信念的形式化表征（六）

B(A)+B(B)≤B(A∪B)。

但是，我们可以通过许多其他方式弱化可加性公理。可能性理论（Dubois and Prade，1988）要求信念度具有最大值，因此具有次可加性。对于任何 A,B∈A，可能性测度 Π:A→ℜ 必须满足：

Π(∅) =0;

Π(W) =1;

max{Π(A),Π(B)} =Π(A∪B);

这意味着

Π(A)+Π(B)≥Π(A∪B).

这个想法是，一个命题至少与它包含的每一种可能性一样可能，并且不会比“最可能”的可能性更大。必然性度量 N:A→ℜ 的对偶概念对于 A 中的所有 A 定义为

N(A)=1−Π(¬A),

这意味着

N(A∩B)=min{N(A),N(B)}.

虽然在可能性理论中，主体的信念状态完全由 Π 或 N 指定，但主体对特定命题 A 的认知态度仅由 Π(A) 和 N(A) 共同指定。原因是，与概率论相反，Π(W∖A) 不由 Π(A) 决定。

。

。可能性理论的灵感来自模糊集理论 (Zadeh, 1978)。后者旨在适应语言中的模糊现象（参见 Égré & Barberousse 2014、Raffman 2014、Williamson 1994、Field 2016 以及有关模糊性的词条）。像“高”这样的谓词会产生模糊性，对于它有极端、典型和边界情况。我们可以用成员函数 μT:H→)0,1) 正式表示这种现象，其中 μT(h) 是身高 h∈H 的人属于高个子人集合 T 的程度。那么，μ−1(1) 是所有高个子人的集合；μ−1(0) 是所有矮个子人的集合；并且 ∪r∈(0,1)μ−1(r) 是所有边界身高的集合。由于许多不同的身高都很高，因此很明显这种隶属函数不应该满足可加性。

。

。模糊集理论将 μT(178cm) 解释为模糊陈述“身高 178 厘米的人很高”的正确程度。真值程度属于语言哲学。它们（目前）与信念程度无关，信念程度属于认识论。可能性理论的认识论论点是，你的主观可能性程度应该反映关于隶属程度的语义事实。假设你知道索菲亚很高。那么，“索菲亚身高 178 厘米”这一陈述的可能性程度应该等于 μT(178cm)。这可以优雅地处理边界身高问题，但在极端情况下会产生一些不直观的后果。因为，假设 μT(190cm)=μT(210cm)=1，你必须找到索菲亚身高 190 和 210 厘米的最大可能性。

在“偶然”情况下，可能性理论只能做出非常粗略的区分。由于索菲亚确信欧元硬币不会正面朝上 Π(H∪T)=Π(W)，所以她一定有 Π(H)=1 或 Π(T)=1。模拟她的态度最自然的方式是设定 Π(H)=Π(T)=1。没有办法表达对正面和反面都抱有部分态度，因为两者都是最大可能的。

Halpern 的似真性度量 (Halpern 2003) 提供了一个比可能性或 Dempster-Shafer 理论更通用的框架。这些函数 Pl:A→ℜ 满足：对于 A 中的所有 A,B：

Pl(∅) =0；

Pl(W) =1；

如果 A⊆B，则 Pl(A) ≤Pl(B)。

除概率集外，本节中我们看到的每个部分信念模型都是似真性测度的特例。虽然部分信念函数应该遵循 Halpern 的似真性演算这一点毫无争议，但他的最小原理是否涵盖了任何与认识论相关的内容却值得怀疑。无论如何，由此产生的认识论都非常单薄。但需要注意的是，Halpern 并不打算将似真性测度用作完整的认识论，而是一个研究更具体论述的通用框架。

有关可能性理论的更多信息，请参阅 Huber (2009) 和 Halpern (2003)。请参阅后者，尤其了解条件可能性度量的方法。有关部分信念模型的有用分类，请参阅归纳逻辑条目的此附录。

。3.4 排序理论

。排序理论（Spohn 1988、1990 以及尤其是 2012）直接将不信任程度以数值形式分配给 W 中的可能性。逐点排序函数 κ：W→N∪{∞} 为 W 中的每个可能世界分配一个自然数（或 ∞）。这些数字代表您赋予每种可能性的不信任程度。利用逐点排序函数，我们可以生成 W 的编号划分：

。

。κ−1(0)，κ−1(1)，κ−1(2)，…，κ−1(∞)。

。单元格 κ−1(∞) 是最大不信任程度的可能性集合。单元格 κ−1(n) 是被不相信程度为 n 的可能性的集合。最后，κ−1(0) 包含未被不相信的可能性（尽管这并不意味着它们被相信）。除 κ−1(0) 外，单元格 κ−1(n) 可以为空。由于人们不可能始终不相信所有事情，因此第一个单元格不能为空。

