数学联邦政治世界观
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关于无界闭集的一些讨论

我们知道不可数正则基数的无界闭集有很多好性质,例如 κ 完全性。但无界闭集的这些“好”性质并不来自某些神奇的组合或者拓扑原理,事实上,每一个无界闭集都可以看作是某个函数的闭包。

定理 1 :假设 κ 是一个不可数基数, f:κ → κ ,那么 Cf={α:∀β<α(f(β)<α)} 是无界闭集。

证明:定义 g(α)=sup{f(β):β<α} ,由于 cf(κ)=κ ,因此 dom(g)=κ 。任选 δ<κ ,令 gⁿ⁺¹(δ)=g◦gⁿ(δ) 和 θ=gω(δ) ,由于 κ 正则,因此 θ∈κ ,不难证明 θ 对 f 封闭,因此 Cf 无界。假设 Cf∩δ 在 δ 之下无界,那么 γ<δ →∃η∈Cf(γ<η) ,因此 f(γ)<η<δ ,则 δ∈Cf 。 ⊣

定理 2 :假设 g:[κ]<ω → κ ,那么 Cg={α:∀e∈[α]<ω(g(e)∈α)} 是无界闭集。

证明:定义 h(α)=sup{g(e):e∈[α]<ω} ,由 κ 正则性可得 dom(h)=κ ,类似于定理 1 可证定理 2 成立。 ⊣

定理 3 :若 f 单调递增且连续,那么 Cf={α:f(α)=α} 是无界闭集。

证明:任选 δ<κ ,令 δₙ₊₁=f(δₙ)+1 和 θ=⋃ₙ δₙ ,由于 f(θ)=supₙ f(δₙ)=θ ,因此 Cf 无界;假设 Cf∩α 在 α 之下无界,由 f 连续性可得 α∈Cf ,定理成立。⊣

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