信念的形式化表征（八）
（HT）对于所有理性对 ⟨B,Pr⟩，存在 s≥1/2 使得
B(A) 当且仅当 ¬B∉B 意味着 Pr(A|B)＞s。
换句话说：每个完全信念都必须具有稳定的高条件信念度，至少在以当前未被怀疑的命题为条件时是如此。由于完全信念出现在双条件的两侧，因此显然这并不是将完全信念简化为部分信念，而是每个理性主体都必须满足的约束。休谟论题并未明确指定精确的阈值 s。当然，对于每个
1
2
＜s＜1，我们可以制定一个特定的论题 HTs，依据该论题成立。例如，HT.5 要求每个完全信念的命题在以当前未被怀疑的命题为条件时，其可能性仍然大于其否定。
某种形式的稳定性被广泛认为是知识的必要条件。苏格拉底在《美诺篇》中提出了这种观点。Paxson Jr. 和 Lehrer (1969) 在盖梯尔 (1963) 之后的认识论文献中也支持这种观点。然而，稳定性通常不被视为信念的条件。Raidl 和 Skovgaard-Olsen (2017) 认为，Leitgeb 的稳定性条件更适用于知识分析，而对于信念而言，其条件过于严格。休谟论题的捍卫者可能会说，每个理性信念都可能是知识的一个实例。由于知识必然是稳定的，因此不稳定的信念本身就不为人所知。
Leitgeb 论证了休谟论题、演绎说服力和弱洛克论题之间的以下关系。
定理：假设 ⟨B,Pr⟩ 满足 HT 且 ∅∉B。然后，B 是演绎令人信服的，且 ⟨B,Pr⟩ 满足 WLTPr(∩B)。
因此，如果一个主体满足休谟论题并且不“完全”相信矛盾的命题，那么她的定性信念就是演绎令人信服的，此外，她还满足弱洛克论题，其中阈值由分配给 ∩B 的信念度设定，∩B 是她所相信的逻辑上最强的命题。Leitgeb 还证明了以下部分逆命题。
定理。假设 B 是演绎令人信服的，且 ⟨B,Pr⟩ 满足 WLTPr(∩B)。那么，⟨B,Pr⟩ 满足 HT
1
2
和 ∅∉B。
合起来，这两个定理表明，休谟论题（阈值为 1/2）等价于演绎说服力，而弱洛克论题（阈值为 Pr(∩B)）等价。由于总是可以满足 HT
1
2
，Leitgeb 为我们提供了一种巧妙的方法来将演绎说服力与洛克论题的一个版本相协调。
回想一下彩票的例子。设 W={w1,w2,…,wN}，其中 wi 是第 i 张彩票中奖的世界。无论彩票中有多少张彩票，休谟主体都不会相信任何彩票会输。假设与此相矛盾，她相信 W∖{w1}，即第一张彩票会输的命题。现在假设她得知 {w1,w2}，即除了第一张和第二张彩票之外，其他彩票都会输。这与她最初的信念相符，但她更新后的相信第一张彩票会输的信念度必定是 1/2。这与休谟主义命题相矛盾。所以她不能相信任何彩票会输。在这个彩票情境中，代理人不能完全相信任何非平凡命题。这个例子也表明了休谟主义命题对可能性的细粒度分解有多么敏感。如果我们将 W 粗略地分解为可能性集合 W={w1,w2}，其中 w1 是第一张彩票中奖的世界，w2 是另一张彩票中奖的世界，那么代理人就可以相信第一张彩票会输而不会违背休谟主义命题。
。
。如果 Buchak (2014) 是正确的，那么任何代理人都不应该相信彩票命题——这些信念必然是基于纯统计证据形成的。 Kelly 和 Lin (2019) 给出了另一种场景，其中休谟主义主体似乎持有极端怀疑态度，但这些情况在证据上没有问题。假设倒霉的约伯去做体检。在全面检查的基础上，医生对他的健康状况形成了以下可怕的看法：她相信约伯将存活恰好 n 个月的程度为
1
2n
。因此，她相信约伯活不过今年的程度为
1
2
+
1
4
+⋯+
1
212
＞.999。令人震惊的是，休谟主义论题阻止了医生形成任何非平凡的信念。令 ≤n 为约伯最多存活 n 个月的命题，令 ≥n 为他至少存活 n 个月的命题。设B为医生所相信的最强命题。假设存在矛盾，即B蕴涵约伯剩余月份数的最小上界，即对于某个n，B蕴涵≤n，且对于任何n′＜n，B不蕴涵≤n′。根据构造，Pr(B|≥n)=
Pr(n)
Pr(≥n)
=
1
2
对所有n成立。但由于≥n与B相容，休谟论题要求Pr(B|≥n)＞
1
2
矛盾。
