信念的形式化表征（七）

4.2桥梁理论

任何允许全部和部分信仰都存在的人继承了一个棘手的问题：如何与部分信念有关的全面信念？ 这看起来无辜的问题导致危险搜索与她的全面信仰有理解的理性代理人的部分信仰的桥梁原则。 从事搜索桥梁原则的理论家通常认为理所当然地理解全面信仰及其修订的一些理性原则。 AGM理论，或非单调推理的竞争体系。 理想的理论人员通常也认为部分信念应该通过遵循一些贝叶斯合理性的概率函数来代表。 挑战是提出额外的理性假设，了解理性代理人的部分信仰如何与她的全面信仰相互作用。 在本节中，我们将在大多数情况下接受受欢迎的智慧，并假设正统贝叶斯主义是部分信念的正确模型及其更新。 我们将更加开放地思考全面信仰的建模及其合理修订。

在本节中，我们将再次引起集合W主张成为信仰的对象。 如前所述，邀请读者认为W作为一组粗粒，互斥，可能的方式可能是可能的。 我们写B表示代理商认为和使用B（a）作为a∈b的速记。 我们还需要一些符号的定性命题信念变革。 对于所有的e⊆w，写作的命题是代理人会相信学习E而且没有更强的主张。 我们还将为a∈be写成b（a | e）。 按照惯例，B = BW。 如果F是一组命题，我们让BF是集合{是：e∈f}。 该集合BF代表了一个代理商的性格，以更新来自F的信息的定性信念。

关于全面信念B组的下列规范限制在下面的榜样上发挥着重要作用。

演绎酷症。 信念集B是一致的，如果才是∩b⊆b才能保持一致和b∈b。

换句话说，演绎的核心意味着有一个单一的，非空的命题，∩b，这是代理人认为，留下所有其他信仰的逻辑上最强的命题。

我们所看到更新定性信仰的所有理性规范都具有主张类似物。 以下是AGM原则的命题类似物来自第2.2.1节。

（关闭）be = cn（be）;

（成功）e∈be;

（包含）be⊆cn（b∪{e}）;

（保存）如果¬e∉cn（b），那么b⊆be;

（一致性）是一致的iff e;

（转型）如果e≡f，则是= bf。

（连体包容）be∩f⊆cn（be∪{f}）;

（联合保存）如果¬f∉cn（be），cn（be∪{f}）⊆be∩f。

假设对于所有e⊆w，满足演绎核心，前六个假设减少了以下三个。

（成功）∩be⊆e;

（包含）∩b∩e⊆∩be;

（保存）如果是∩b⊈¬e，那么∩be⊆∩b∩e。

一起，包含和保存的说法，无论何时信息e都与当前信仰∩b一致，

∩be=∩b∩e。

如果F是一个命题和所有e∈f，则信仰集B，符合AGM原则，我们说，BF，代理商的性格更新她的定性信念来自F，Satsifies基本的AGM原则。

我们将使用PR（⋅）表示代表代理人的部分信仰的概率函数。 当然，PR（⋅）在W的Σ-代数上定义。在通常的情况下，当W是有限的时，我们可以将PowerSet P（W）作为相关的Σ-代数。 为了更新部分信念，我们采用标准的概率建模。 对于e⊆w，这样Pr（e）＞ 0，Pr（⋅| e）是学习E的部分信念功能。我们有时会使用PR作为PR的速记（⋅| e）。 几乎总是，部分信念通过标准调节更新。 如前所述，APR是根据PR的正当概率的主题。

4.2.1信仰作为极值概率

第一个桥梁原则，表明本身就是充分信念只是部分信念的最大程度。 概率地表达了概率，它说，始终是理性代理人的信念和部分信念可以由一对⟨b，p⟩满足：

极值概率。 a∈b如果且仅当pr（a）= 1时。

Roorda（1995）致电此次接受的遵守方式和部分信仰应该是如何互动的。 Gärdenfors（1986）是这个观点的代表，van Fraasen（1995）和Arló-Costa（1999）也是如此，尽管后两者接受了略微非标准的部分信念的概率模型。 对于演绎核心的粉丝，以下观察应该有利于接受的观点。