逐点排序函数 κ 通过设置

ϱ(A)=min{κ(w):w∈A}，

诱导域 A 上的排序函数 ϱ:A→N∪{∞}，其中每个 A∈A。换句话说：一组世界被不相信的程度，仅与其最可信的成员相同。按照惯例，我们设 ϱ(∅)=∞。这意味着排序函数是（有限）最小的，因此是超可加的。换句话说，对于 A 中的所有 A,B，

。

。 ϱ(A∪B)=min{ϱ(A),ϱ(B)}。

。或者，我们可以将排序函数描述为满足

的函数 ϱ:A→N∪{∞}。

。 ϱ(W)=0；

。 ϱ(∅) = ∞;

。 ϱ(A∪B) =min{ϱ(A),ϱ(B)},

对于所有 A,B∈A。第一条公理规定，任何主体都不应不相信重言式命题 W。第二条公理规定，每个主体都应最大限度地不相信矛盾命题。直观地说，最后一条公理规定，只有当两个析取项都不相信时，才应该不相信析取项 A∪B。然而，这条解释并未穷尽最后一条公理的含义（参见 Huber，2020 年第 4.1 节）。

。

。如上所述，第三条公理称为有限最小性。与概率论一样，它可以加强为可数并集，从而得到可数最小的排序函数。与概率论不同，有限最小性也可以加强为任意并集，从而得到完全最小的排序函数。有关在命题域上定义的排序函数会在潜在可能性集上导出逐点排序函数的条件，请参阅 Huber (2006)。

数字 ϱ(A) 表示代理对命题 A 的不信任程度。如果 ϱ(A)＞0，则代理对 A 的不信任程度为正。因此，出于不一致的考虑，她不能对 ¬A 的不信任程度也为正。换句话说，对于 A 中的每个命题 A，A 和 ¬A 中至少有一个必须被分配等级 0。如果 ϱ(A)=0，则代理不会对 A 的不信任程度为正。然而，这并不意味着她对 A 的信任程度为正——代理可以暂停判断并将 A 和 ¬A 都分配等级 0。因此，对命题的信任以对其否定的不信任为特征。

对于每个排序函数ϱ，我们可以定义一个相应的信念函数β:A→Z∪{±∞}，即对A中的所有A设定β(A)=ϱ(¬A)−ϱ(A)。信念函数为相信的命题赋正数，为不相信的命题赋负数，为代理暂停判断的命题赋0。每个排序函数ϱ都会产生一个信念集

B ={A∈A:β(A)＞0}

={A∈A:ϱ(¬A)＞ϱ(A)}

={A∈A:ϱ(¬A)＞0}.

B是代理在某种程度上相信的所有命题的集合，或者说，是代理在某种程度上不相信其补语的所有命题的集合。由（有限/可数/完全最小）排序函数ϱ 诱导的信念集 B 是一致的，并且是演绎封闭的（在有限/可数/完全意义上）。由于任何 β(A)＞0 的命题都被相信，因此排序理论可以被视为满足洛克论题（参见第 4.2.2 节），且不牺牲演绎封闭性。然而，请注意，我们可以将 B 定义为包含所有 β(A)＞t 的命题 A，其中阈值 t 大于零。有关这些可能性的探讨，请参阅 Raidl (2019)。

到目前为止，我们讨论了排序理论强加于信念的共时结构。当收到新信息时，应该如何更新排序？基于非条件排序函数 ϱ 的条件排序函数 ϱ(⋅∣⋅):A×A→N∪{∞} 定义为设定

ϱ(A∣B)=ϱ(A∩B)−ϱ(B)，

对于 A 中的所有 A,B，其中 A≠∅。我们采用约定，即对于所有有限 n，∞−∞=0 和 ∞−n=∞。注意，这意味着 ϱ(¬A∣A)=∞。要求对于 A 中的所有 B，ϱ(∅∣B)=∞ 保证了 ϱ(⋅∣B) 是一个（非条件）排名函数。条件排名函数产生了严格条件化的排名理论对应物：

简单条件化。

假设 ϱ(⋅) 是你在时间 t 的排名函数，并且 ϱ(A),ϱ(¬A)＜∞。此外，假设在 t 和 t′ 之间，你确定 A，并且没有逻辑上更强的命题。那么，您在时间 t′ 的排名函数应该是 ϱ(⋅∣A)。