医生的例子表明，休谟主义的代价是一种相当极端的怀疑论形式：在许多情况下，休谟主义主体根本不会有任何非平凡的完全信念。这一批评在 Rott (2017) 和 Douven and Rott (2018) 中得到了广泛的阐述。医生还说明了休谟主义主张如何允许部分信念的任意小扰动反映为完全信念的巨大差异。假设医生稍微更有信心约伯活不过一个月，即她的生存概率随着
1
2
+ϵ,
1
4
,
1
8
−ϵ,
1
16
,
1
32
,…. 现在医生可以相信约伯将在两个月内死去，而不会违反休谟主义论题。
到目前为止，我们只探究了休谟主义主张的共时内容。它支持哪些类型的定性信念更新原则？Leitgeb 证明了 AGM 修正原则与休谟论题之间的密切关系：每个满足 AGM 原则以及弱版洛克论题的主体也必须满足休谟论题。因此，如果您认为 AGM 理论是理性定性信念更新的正确理论（并且您认为高度的部分信念是完全信念的必要条件），那么您也必须接受休谟论题。更准确地说，Leitgeb 证明了以下内容：
。
。定理。假设 BAPr 满足所有 AGM 公设，并且对于所有 E∈APr，仅当 Pr(A|E)＞r 时，A∈BE。那么，对于所有 E∈APr，⟨BE,PrE⟩ 满足 HTr。
因此，任何违反休谟论题的主体要么未能满足AGM假设，要么未能满足高概率要求。注意，反之则不成立：并非所有对⟨BE,PrE⟩都满足休谟论题，那么BAPr也必然满足AGM假设。为了证明这一点，假设⟨B,Pr⟩满足休谟论题，且对于某个E∈APr，∩B⊂E成立。如果我们令BE={E}，则⟨BE,PrE⟩满足休谟论题。然而，这样的主体显然违反了理性单调性，甚至违反了谨慎单调性。有关AGM理论与休谟论题之间关系的更详细论述，请参阅Genin (2019) 的第6.3节。完整论述，请参阅Leitgeb (2017)。
4.2.4 信念的追踪理论
Lin 和 Kelly (2012) 提出，定性信念更新应该跟踪部分信念更新。在他们的设想中，部分信念和完整信念由平行的认知系统维护和更新。第一个系统受贝叶斯一致性和条件反射的概率规范支配，精确、缓慢且认知成本高昂。该系统用于需要高度精确且时间压力不大的重要审议，例如退休计划。第二个系统以某种方式维护和更新完整信念，速度更快，认知负担更小。该系统用于日常规划：购买食品杂货，或为部门活动选择餐厅。（关于对“两个系统”观点的异议，请参阅 Staffel (2018)）。是什么使这两个平行的系统保持同步？
。
。Lin 和 Kelly (2012) 研究了接受规则，这些规则规定了一种优雅地过渡到定性系统和退出概率系统的机制。接受规则 α 将每个部分信念状态 Pr 映射到与其相符的唯一定性信念状态 α(Pr)。例如，强洛克命题一旦我们指定阈值即可确定接受规则。另一方面，休谟命题则无法充分确定接受规则，仅对可接受的对 ⟨B,Pr⟩ 施加约束。代理的定性更新会跟踪其概率更新，当且仅当
α(Pr)E=α(PrE),
且 Pr(E)＞0。换句话说：接受后进行定性修正产生的信念状态与概率修正后接受产生的信念状态相同。
以下是理解跟踪要求的一种方法。假设尽管代理保持着潜在的概率信念状态，但她的大部分认知生命都花在推理和更新定性信念上。通常情况下，她一天中根本不需要使用概率系统。假设星期一是典型的一天。令⟨α(Pr),Pr⟩为她星期一醒来时的信念状态：她的全部信念和部分信念是一致的。令E为她醒来后获得的总信息量。由于定性信念会实时更新，因此她带着定性信念状态α(Pr)E入睡。隔夜，她的概率系统会完成贝叶斯条件反射的艰巨工作，计算出部分信念状态PrE，以防她在星期二遇到任何复杂的决策问题。醒来之前，她会从概率系统PrE过渡到定性信念状态α(PrE)。如果她未能满足追踪要求，那么她可能在星期二早上醒来时，所持有的定性信念状态与她星期一晚上入睡时的状态截然不同。如果她进行追踪，那么她将完全察觉不到任何差异。对于这样的智能体，除了记忆之外，不需要任何机制就能让她在周二早上恢复其全部信念和部分信念的和谐。假设我们通过用所有新信息 E 来调节我们先前的部分信念状态 Pr 来进入概率系统，并通过接受 α(PrE) 退出，那么追踪机制可以确保进出概率系统的转换不会引起定性信念的任何剧烈变化。进行追踪的智能体根本不会注意到任何差异。不进行追踪的智能体可能会发现其全部信念和部分信念永远不同步，需要进行许多昂贵的接受操作才能使它们恢复和谐。
。