定理。 如果⟨b，p⟩满足极值概率，则B是推迟履行的。

Gärdenfors（1986）证明了以下内容。

定理。 假设that⟨be，预先满足所有e∈apr的极端概率。 然后BAPR满足AGM假设。

换句话说：如果代理人的部分信念验证概率公理，她通过贝叶斯调理更新，并充分相信所有和只有极端概率的命题，她的定性更新行为将满足所有AGM假设（至少只要贝叶斯调理定义）。 接受AGM Revision的读者假设是一个正弦的非理性信念更新，这将使这是收到的观点的好消息。

Roorda（1995）对接受的观点进行了三次批评。 考虑以下三个命题。

Millard Fillmore是美国第13届主席;

Millard Fillmore是美国总统;

Millard Fillmore也是不是美国总统。

当然，我并不像我在第13届总统那样自信，因为我是（3）所表达的正版学的真相。 然而，说我完全相信（1），（2）和（3）中的每一个都没有出现任何错误。 但是，如果极值概率是正确的，则完全相信（1），（2）和（3）中的每个概率是不合理的，并且不会将它们分配所有相同程度的信念。

鲁尔达的第二个反驳诉诸于信念度与实际决策之间的标准联系。假设我完全相信(1)。根据用投注商来解释信念度的标准方法，如果(1)为真，我应该接受一个赔付一美元的赌注；如果(1)为假，我应该损失一百万美元。事实上，如果我真的赋予(1)单位概率，那么只要(1)为真，我几乎应该接受任何能保证获得正收益的赌注。然而，完全相信(1)而不接受这样的赌注似乎是完全合理的。如果我们接受贝叶斯决策理论，极值概率似乎会让我陷入各种怪异且看似非理性的投注行为。

。

。鲁尔达对极值概率的最后一个挑战诉诸于可矫正性，根据可矫正性理论，我们有理由相信，至少我的一些信念可能需要根据新信息被抛弃。然而，如果部分信念通过贝叶斯条件反射进行更新，我就永远不会停止相信我的任何完整信念，因为如果 Pr(A)=1，则对于所有 E，Pr(A|E)=1，使得 Pr(E)＞0。如果我们相信贝叶斯条件反射，极值概率似乎意味着我无法根据新信息修改我的任何完整信念。

。

。4.2.2 洛克阈值

。对公认观点的困难的自然反应是放弃完全确定性。也许完全信念对应于超过某个阈值但达不到确定性的部分信念。Foley (1993) 将这种观点称为洛克论题，该论题源自洛克 (1690/1975)《人类理解论》第四卷中的一些看似类似的言论。到目前为止，洛克论题实际上是模棱两可的。可能存在一个对所有主体和所有情况都合理规定的单一阈值。或者，每个代理可能有自己的阈值，应用于所有情况——该阈值可以表征代理在形成定性信念时的“大胆”或“冒险”程度。一个更弱的论点认为，阈值可能由情境决定。我们将强的、与情境无关的洛克论点 (SLT) 与较弱的、与情境相关的论点 (WLT) 区分开来。量词的定义域可以视为特定代理可能处于的所有信念状态 ⟨B,Pr⟩ 的集合，也可以视为所有信念状态的集合。

。（SLT）存在一个阈值 s∈(

1

2

,1)，使得所有理性的 ⟨B,Pr⟩ 满足

B(A) 当且仅当 Pr(A)≥s。

。 （WLT）对于每一个有理数 ⟨B,Pr⟩，存在一个阈值 s∈(

1

2

,1) 使得

B(A) 当且仅当 Pr(A)≥s.

。大多数关于洛克论题的讨论都考虑到了强论题。最近的研究，尤其是 Leitgeb (2017)，采用了较弱的论题。强论题没有指定正确的阈值。当然，对于每一个 s∈(

1

2

,1)，我们都可以制定一个具体的论题 SLT，凭借该论题强论题为真。例如，SLT.51 是该论题的一个非常宽松的版本，而 SLT.95 和 SLT.99 则更为严格。也可以进一步具体化弱论题。例如，Leitgeb (2017) 认为，由上下文确定的阈值应该等于分配给人们完全相信的最强命题的信念程度。从演绎说服力的角度来看，这对应于拼写上不雅的 WLTPr(∩B)。

