理性选择的规范理论：预期效用（二）

大数字的薄弱规定是每个试验具有μ的预期值的，对于任何任意小的实数ε＞0和Δ＞0，存在一些有限数量的试验N，使得所有m大于或等于n，概率至少为1-Δ，赌徒的第一个M试验的平均收益将落在μ的ε内。 换句话说，在长期相似的赌博中，每个试验的平均增益很可能在有限的时间内任意接近赌博的预期价值。 因此，在有限长的运行中，与赌博相关的平均值是绝大陆可能接近其预期值。

大量规定的强烈规定，当每个试验具有μ＞0的概率1的预期值，随着试验的数量增加，每个试验的赌徒的平均奖金将落在μ的ε内。 换句话说，随着赌博方法的重复次数无限，每个试验的平均增益将随着概率1任意接近赌博的预期值。因此，从长远来看，与赌博相关的平均值几乎确定到其预期值。

这些长期争论有几个反对意见。 首先，无法在无限期的许多类似试验中重复许多决定。 例如，要追求的职业生涯和职业的决定，例如，居住的地方是最好的一个小的有限次。 此外，在这些决策不止一次的情况下，不同的试验涉及不同的可能结果，具有不同的概率。 目前尚不清楚为什么关于重复赌博的长期考虑应该符合这些单一案例的选择。

其次，该论点依赖于两个独立假设，其中一个或两个可能失败。 一个假设认为不同试验的概率是独立的。 赌场赌博是真的，但我们希望使用决策理论的其他选择 - 例如，关于医疗的选择。 我剩下的抗生素后仍然可能在下一课程后更有可能仍然生病，因为它增加了抗生素抗性细菌可以传播我的身体的可能性。 该论点还要求不同审判的公用事业独立，因此无论她赢得其他审判，赢得一项审判奖对决策者的整体实用性也是如此。 但这种假设在许多现实世界案件中违反。 由于资金的边际效用减少，赢得了1000万美元的轮盘赌场的价值不如赢得100万美元的轮盘赌比赛。

第三个问题是，大量的强度和弱的法律是模棱两可的。 既不需要，如果赌博无限期地重复（在适当的假设下），每次试验的平均效用增益将接近游戏的预期效用。 他们只建立了每次试验的平均公用事业增益，很高概率将接近游戏的预期效用。 但是高概率 - 甚至概率1 - 不确定。 （标准概率理论拒绝Cournot的原则，这将不会发生低或零概率的事件。但是，请参阅Shafer（2005），以捍卫Cournot的原则。）对于任何独立的序列，相同的分布式试验，平均公用事业资金可能是可能的每次试验都与个人审判的预期效用任意偏离。

2.2表示定理

预期实用理论的第二种参数依赖于所谓的表示定理。 我们遵循Zynda（2000）的制定这个论点 - 略微修改，以反映公用事业公司的作用以及概率。 该论点有三个场所：

合理性条件。

预期实用理论的公理是合理偏好的原理。

representability。

如果一个人的偏好服从预期的实用理论的公理，那么她可以代表具有遵守概率微积分的规律的信念[以及效用函数，使她更喜欢与更高的预期实用程序行事。

现实条件。

如果一个人可以被认为具有遵守概率微积分的信念[和一个实用程序，使她更喜欢与更高的预期实用程序行为]，那么这个人真的具有遵守概率微积分的法律的信仰程度[真的更愿意的行为更高的预期效用]。

这些处所需要下列结论。

如果一个人[未能更喜欢与更高的预期实用程序行为]，那么该人违反了合理偏好的至少一个公理。

如果房屋是真的，该论点表明，人们的偏好与预期效用理论有所不足的人有问题 - 他们违反了理性偏好的原理。 让我们更详细地考虑每个前提，从关键前提，可夺冠。

概率函数和实用程序函数在一起代表一组首选项，以防以下公式适用于偏好关系域中的A和B的所有值

欧盟（a）＞欧盟（b）如果且仅当A优先于B.