。追踪或许是一个理想的特性，但是否有任何架构能够展现它呢？Lin 和 Kelly (2012) 对此给出了肯定的回答。由于贝叶斯条件作用被视为理所当然，Lin 和 Kelly 必须明确两点：一个定性修正操作和一个共同追踪条件作用的接受规则。现在我们来讨论他们提案的细节。照例，设 W 为一组世界。问题 Q 是将 W 划分为可数个相互穷举的命题 H1,H2,… 的集合，这些命题是 Q 的完整答案。偏信念函数 Pr 定义在由 Q 生成的命题代数 A 上。设 ≺ 是 Q 答案的良基严格偏序。（严格偏序是良基的，当且仅当该偏序的每个子集都有一个最小元素。）这被解释为似真性排序，其中 Hi≺Hj 表示 Hi 严格比 Hj 更似真。每个似真性排序 ≺ 都会通过设 ¬Hi∈B≺ 当且仅当存在某个 Hj 比 Hi 更严格似真并在逻辑结果下闭合来产生一个演绎令人信服的信念状态 B≺。换句话说，∩B≺ 是似真性排序中最小元素的析取。
首先，我们指定一个接受规则。Lin 和 Kelly 提出了几率阈值规则。信念度函数 Pr 用于确定似然性顺序，其设置
Hi≺pHj 当且仅当
Pr(Hi)
Pr(Hj)
＞t,
其中 t 为大于 1 的常数，且 Pr(Hi),Pr(Hj)＞0。这通过设置 α(Pr)=B≺p 确定接受规则。由于概率阈值规则确定似然性顺序 ≺p，并且任何似然性顺序 ≺ 都会导致演绎上令人信服的信念状态 B≺，因此避免了彩票悖论。换句话说：任何理性的 ⟨B,p⟩ 都与 B=α(Pr) 相关的桥接原理确保 B 是演绎上令人信服的。此外，概率阈值规则允许在稳定性理论排除非平凡定性信念的情况下存在非平凡定性信念。回想一下医生的案例。考虑概率阈值 210−1。在此阈值下，“约伯将存活恰好 1 个月”的假设，严格来说比“对于任意 n≥10 的 n 个概率，约伯将存活至少 n 个月”的命题更可信。此阈值使得人们完全相信约伯最多将存活 10 个月。然而，在彩票案例中，概率阈值规则排除了任何非平凡的信念。（Kelly 和 Lin 提出的内容相关阈值规则（即将出版）可能允许彩票情境中的非平凡信念。）有关在概率阈值和稳定性假设下形成非平凡定性信念的相对可能性的广泛比较，请参阅 Rott (2017) 和 Douven and Rott (2018)。
定性修正操作尚待明确。Lin 和 Kelly 采用了 Shoham (1987) 提出的操作。可信度顺序 ≺ 在证据 E 上进行更新，方法是将每个与 E 不相容的答案设置为严格低于每个与 E 相容的答案的可信度，否则保持不变。令 ≺E 表示此更新操作的结果。我们使用更新后的可信度顺序来定义信念修正规则，即设置 BE=B≺E。然后，对于所有 E,F⊆W，BE 是演绎说服的并且满足：
。
。（成功）∩BE⊆E；
。（包含）∩B∩E⊆∩BE；
。（谨慎单调）如果 ∩B⊆E 则 ∩BE⊆∩B。
。但是，它不一定满足保持性。为了理解这一点，假设 Q={H1,H2,H3} 且 H1≺H2 但 H3 与 H1 或 H2 不排序。则∩B=H1∪H3。然而，即使∩B∩¬H1≠∅，∩B¬H1=H2∪H3⊈∩B。
。Lin 和 Kelly 证明，Shoham 修正和基于比值阈值的接受共同追踪条件作用：
定理。设 ≺ 等于 ≺p，且 BE=B≺E。则 BP(W) 满足演绎说服力、成功性、谨慎单调性和包含性。此外，对于所有 E∈APr，BE=α(Pr)E=α(PrE)。
换句话说：先接受胜算阈值，然后进行 Shoham 修正，其产生的信念状态与先接受胜算阈值，然后进行贝叶斯条件化，其产生的信念状态相同。（Kelly 和 Lin（即将出版）建议对 Lin 和 Kelly（2012）中提出的胜算阈值规则进行修改。）尽管最初的似然性排序 ≺p 是基于概率函数 Pr 构建的，但后续的定性更新无需参考（条件化）概率即可进行。这表明至少存在一些架构可以毫不费力地使概率和定性推理系统保持协调一致。
AGM 的支持者会遗憾 Shoham 修订版未能满足 AGM 保存性（理性单调性）。Lin 和 Kelly (2012) 证明，任何追踪条件作用的“合理”接受规则都无法满足包含性和保存性。我们在此省略合理规则的技术定义。有关摘要，请参见 Genin (2019) 的第 6.4 节。
