数学联邦政治世界观
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关于钻石原则的一些讨论

最近在思考钻石原则的一些性质,很好奇这个原则是如何被提出来的,幸运的是我在冯琦的集合论教材上找到了一点指引。

任选不可数正则基数 κ ,设 I 是 κ 上的一个理想,我们称 A,B∈𝕻(κ) 模理想相等当且仅当 A∩B∈I 。定义 NSκ 为 κ 上的全体非平稳集(non-stationary set)构成的集族,根据 κ 正则性可知 NSκ 是 κ 完全的理想。

根据Solovay的工作,我们知道对于任意不可数正则基数 λ 和 λ 的平稳集 S , S 可以分裂为 λ 个不相交的平稳集的并,显然这已经是一个最好的结果了,毕竟 S 不可能分解为 λ⁺ 个不相交的平稳集的并;现在一个拓展的问题是:是否存在 ω₂ 个 ω₁ 的平稳集 {Sα}α<ω₂ 满足 Sα∩Sᵦ∈NSω₁ ?有意思的是这个问题是独立于 ZFC 的,并且与某种大基数理论相关,下面我们证明:如果钻石原则成立,那么该问题的答案是肯定的。

定理:如果钻石原则成立,那么存在 ω₁ 的平稳集族 {Sα}α<2ω₁ 满足 Sα∩Sᵦ∈NSω₁。

证明:令 ⟨Dᵧ:γ<ω₁⟩ 是钻石序列。对于任意 X ⊆ ω₁ ,定义 Sₓ={α<ω₁:X∩α=Dα} ,根据钻石序列定义得 Sₓ 是平稳集。若 Sₓ=Sʏ ,那么 X∩α=Dα ↔ Y∩α=Dα ,由于 Sₓ 无界,因此 ∀α∃β>α(X∩β=Y∩β) ,这就证明了 X=Y ,因此 X↦Sₓ 是单射,这就证明了定理。⊣

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