可引起的数学凭证称为表示定理。 第2.1节调查三个最有影响力的表示定理，其中每个都依赖于不同的一组公理。

无论我们使用哪一组公理，合理性条件都是有争议的。 在某些情况下，似乎合理允许的偏好 - 甚至可以理性地要求 - 违反预期实用理论的公理。 第3节详细讨论了这种情况。

现实情况也是有争议的。 Hampton（1994），Zynda（2000）和Meacham和Weisberg（2011）都指出，使用概率和实用程序函数不能具有概率和实用功能。 毕竟，可以代表作为遵守概率微积分的信仰程度表示的代理商，也可以代表为未能最大化预期效用的人，以违反概率微积分的信仰程度。 为什么认为预期的公用事业代表是正确的？

有几个选择。 也许代表性定理的后卫可以规定，特定的信仰和公用事业的特定程度只是相应的偏好。 这种反应的捍卫者的主要挑战是解释为什么在预期效用方面的陈述是解释的，以及为什么它们比替代陈述更好。 或者可能是概率和公用事业是我们民间概念的民间概念的良好清理的理论替代品，为我们的民间概念的民间概念进行了精确的科学替代品。 Meacham和Weisberg挑战这种反应，争论概率和公用事业对我们的民间概念的立式差。 Zynda建议的第三种可能性是，关于信仰程度的事实是独立于代理人的偏好做出的，并提供了限制可接受的表示范围的原则方法。 这种响应的捍卫者的挑战是指定这些额外的事实是什么。

我现在转向考虑三个有影响力的表示定理。 这些表示定理在哲学上的三种方式中彼此不同。

首先，不同的表示定理对偏好和效用的对象不同意。 他们可重复吗？ 必须完全在代理商的控制范围内

其次，表示定理对概率的治疗不同。 他们不同意哪些实体具有概率，以及相同的对象是否可以具有概率和实用程序。

第三，虽然每个表示定理证明，对于合适的偏好排序，存在代表偏好排序的概率和实用功能，但它们的概率和效用函数有多种。 换句话说，它们的不同之处在于允许的概率和效用功能的转换。

2.2.1 Ramsey

预期效用的表示定理的想法返回Ramsey（1926）。 （他的表示定理的草图随后由Bradley（2004）和Elliott（2017）填写。p是假的条件。 （赌博的例子：如果你有一个婴儿和一瓶苏格兰威士忌，你会收到一个人;如果Bojack赢得肯塔基德比，你会收到二十美元，否则丢失一美元。）

当“两个可能的世界在[其真实性上的世界始终是相同的价值时，拉姆齐呼吁一个主张道德中立。 对于道德中立的命题，可以在偏好方面定义概率1/2：这种命题具有概率1/2，以防您无动于您打赌的哪一方。 （所以如果Bojack赢得肯塔基德比是一种道德中立的命题，它就有概率1/2，以防你在赢得二十美元之间无动于于胜利并丢失一美元，并赢得二十美元，如果是假的否则失去一美元。）

通过用概率1/2与富裕的奖品空间一起向道德中立的主题，Ramsey定义奖品的数值公用事业。 （粗略的想法是，如果您在某些情况下接收中间奖金M之间无动于于收到中间奖，并且如果道德中立的命题是真实的，并且如果它落下的奖金较差的奖品，则M是在公用事业之间的中途B和W。）使用这些数值实用程序，然后他利用预期实用程序的定义来定义所有其他命题的概率。

粗略的想法是利用奖品空间的丰富性，这确保了任何产生更好的奖品B的赌博，如果e是真实的，如果e是假的，则代理在g和一些中间奖之间无动于衷。 这意味着欧盟（g）=欧盟（m）。 使用一些代数，加上欧盟（g）= p（e）u（b）+（1-p（e））U（w），Ramsey表明了这一点

p（e）=

（1-u（是）

（u（b）氯乙烯（w））

2.2.2 von neumann和morgenstern

von neumann和morgenstern（1944）声明了在彩票域上定义的偏好。 其中一些彩票是不变的，并确定单一奖项。 （奖品可能包括香蕉，一百万美元，百万美元的债务，死亡或一辆新车。）彩票也可以拥有其他彩票作为奖品，因此可以有彩票，有40％的机会获得香蕉，60％的机会在一百万美元和死亡之间产生50-50赌博。）彩票域在混合操作下关闭，因此如果l和l'是彩票，并且x是[0,1]间隔中的实数，则有彩票xl +（1 -X）L'，其具有概率x和l'，概率为1-x。 他们表明，遵守某些公理的每个偏好关系都可以由用于定义彩票的概率以及与实用功能一起定义的概率来表示，该概率与正线性变换的独特功能。

2.2.3野蛮人

作为von neumann和morgenstern的野蛮人（1972）就偏好而言，除了von neumann和morgenstern的概率，而不是考虑概率。 野蛮人有三个单独的域。 概率附加到事件，我们可以将其视为各国的障碍，而实用性和内在偏好附加到结果。 预期的效用和非本质偏好附加到行为。

