【paper】作为隐喻的数学 YURI I.MANIN

当庞加莱在1902年首次出版他的《科学与假设》一书时，它成为一本畅销书。这本书的第一章专门讨论数学推理的性质。庞加莱讨论了一个古老的哲学争论，即数学知识是否可以简化为一些基本（合成）真理的同义转换的长链，或者它包含更多的东西。他认为，数学的创造能力是由于自由选择了最初的假设定义，而这些假设后来又通过与可观察世界的比较而受到限制。

我们这个时代的社会似乎对哲学上的微妙之处不像同时代的Poincare那样感兴趣。我并不想说科学本身变得不那么受欢迎。像S.温伯格的《前三分钟》和沃金的《时间简史》这样的书，卖出了几十万册，并在广泛发行的报纸上得到好评。改变的是一般的情绪。新的物理理论的偏好被认为是不那么引人注目的，而是更加务实的。（我们可以注意到，对视觉艺术的认识也是以同样的方式演变的：如果说印象派的第一次展览是一种精神革命，那么战后先锋派的每一次新浪潮都立即获得了学院派的家族特征。）

在这种气氛下，过去那种关于数学基础危机和无限性质的激烈讨论似乎几乎无关紧要，当然也不合适。观众对有关学校教育或新一代计算机的意见反应要热烈得多。

这就是为什么我决定在这个部分提出一篇不显眼的文章，其中我们的科学被认为是自然语言的专门方言，其功能是语言的一个特殊情况。这意味着对高中和大学培训的某些建议。

隐喻主义‬

这里的“隐喻”一词是在非技术性的意义上使用的，它最好是由以下引自詹姆斯·P·卡尔斯的《有穷和无穷的游戏》一书的引文来表达。

“隐喻是相似与不相似的结合，从而使一个永远无法成为另一个。”在其根源上，所有的语言都具有隐喻的特征，因为无论它打算站在什么地方，它仍然是语言，仍然是绝对不像它所涉及的东西。

“自然界的非言说能力是语言的可能性。”

考虑到数学是一种隐喻，我想强调的是，对数学知识的解释是一种高度创造性的行为。在某种程度上，数学是一部关于自然和人类的小说。人们无法准确地说出数学教会了我们什么，就像人们无法说出《战争与和平》究竟教会了我们什么一样。教学本身被淹没在重新思考这种教学的行为中。

这种观点似乎与科学和技术计算中应用数学的历史悠久的传统不一致。

事实上，我只想在数学的技术和人道主义方面恢复某种平衡。

两个例子

让我试着通过讨论两个不相干的主题来说明数学的隐喻潜力：科尔莫戈罗夫复杂度和K.Arrow提出的“独裁者定理”。

i)科尔莫戈罗夫对一个自然数N的复杂度是可以产生N的最短程序P的长度，或者说是N的最短代码的长度。读者应该想象一种对整数进行编码的方式，它是一个取自然值的局部递归函数f(P)。科尔莫戈罗夫定理指出，在所有这样的函数中，存在以下意义上的最经济的函数：如果Of N）是P的最小值，使f（P）= N，那么Cf（N）≤const C（N），其中const只取决于f，g，而不是N。

由于P可以从它的二进制符号中重构，产生N的最短程序的长度K被log Cf(N)所约束。这个函数，或者说所有这类函数的类，定义到一个有界的和，就是科尔莫戈罗夫复杂性。

首先，K(N)＜log N+const。当然，这很符合位值符号系统的历史成就，它为我们提供了对数长度的数字生成程序。然而，有一些任意的大整数，其科尔莫戈罗夫复杂性远远小于其十进制或二进制符号的长度，例如，K（1010"）＜K（N）+const。一般来说，当我们使用大数时，我们似乎只使用那些具有相对较小的科尔莫戈罗夫复杂度的大数。即使是m的小数，可能是数学家们产生过的最长的明确数字，也是科尔莫戈罗夫简单的，因为K（10π＜logN+const。一般来说，小的科尔莫戈罗夫复杂性=高的组织程度。

另一方面，几乎所有的整数N都有接近对数N的复杂度。例如，对于一个最优的f来说，当且仅当 (P)=N，那么K(P)就相当于对数P。这样的整数有许多显著的特性，我们通常将其与 “随机性”联系起来。

第二，科尔莫戈罗夫复杂性可以很容易地定义为非数字的离散对象，例如，俄语或英语文本。因此，《战争与和平》有一个相当明确的复杂性衡量标准；确定性与最佳编码的选择有关，如果我们选择少数合理的编码之一，似乎就会相当小。

从这个角度来看，《战争与和平》是一个高度组织化的还是一个几乎随机的组合对象？

第三，科尔莫戈罗夫复杂性是一个不可计算的函数。更确切地说，当且仅当是最优的，没有任何递归函数G(N)会与K(N)相差0(1) 。人们只能用可计算的函数来约束复杂性。

我觉得科尔莫戈罗夫的复杂性是一个在任何关于人类知识的性质的讨论中都必须牢记的概念。

只要我们的知识内容是以符号方式表达的（口头数字），就会对可以保存和处理的信息量有物理限制。我们总是依赖各种信息压缩的方法。科尔莫戈罗夫复杂性对这种压缩的有效性有绝对的限制。当我们说到，比如说，用运动方程表示的物理定律，我们的意思是，通过将这些定律翻译成计算机程序，可以获得对物理系统行为的精确描述，但我们能够发现和使用的定律的复杂性显然是有限制的。我们能确定不存在任意高复杂度的定律，甚至不存在支配“基本”系统的定律吗？