。强洛克论题引发了著名的彩票悖论，该悖论最初由 Kyburg (1961, 1997) 提出。彩票悖论的教训是，强论题与演绎说服力存在冲突。假设 s 是普遍正确的洛克阈值。现在想象一个有 N 张彩票的公平彩票，其中 N 足够大，使得 1−(1/N)≥s。由于彩票是公平的，因此似乎可以完全相信某张彩票是中奖者。对“第 i 张彩票中奖了”这样的每个命题赋予 1/N 的信念度似乎也合理。根据洛克命题，这样的代理人应该完全相信第一张彩票输了，第二张彩票输了，第三张彩票输了，等等。由于说服力要求信念在合取下闭合，所以她应该相信所有彩票都是输的。但现在她违反了说服力，因为她既相信每张彩票都是输的，也相信某张彩票是中奖的。由于 s 是任意的，我们已经证明，无论我们将阈值设定得多高，总有某种彩票，代理人要么违反洛克命题，要么违反演绎说服力。根据凯伯格的说法，这个悖论告诉我们应该放弃演绎说服力：完全的信念不一定在合取下闭合。许多其他人从彩票事件中吸取的教训是，强洛克命题是站不住脚的。

。

。一些作者（Pollock (1995)、Ryan (1996)、Douven (2002)）试图通过限制高信念度何时足以保证完全信念来修改强洛克论题。广义上讲，他们认为，除非存在某些失效条件，否则高信念度足以保证完全信念。例如，Douven (2002) 认为，除非命题属于概率自破坏集合，否则高信念度是充分的。集合 S 概率自破坏，当且仅当对于所有 A∈S,Pr(A)＞s 且 Pr(A|B)≤s，其中 B=∩(S∖{A})。显然，该提议会禁止完全相信某张彩票会中奖。

所有此类提议都会因 Korb (1992) 提出的以下示例而失效。设 A 为任何信念度高于阈值但缺乏确定性的命题。令 Li 为命题，即（在有 N 张彩票的大彩票中）第 i 张彩票将会中奖。考虑集合 S={¬A∪Li|1≤i≤N}。由于 Li 高于阈值，因此 S 中的每个元素都高于阈值。此外，集合 S∪{A} 满足 Douven（以及 Pollock 和 Ryan）的击败条件。因此，这些提议禁止对任何信念程度不够确定的命题完全相信。Douven 和 Williamson (2006) 推广了这类示例，以简化一整类类似的形式化提议。

。

。Buchak (2014) 认为，哪些部分信念算作完全信念不能仅仅取决于部分信念的程度，还必须取决于它所基于的证据类型。根据 Buchak 的说法，这意味着对于这个问题，不能仅仅有一个形式上的答案：部分信念的哪些条件对于完全信念是必要和充分的？下面这个例子可以追溯到 Thomson (1986)，它说明了这一点。你的停放的汽车在半夜被一辆公共汽车撞了。这辆公共汽车可能属于蓝色公共汽车公司，也可能属于红色公共汽车公司。考虑以下两种情况。

(1) 你知道蓝色公司运营着该地区 90% 的公共汽车，而红色公共汽车公司只运营 10%。你认为蓝色公共汽车应受谴责的置信度为 0.9。

(2) 红色和蓝色公司运营的公共汽车数量相等。一位 90% 可信的目击者作证说一辆蓝色公共汽车撞了你的车。你认为蓝色公共汽车应受谴责的置信度为 0.9。

Buchak (2014) 认为，在第一种情况下完全相信蓝色公共汽车应受谴责是理性的，但在第二种情况下则不然。在第一种情况下，你只有统计证据；而在第二种情况下，一系列事件的因果链将你的信念与事故联系起来（另见 Thomson (1986)、Nelkin (2000) 和 Schauer (2003)）。Buchak 观察到，这些直觉反映在我们的法律实践中：纯粹的统计证据不足以定罪。如果你觉得 Buchak 的观点令人信服，那么你不会对大多数关于完全信念和部分信念应该如何对应的解释感到满意（参见 Staffel (2016)）。

尽管公交车和彩票问题存在困难，但在强命题下，定性信念的动态变化本身就值得研究。例如，van Eijk 和 Renne（2014，其他互联网资源）将洛克人的信念逻辑公理化，其阈值为