对于野蛮，行为，州和结果必须满足某些限制。 行为必须完全在代理商的控制下（所以在思想中发布我的论文不是行为，因为它部分取决于编辑的决定，我不控制的决定）。 结果必须具有相同的效用（所以“我赢得了一个花哨的汽车”并不是一个结果，因为花哨的汽车的效用在我最想要留下深刻印象的愿望的国家，我有一个花哨的车，而且在我失去我的状态驾驶执照）。 没有国家可以排除任何行为的表现，以及一个行为和国家必须以确定性确定结果。 对于每个结果o，存在一个常量行为，在每个状态下产生o。 （因此，如果世界和平是一项结果，就会导致世界和平的行为，无论世界各国如何，他都担任任何两个行为A和B和任何事件E，有一个混合的动作AE＆B ~e，它会产生与a相同的结果是真的，否则就像b一样。 （因此，如果世界和平与世界末日都是结果，那么如果一枚硬币落地头和世界末日，就会导致世界和平的混合行为

野蛮人假设偏好关系与行为相比，并给出了偏好关系的公理。 然后，他在偏好方面定义了主观概率或信仰程度。 关键举动是将“至少可能是”事件之间的关系定义; 我在这里解释。

假设A和B是恒定的作用，使得A优选B.然后E的可能性是在药剂前夫（产生IF e获得的动作）到AF＆B ~f（否则）（产生IF F的作用）获得和B否则），或者在AE＆B ~E和AF＆B ~f之间无动于衷。

定义背后的思想是，代理人认为e至少可能就像她不那么赌F的情况一样）。

然后，野蛮人赋予合理优选的公理，并且表明满足那些公理的任何一组偏好产生“至少可能是由概率函数唯一表示的关系。 换句话说，存在一个且仅一个概率函数p，使得对于所有e和f，p（e）≥p（f），如果e且仅当e至少那么可能是f.遵守野蛮的公理的每个偏好关系由该概率函数p表示，那么一种实用功能，它是正线性变换的独特功能。

萨维奇的表示定理提供了强大的结果：从单独偏好排序开始，我们可以找到一个概率函数，以及一个窄类的实用程序函数，它表示偏好排序。 然而，下行的缺点是野蛮人必须构建关于行为领域的令人信心的强烈假设。

劳乌斯并支持（1965）指出野蛮的常量行为是难以置信的。 （召回常量行为产生相同的结果和每个州的相同的价值。）为每个人提供一些非常好的结果完全幸福。 是否真的存在在每一个可能的状态下的结果，包括人类被流星淹没的国家？ 野蛮人对丰富的混合行为的依赖也是有问题的。 野蛮人不得不假设任何两种结果和任何事件，如果事件发生，并且第二个结果否则就会产生一个混合行为，否则会产生第一个结果？ 如果每个人都被抗生素瘟疫杀死，否则总杀害，那么是否真的有一种行为会产生完全幸福的行为？ Luce和Krantz（1971）建议制定野蛮的代表性定理的方式削弱这些假设，但乔伊斯（1999）辩称，即使在弱化的假设上，行为领域仍然令人难以置信。

2.2.4 Bolker和Jeffrey

BOLKER（1966）证明了关于数学期望的一般代表性定理，杰弗里（1983）作为预期效用理论的哲学叙述的基础。 Bolker的定理假设一个命题的单个域，这是偏好，效用和概率相似的对象。 因此，今天下雨的命题具有实用性，以及概率。 Jeffrey将这种实用性解释为命题的新闻价值 - 衡量我是如何知道这个命题的衡量标准是真实的。 按照惯例，他在0的必要命题方面设定了必要的命题的价值 - 完全没有新闻！ 同样，我把伞带到工作的命题，这是一种行为，具有概率和效用。 杰弗里解释这是指我对我将要做的事情有信念。

BOLKER使公理约束偏好，并且表明满足其公理的任何偏好可以通过概率测量P和效用测量U表示。然而，Bolker的公理不能确保P是独特的，或者U独特地直线转型。 他们也不允许我们在偏好方面定义比较概率。 相反，在P和U共同代表偏好排序的情况下，Bolker示出了一对⟨p，u⟩是唯一的直率的线性变换。