请注意，与贝叶斯条件化的解释相关的所有考虑（在第 3.1.4 节中讨论）同样适用于排名理论条件化。从条件化的定义可以清楚地看出，与贝叶斯情况一样，实质条件的秩是条件秩的下限：β(A→B)≤β(B|A)。这确保了排名理论更新满足条件化（参见第 2.1.1 节）。它还满足一个版本的理性单调：如果 β(¬A)=0 且 β(B)＞0，则 β(B|A)＞0。因此，排名理论更新满足 AGM 更新的“精神”。然而，需要注意的是，排序理论在迭代信念修正方面没有任何问题：修正将排序函数和证据命题作为输入，并输出一个新的排序函数。此外，如果信念阈值提高到大于零的某个正数，情况就会发生变化：在这种情况下，理性单调性可能不再得到满足（参见 Raidl，2019）。

。

。简单的条件化仅涵盖新证据获得最大确定性的情况。Spohn（1988）还定义了一个与 Jeffrey 条件化类似的排序理论。在这种情况下，新证据不会获得最大确定性，而只是改变了你对各种命题的排名。有关排序理论中信念更新概念的更多信息，请参阅 Huber（2014，2019）。有关概率论和排序理论的比较，请参阅 Spohn（2009，第 3 节）

。

。为什么不信任的等级应该遵循排序演算？为什么排序函数要根据排序理论的条件化来更新？回想一下，在主观概率论中，类似的问题可以通过诉诸 Dutch 书中的论证或对认识论准确性的考虑来回答。是否有可能提出类似的论证来支持排序理论？

。

。简而言之，是的：Huber（2007 年和 2020 年，第 5 章）证明，遵守排序演算的规范约束是保持一致性和演绎闭合性的必要充分条件，无论是在同步性方面还是在面对新证据时都是如此。后者反过来是达到始终只拥有真实信念并尽可能多地拥有真实信念的必要但不充分的手段。与 Dutch 书中的论证不同，这一结果不需要诉诸关于投注行为的务实考虑。 Brössel、Eder 和 Huber (2013) 讨论了这一结果的重要性，以及其贝叶斯榜样——Joyce (1998, 2009) 对概率论的“非实用主义”辩护。

显而易见，任何遵循排序演算的同步性要求（并根据其中一条规定的更新规则进行更新）的智能体，无论出现什么新证据，都将保持相互一致且演绎闭合的信念。稍微令人费解的是，为什么任何未验证排序演算的智能体要么持有不一致的信念，要么无法相信其某些信念的逻辑结果。换句话说：排序演算显然足以保证演绎说服力，但为什么它是必要的呢？

为了概述必要性论证，我们必须引入一些术语。代理对命题 A 的固守程度等于代理需要多少个“独立且最低限度正可靠”（mp-reliable）的信息源表明 A，才能让代理放弃对 A 的怀疑。如果代理一开始就不怀疑 A，那么她对 A 的固守程度为 0。如果没有有限数量的信息源能够让代理放弃对 A 的怀疑，那么她对 A 的固守程度为 ∞。当然，我们通常遇到的信息源很少是独立的或 mp-reliable 的。然而，这并不重要。独立的、mp-reliable 的信息源是一种理论构造——固守和更新之间的联系被表述为反事实，因为代理实际上并不需要遇到这样的信息源。

。

。必要性论证通过规定固守反映在怀疑程度中来进行。这将代理的更新行为与她对各种命题的排名联系起来。回想一下，贝叶斯学派规定了信念程度与可接受投注率之间的类似联系。基于这种联系，Huber（2007，2020）证明：如果一个主体未能验证排序演算，那么当她遇到各种独立的、概率密度函数可靠的信息源时，她的信念将无法被演绎地说服。这就完成了必要性论证。

。

。除了决策制定（参见 Giang 和 Shenoy，2000 以及 Spohn，2017a，2020）之外，我们似乎可以用排序函数完成所有可以用概率测度完成的事情。排序理论也自然地引出了一种定性信念的概念，这种概念不会引发彩票式的悖论（参见第 4.2.2 节）。如果我们想要与传统的认识论保持一致，这一点可能至关重要。本文对排序理论的论述必然较为简练。优秀的文章长度介绍，请参阅 Huber (2019)。通俗易懂的书籍，请参阅 Huber (2020)。详尽的书籍论述，涵盖认识论和科学哲学的诸多主题，请参阅 Spohn (2012)。

4. 完全信念与部分信念

4.1 消除主义

有些人否认存在任何连接完全信念和部分信念的有趣原则。持这种观点的理论家通常希望消除其中一种态度，或将其简化为另一种态度的特例。Jeffrey (1970) 认为，完全信念的讨论已是过时的，最终将被部分信念和效用的讨论所取代：

......我也不受到我们普通的信仰概念的事实，只是遗址存在于信仰程度的概念中。 我倾向于认为Ramsey将骨髓吸出普通的概念，并用它来滋养更充分的观点。 但也许有价值更多。 我希望如此。 告诉我; 我没有清楚地看过它，但它可能会在那里。

