数学联邦政治世界观
超小超大

ZFC的传递模型M和N若有相同的序数子类,那么M=N

证明:定义 Mα={x∈M:x∈Vα} ,不难看出 Mα 是传递集。由于 M 是 ZFC 传递模型,因此存在序数 β 满足 (β,E)≅(Mα,∈) ,其中 E 是 β 上的二元关系。下面定义配对函数 Γ(α,β) : Γ(α,β):Ord² → Ord 且满足 Γ(x,y)<Γ(α,b) 当且仅当 x,y 的最大值小于 α,b 的最大值、如果最大值相等那么比较 x 和 α 、如果最大值相等且 x=α 那么 y<b ;换言之,先比最大值、再比第一个分量、最后比第二个分量。由于配对函数是可定义的,因此 Γ[E]⊂Ord∧Γ[E]∈M 。由于 M 和 N 有相同的序数子类,因此 Γ[E]∈N ,这样二元关系 E 也属于 N 。根据莫斯托夫斯基坍缩定理可得 Mα∈N ,这样 M 是 N 的子集,反过来 N 也是 M 的子集,因此定理成立。

推论:假设 M,N 是 ZFC 的内模型,且 M,N 有相同的有界序数子集,那么 M=N 。

证明:考虑到 Mα 对应的序数子集必然有界,那么根据定理可得推论成立。

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