在技术术语中，u是utility函数归一化以便u（ω）= 0，Inf是由U分配的值的最大下限，Sup是由U分配的值的最小界限，λ是下降-1 / inf和-1 / sup之间的参数。对应于λ的分数线性变换⟨pλ，uλ，u⟩是：

pλ= p（x）（1 +λu（x））

uλ= u（x）（（1 +λ）/（1 +λu（x））

请注意，概率 - 实用程序对的分数线性变换可能不同意原始对的原始对，比其他命题比其他人更有可能。

Joyce（1999）表明，通过额外的资源，可以修改Bolker的定理，以解压缩唯一的P，以及u独特的线性变换。 我们只需要补充偏好排序，以原始的“更有可能比”关系，由自己的一组公理管辖，并通过几个附加公理与信仰联系起来。 joyce修改了Bolker的结果，以显示给定这些附加公理，“更可能性比”关系由唯一的P表示，并且优先顺序由P用与正线性变换唯一的实用功能。

2.2.5摘要

在一起，可以在下表中总结上述四个表示定理。

定理。对象

偏好。顺序

建设允许

转换：

概率允许

转换：

效用

拉姆齐。赌博。偏好→实用程序→概率。身份。正线性

von neumann /

Morgenstern。彩票。（偏好和概率）→实用程序。n / a。正线性

野蛮人。行为。偏好→概率→实用程序。身份。正线性

Jeffrey / Bolker。命题。偏好→（概率和实用程序） - 分数线性 -

请注意，施工的顺序在定理之间不同：Ramsey构造了使用实用程序的概率的表示，而冯Neumann和Morgenstern以概率开头并构建公用事业的代表性。 因此，尽管箭头代表了表示的数学关系，但它们不能代表接地的形而上学关系。 现实条件需要独立于任何代表定理辩护。

适当的结构性序数概率（“至少可能是”，“更有可能比”和“同样可能的”）与基本概率函数的一对一对应表示。 最后，从偏好到序数概率的灰度线表明满足野蛮公理的每个概率函数都是由独特的主要概率表示 - 但是这种结果不适用于Jeffrey的公理。

请注意，通常可以沿圆圈中的箭头 - 从序数概率，从正线概率到基本概率，从基本概率和偏好到预期的效用，以及从预期的效用回到偏好。 因此，虽然箭头代表了表示的数学关系，但它们不代表接地的形而上学关系。 这一事实驱动家庭独立证明现实条件表达定理的重要性无法证明预期的实用理论无需额外的假设。

3.反对预期的实用理论

3.1最大化预期效用是不可能的

应该暗示可以，但它是人类可以最大限度地提高预期的效用吗？ 3月和西蒙（1958年）指出，为了计算预期的公用事业，代理人需要对可用行为，可能的结果和这些结果的可能结果进行令人生意的复杂了解，并且选择最佳行为比选择的行为要更加苛刻只是足够好。 类似的观点出现在Lindblom（1959），费尔德曼（2006）和史密斯（2010年）。

McGee（1991）认为，即使对于具有无限内存的理想计算机，最大化预期实用程序也不是数学上的。 为了最大化预期的效用，我们必须接受我们在算术的真实上提供的任何赌注，并拒绝任何在算术语言中提供的虚假句子。 但算术是不可透明的，因此没有图定机器可以确定给定的算术句是真还是假。

对这些困难的一个响应是有界合理性方法，旨在用一些更具贸易的规则取代预期的实用理论。 另一个是争辩说，预期的效用理论的要求比出现更易行（Burch-Brown 2014;另见Greaves 2016），或者相关的“应该意味着”原则是错误的（Srinivasan 2015）。

3.2最大化预期效用是不合理的

各种作者已经给出了预期的实用理论似乎给出了错误的处方。 第3.2.1节和3.2.2讨论理性似乎允许偏好与预期的实用理论不一致的例子。 这些例子表明，最大化预期效用是不需要的理性。 第3.2.3节讨论了预期实用理论允许似乎不合理的偏好的例子。 这些示例表明，最大化预期效用不足以进行合理性。 第3.2.4节讨论了一个例子，其中预期的实用理论需要偏好的偏好，似乎合理禁止 - 对必要性以及预期效用进行合理性的挑战。

3.2.1涉及传递和完整性的反例

预期的实用理论意味着偏好的结构反映了实数之间的关系的结构大于关系。 因此，根据预期的实用理论，偏好必须是传递的：如果A优选B（使U（a）＞ U（b）），并且B是优选的（使U（b）＞ U（c）），则必须是C（因为它必须是U（）a）＞ U（c））。 同样，必须完成偏好：对于任何两个选项，必须对另一个选项偏好，或者代理必须在它们之间漠不关心（自两个实用程序，必须更大或者两个必须等于）。 但有些情况似乎似乎允许（或者也许甚至需要）转运失败和完整性的失败。