Kaplan（1996）等理论也表明，一旦贝叶斯决策理论到位的机制，就会谈论全面的信仰是多余的。 毕竟，只有部分信仰和公用事业公司在贝叶斯审议的贝叶斯框架中发挥作用，而完全不需要提出全面的信念。 致力于全面信仰的人具有表明合理性如何成为穷人的负担，而无需诉诸全面信念。 卡普兰称这是贝叶斯挑战。 Stalnaker（1984）更加同情对信仰的质量概念，但承认贝叶斯挑战的力量。

确实，对贝叶斯实际审议的理论没有规范定性类似物。 然而，事实上，这是一个感到挑战的全面信念的理论家，而不是反之亦然，可能是历史的事故：如果首先制定了实际审议的定性理论，那么鞋子现在将在另一只脚上。 如果定性决策，这种情况甚至更加严重，我们似乎似乎实施了当然，我们仍然不如贝叶斯对应的方式苛刻。 当然，这预期了不良的理性定性审议理论，这是不立即即将到来的。 然而，林（2013）和Spohn（2017年，2019年）等最近的工作可能会弥补不足的情况。 例如，林（2013）证明了一种野蛮风格的表示定理，其特征在于全面信仰之间的关系，渴望过度的结果和偏好。 通过在定性信仰方面制定理性行动理论，Lin展示了人们如何应对贝叶斯挑战。

另一方面，有足够的信念的偏见对部分信仰深感持怀疑态度。 参见Harman（1986），Pollock（2006），Moon（2017），Horgan（2017）和Hájek和林（2017年）的“坏警察”。 这些对象中的许多人认为，部分信念没有心理现实，如果他们这样做是太难的理由。 霍根（2017年）概要说，通常“没有这种心理状态作为代理人在P”和P“和贝叶斯认识论中是”像炼金术和普利克斯顿理论一样：它不是关于任何真实现象，因此它也不是关于任何管理真实现象的真正规范。“ 哈曼（1986）认为，我们有很少的明确部分信仰。 根据哈曼的说法，推理理论可以担心只有明确的态度，因为这些是唯一可以在推理过程中铭记的态度。 因此，贝叶斯宣传学，虽然可能是对行为的性格的说法，但不是推理的指导。 尽管如此，部分信仰可能是在我们全面信仰的系统中隐含的，因为他们可以从我们的性格重建来修改它们：

我们应该如何考虑不同的明确信念的优势？ 我倾向于假设这些不同的优势在一个人/毫无时尚的信仰系统中隐含。 我的猜测是，由于修订规则的运作，它们将被解释为一种副教徒。 例如，如果比Q相信P比停止相信Q，可能是因为它可能需要更多的修订一个人的视图来停止相信P比停止相信Q（第22页）需要更多的修订。

在这张照片上，几乎所有的明确信念都是定性的。 部分信念并未对命题的态度态度，而是倾向于修改我们的全面信仰。 根据HARMAN的说法，部分信仰的正确理论与预测订单有关（参见第2.2.2节）或排名 - 理论的信仰程度（参见第3.4节）而不是概率。 其他明显的部分信仰态度被解释为对客观概率的全面信念。 因此，在股票票据的情况下，这位经纪人不相信第n票的高度不胜利，而是完全相信它将客观地不可能赢得它。

Frankish（2009年）哈曼的观点要求代理人对任何一个主张的主张充满信心：“这肯定是错误的。 在明天下雨的主张中，我有一定程度的信心（不到50％），但我不相信它将暴雨，至少是至少，由日常标准进行平息信念。“ Harman可能会回答，法兰语只是明天雨的客观概率充满信心。 朴素声称，这种逃生路线关闭了哈曼，因为单一事件“没有客观概率”，但这件事几乎没有解决。

Staffel（2013）举例说明了一个例子，其中具有更高程度的信仰程度的命题显然不如具有较低信念程度的根深蒂固。 假设您将从一个充满红色和黑色大理石的大罐子绘制一系列200万大块大理石。 你不知道大理石比例是红色的。 考虑以下情况：

（1）你画了二十大块大理石，19个黑色和一个红色。 你将绘制的最后一个大理石的信仰程度是黑色的.95。

（2）你绘制了一百万个大理石，其中90万是黑色的。 你将绘制的最后一个大理石的信仰程度为黑色是19/20 = .90。

Staffel认为，您在第一个案件中的信仰程度高于第二个，但在第二个案件中的另一个案例比在第一件事中更加根深蒂固。 因此，信仰程度不能降至壕沟程度。 尽管如此，在大理石的情况下，相同的甘蓝对哈曼开放 - 他可以声称，在这两种情景中，你只会在一个关于客观机会的主张中充满信心。 查看Stablel（2013年）与哈曼（1986年）更广泛的参与。