1

2

. Makinson 和 Hawthorne (2015) 研究了哪些非单调逻辑原则能被洛克式主体所验证。在转向彩票悖论的拟议解决方案之前，我们先对定性洛克式修正进行一些观察，这些观察主要受到 Shear 和 Fitelson (2018) 的启发。

。概率演算的一个定理是 Pr(H|E)≤Pr(E→H)。因此，如果在给定 E 的情况下 H 被赋予较高的信念度，那么实质条件 E→H 的事前信念度也必须至少同样高。很容易看出，这是非单调逻辑中条件化原理或等效地 AGM 包含原理的概率类似物。该观察结果具有以下推论：洛克式主体在条件化之后获得的任何信念，都可以通过将证据添加到其先前的信念中并根据逻辑推论得出结论而得出。因此，洛克式更新满足 AGM 包含原理。此外，从定义可知，洛克更新满足成功性和外延性。

定理。假设 s∈(

1

2

,1)。对于所有 E∈APr，令 BE={A:Pr(A|E)≥s}。则 BAPr 满足包含性、成功性和外延性。

在第 2.2 节中，我们论证了包含性和保留性抓住了 AGM 修订的精髓。如果洛克修订也满足保留性，那么我们将完全符合 AGM 原则，除了演绎说服力之外。然而，这并不适用于一般情况。可以构造一些例子，其中 Pr(¬E)＜s，Pr(H)≥s，但 Pr(H|E)＜s。对于洛克主体来说，这意味着即使在修改一个未被怀疑的命题时，也有可能失去信念。

回想一下 2.1.1 节中 Alice、Bob 和福特汽车的例子。设 W={a,b,c} 分别对应于 Alice 拥有福特汽车、Bob 拥有福特汽车以及办公室中无人拥有福特汽车的世界。假设概率函数

Pr(a)=

6

10

，Pr(b)=

3

10

和 Pr(c)=

1

10

捕捉了我的部分信念。对于区间 (.75,.9) 内的 Lockean 阈值，我的全部信念被 B={{a,b},W} 穷尽。现在假设我得知 Alice 并不拥有福特汽车。这与 B 中的所有信念一致，但由于 Pr({a,b}|{b,c})=

3

4

根据洛克的论点，{a,b}∉B{b,c}。因此，洛克主义通常不能证实保存论。好消息是，至少对于那些赞同波洛克对非单调逻辑的批判的人来说，洛克的论点可以削弱先前信念的失败。

。

。然而，Shear 和 Fitelson (2018) 也为 AGM 和洛克论点的粉丝带来了一些好消息。如果两个量的比率与它们的和与两个量中较大者的比率相同，则这两个量处于黄金比率 ϕ，即对于 a＞b＞0，如果

。a+b

。a

。

。=

。a

。b

。

，则

。a

。b

。

。=ϕ。黄金比率是一个无理数，约等于 1.618。它的逆ϕ−1约为0.618。Shear和Fitelson证明了以下有趣的结果。

定理。假设s∈(

1

2

,ϕ−1)。对于所有E∈APr，令BE={A:Pr(A|E)≥s}。令D={E∈APr:BE是演绎令人信服的}。则BD满足AGM的六个基本公设。

这表明，对于相对较低的阈值，洛克更新满足所有AGM公设——至少当我们限制于演绎令人信服的信念集时。有关黄金分割率在此背景下出现的原因的解释，请参见Genin (2019)的第6.2节。

4.2.3 信念的稳定性理论

对许多人来说，为了桥接原则而牺牲演绎说服力的代价实在太高，即使是像强洛克论题这样简单直观的原则。这促使人们探索能够与演绎说服力相协调的桥接原则。Leitgeb (2013, 2014, 2017) 和 Arló-Costa (2012) 提出的一项提案认为，理性的完全信念对应于稳定的高信念度，即即使在接受新信息后也能保持高信念度。Leitgeb 将此观点称为休谟论题，因为休谟认为信念不仅具有卓越的活力，也具有卓越的稳定性。有关休谟信念概念中稳定性主题的详细阐述，请参阅 Loeb (2002, 2010)。Leitgeb (2017) 形式化了休谟的定义，阐明了该论题的以下版本：