 B:A→ℜ。但是，概率函数是可加的，而 DS 信念函数却只是超可加的，即对于 A 中的所有命题 A,B：

如果 A∩B=∅，则 B(A)+B(B)≤B(A∪B)。

尽管对于所有 A∈A，0≤B(A)≤1，但主体对 A 的信念度与其对 ¬A 的信念度之和不必等于 1。

根据一种解释（Haenni & Lehmann 2003），数字 B(A) 表示主体的知识或信念基础对 A 的支持强度。很可能这个基础既不支持 A，也不支持它的补集 ¬A。由于索菲亚对这枚古钱币知之甚少，她的信念基础既不支持命题 Ha（硬币正面朝上），也不支持命题 Ta（硬币反面朝上）。然而，索菲亚很可能确信硬币不会正面朝上。因此，索菲亚的 DS 信念函数 B 将为 B(Ha)=B(Ta)=0 而 B(Ha∪Ta)=1。另一方面，索菲亚确信欧元硬币是公平的。因此，如果 He,Te 分别是欧元正面朝上的命题，则她的 B 将为 B(He)=B(Te)=.5 和 B(He∪Te)=1。这样，DS 信念函数理论可以区分不确定性和对机会的无知。事实上，

I({Ai})=1−B(A1)−…−B(An)−…

可以看作是衡量代理对可数划分 {Ai} 的无知程度。根据这个定义，索菲亚对古硬币下一次旋转的结果最大程度地无知，而对欧元最小程度地无知。

。每个命题 A 都可以看作是将代理的知识库划分为三个互斥且共同穷举的部分：支持 A 的部分、反对 A 的部分（即支持 ¬A）以及既不支持也不反对 A 的部分。B(A) 量化支持 A 的部分，B(¬A) 量化支持 ¬A 的部分，I({A,¬A})=1−B(A)−B(¬A) 量化既不支持 A 也不支持 ¬A 的部分。

我们可以通过以下方式理解其与主观概率论的关系。主观概率要求理想的信念主体将其知识库划分为两个互斥且共同穷举的部分：一个支持 A，另一个反对 A。也就是说，中性部分必须分布在正向和负向部分之间。因此，主观概率可以被视为不包含无知性的 DS 信念函数。（有关包含概率论和 Dempster-Shafer 理论作为特例的信念状态模型，请参阅 Pryor (2007, Other Internet Resources)。）

DS 信念函数通过设定

P(A)=1−B(¬A),

推导出一个似真性函数 P:A→ℜ，其中 P(A)=1−B(¬A) 代表 A 中的所有 A。似真性程度量化了主体知识或信念库中与 A 相容的部分，即支持 A 的部分和既不支持 A 也不支持 ¬A 的部分。 Dempster 和 Shafer 将 A 的似真性称为其上限概率。实际上，我们可以将区间 )B(A),P(A)) 解释为主体赋予命题 A 的概率区间。在我们的例子中，索菲亚将区间 )0,1) 分配给“古钱币正面朝上的命题”，将 )5,.5) 分配给“欧元正面朝上的命题”。

Dempster-Shafer 理论比主观概率理论更具普遍性，因为后者需要可加性，而前者只需要超可加性。然而，大多数作者认为 DS 理论不如不精确概率论那么普遍。原因是 DS 信念函数可以表示为概率的凸集。更准确地说，对于每个DS信念函数B，都存在一个凸概率集P，使得B(A)=min{p(A):p∈P}和P(A)=max{p(A):p∈P} (Walley 1991)。由于并非所有凸概率集都能表示为DS信念函数，因此概率集可以说提供了迄今为止我们遇到的最通用的框架。

。

。DS信念函数如何反映在决策中？DS理论的一种解释，称为可迁移信念模型（Smets和Kennes，1994），它区分了两个心理层面：信条层面，即人们持有并量化各种信念；以及猪猡层面，即人们运用这些信念进行决策。其双重论点是，（公平）投注比率确实应该遵循概率演算，但信念程度与（公平）投注比率不同，因此不必遵循概率演算。只要它们满足较弱的 DS 原则就足够了。其思想是，每当一个人被迫在猪级水平上下注时，来自信念水平的信念度将用于计算满足概率公理的（公平）下注比率。然后，这些比率又用于计算代理人对各种行为的预期效用。

。

。Dempster-Shafer 理论的主要新颖之处之一是它对信念更新的建模，我们在此不做介绍。有关这一方面以及 Dempster-Shafer 理论其他方面的详细介绍，请参见 Kyburg 和 Teng (2001) 的 5.4 节。有关 Dempster-Shafer 理论的 Dutch Book 式论证，请参见 Paris (2001)。有关准确度式论证，请参见 Williams (2012)。

。

。3.3 可能性和似真性理论

。让我们总结一下到目前为止我们已经处理过的论述。主观概率论要求信念度具有可加性。对于 A 中任何不相交的 A,B，主观概率函数 Pr: A→ℜ 必须满足：

Pr(A)+Pr(B)=Pr(A∪B)。

Dempster-Shafer 理论只要求信念度具有超可加性。对于 A 中任何不相交的 A,B，DS 信念函数 Bel: A→ℜ 必须满足：