。
。4.2.5 认识论决策理论
。到目前为止，我们看到的所有桥接原理都有以下共同点：代理的全部和部分信念是否一致，仅仅取决于全部和部分信念。评估信念状态无需提及偏好或效用。还有另一种传统，源自 Hempel (1962)，并在 Levi (1967a) 那里得到经典表达，它将“决定”相信什么的问题同化为贝叶斯决策理论模型。至关重要的是，这些作者并非致力于构建一个由主体真正决定相信什么的图景——相反，他们声称主体的信念与其实际决策一样，受到同一种规范性评估的影响。当代对这一传统的贡献包括 Easwaran (2015)、Pettigrew (2016) 和 Dorst (2017)。本文呈现的是 Levi (1967a) 理论的简化版本，该理论以命题而非句子作为信念的对象。
与往常一样，设 W 为一组可能世界。主体被认为对回答问题 Q 感兴趣，Q 是将 W 划分为相互穷举的有限答案集合 {H1,H2,…Hn}。Levi 将此类情况称为“用真实信念取代不可知论的努力”，这与 Peirce (1877) 的主题相呼应：
怀疑是一种不安和不满的状态，我们努力摆脱这种状态，进入信念状态；而信念状态则是一种平静而令人满意的状态，我们不愿逃避，也不愿改变为对其他任何事物的信念。相反，我们固执地坚持，不仅坚持相信，而且坚持相信我们所相信的。
。主体的部分信念用概率函数Pr表示，该函数至少定义在由问题生成的代数A上。莱维建议采用以下程序来确定哪些命题是完全可信的：分离Q中所有具有最大预期认知效用的元素，然后在演绎结果下闭合。假设H∈A的预期认知效用定义为：
。E(H):=Pr(H)⋅U(H)+Pr(¬H)⋅u(H)，
。其中 U(H) 是在 H 为真时接受它的认识论效用，u(H) 是在 H 为假时接受它的效用。如何确定 u(H)、U(H)？莱维遵循以下原则。
。
真答案比假答案具有更大的认识论效用。
能够在很大程度上避免不可知论的真答案比能够在一定程度上避免不可知论的真答案具有更大的认识论效用。
能够在很大程度上避免不可知论的假答案比能够在一定程度上避免不可知论的假答案具有更大的认识论效用。
这些原则很容易遭到反对。第一原则确立了对真实信念的词典式偏好。可以想象，与该原则相反，近似为真的信息性错误信念应该比不包含信息的真实信念具有更大的认识论效用。第一原则禁止用内容与似真性进行交易。也可以想象，与第三条原则相反，人们宁愿犯错，但不要太固执己见，也不愿犯错又固执己见。唯一无可非议的原则似乎是第二条。
为了衡量摆脱不可知论的程度，在 A 的元素上定义了一个概率函数 m(⋅)。至关重要的是，m(⋅) 衡量的不是信念程度，而是无信息量的程度。H∈A 所提供的摆脱不可知论的程度，也称为 H 中的内容量，被定义为无信息量的补集：cont(Hi)=m(¬Hi)。莱维认为，Q 的所有元素都应该分配相同数量的内容，即 m(Hi)=
1
n
因此，对于每个 Hi∈Q，cont(Hi)=
n−1
n
Levi 推荐的一组认知效用函数满足以下条件：
。
。U(H)=1−q⋅cont(¬H)；
。u(H)=−q⋅cont(¬H)，
。其中 0＜q＜1。所有这些效用函数都保证满足 Levi 的三原则。参数 q 被解释为“谨慎程度”，表示对真理的重视程度，而不是对不可知论的宽容程度。当 q=1 时，暂停判断的认知效用 U(W) 等于零。在这种情况下，对宽容的宽容程度达到最大值。Levi 证明，预期认知效用 E(H) 最大，当且仅当 Pr(H)＞q⋅cont(¬H)。因此，Levi 的最终建议是，主体相信
的所有演绎结果。∩{¬Hi∈Q:Pr(¬Hi)＞1−q⋅cont(¬Hi)}。
。从这个表述中，我们可以将莱维的提议看作是洛克论题的一个问题依赖版本，其中适当的阈值是内容的函数。然而，莱维煞费苦心地确保这一操作的结果在演绎上是令人信服的，从而避免了彩票式悖论。
。当代对决策理论传统的贡献与莱维的做法不同。最近的研究并不认为认识论效用主要取决于内容。这些提议中的大多数都没有在上下文中提及问题。许多提议，例如 Easwaran (2015)、Dorst (2017)，相当于洛克论题的一个版本，其中阈值由主体赋予真实和错误信念的效用决定。由于这些本质上是洛克式提议，因此它们容易受到彩票式悖论的影响。