在这一点上，我们的讨论变得完全没有数学意义，在一个有数学意识的听众面前，我必须在此停止。但这就是任何比喻的命运。

阿罗的独裁者定理是在1950年左右发现的。在数学上，它是一个组合声明，描述了某些具有二元关系值的函数。直观地说，它是对社会选择问题的正式讨论。 假设一个立法者必须制定一项法律，将选民的个人意志处理成集体决定。如果要求选民在两个备选方案中选择一个，标准的解决方案是以多数票通过。然而，通常有两个以上的备选方案（想象一下资金分配问题），选民可能被要求根据他们的偏好来排序。从任何一组个人偏好中提取集体偏好的算法应该是什么？阿罗考虑了满足一些自然和民主公理的算法（例如，当大多数人倾向于A而不是B时，社会倾向于A而不是B）。然而，他发现，当有两个以上的选择时，实现解决方案的唯一方法是提名一名社会成员（独裁者，在不确定的情况下，将他的个人偏好顺序等同于社会偏好顺序。 (实际上，这是后来发现的阿罗定理的其中一个版本。另外，它指的是有限社会的情况；在无限的情况下，社会决策可以由超自由人做出，适当地称为“统治阶层”。

在某种程度上，这个定理说明了让·雅克·卢梭的《社会契约》思想的内容。

理想的民主选择形象的根本内在不一致性，可以通过以下提到三个选民和三种选择的故事来说明。这是一个关于三个骑士在十字路口徘徊的故事，他们面前有一块石头。石头上的铭文只预言了损失：向左走的人将失去他的剑；向右走的人将失去他的马；直走的人将失去他的头。骑士们下了马，开始议事。在这个故事的俄罗斯版本中，骑士们都有名字和个性：最年轻和热情的阿廖沙·波波维奇，最年长和最聪明的多布里尼亚·尼基蒂奇，以及缓慢的农民伊利亚·穆罗梅茨。因此，阿廖沙看重的是剑，而不是马，马比他的头更重要；多布里尼亚最看重的是他的头，然后是他的剑，然后是他的马；而伊利亚更喜欢他的马，而不是他的头和剑。

读者会注意到，这三个单独的偏好顺序构成了备选方案集合上的一个相同的循环顺序。因此，人们可以通过多数决定在任何两个备选方案之间做出选择。但这些决定的结合将是不一致的：民主程序不能为我们提供一个有秩序的列表。骑士们叹了口气，把决策权交给了多布林亚。

阿罗定理是否告诉我们一些我们事先不知道的事情？是的，如果我们准备认真讨论它，也就是说，仔细观察组合证明，想象各种假设和基本逻辑步骤可能的现实生活内容，一般来说，通过数学推理的僵硬逻辑来提高我们不精确的想象力，就会认为它是。例如，我们可以更好地理解政策制定的一些技巧和社会可能全心全意陷入的一些陷阱（比如不加质疑地接受一个由贵族等级制度强加的备选方案清单，尽管这个清单的编制可能正是社会决策的核心问题）。

在这个阶段，我们来到了我们讨论的主要话题：是什么将数学话语与自然语言话语区分开来，为什么帕斯卡尔式的“命令”会统治我们的专门符号活动，以及它是否真的如此“博大精深而无用”？

语言和数学

数学与人类互动的有趣篇章始于大约30年前，当时人们对自动翻译进行了第一次认真的尝试。这些首次尝试是一次痛苦的失败，至少对许多乐观主义者来说是这样，他们认为在这个领域没有根本性的障碍，只需要克服与要处理的大量信息有关的技术困难。换句话说，他们想当然地认为，翻译原则上是由一个不是很复杂的算法完成的，只是必须明确，然后作为一个计算机程序实施。

这个假设是数学隐喻的一个很好的例子（实际上是脑科学中使用的一般“计算机隐喻”的一个专门化）。

这个隐喻被证明对理论语言学来说是非常有成效的，因为它迫使语言学家开始以一种前所未有的明确性和完整性来描述人类语言的词汇、语义、重音和句法。由于这个项目，一些全新的概念和工具被发现。

然而，自动翻译本身的成功是（而且现在仍然是）很少的。很明显，对于任何计划作为翻译或甚至作为逻辑推理的算法处理来说，人类的书面语言是一个极其糟糕的输入数据。（我加上这个限制性条款是因为人类的讲话没有什么特别之处，例如作为统计研究的材料。）

这个事实可以被认为是人类语言的一个普遍属性，它值得关注。首先，我们必须拒绝一个过于天真的通常解释，即人类语言的意义世界过于庞大且结构不良，无法容纳一个组织良好的金属语言来描述这个世界。问题是，即使我们把这个宇宙严格限制在小整数数量的算术子集上，我们仍将不得不面对同样的困难。事实上，这个困难是整个算术符号系统和计算的基本算法，以及后来的符号代数的结晶的决定性原因。甚至人类语言中的初级算术词汇也基本上是古老的，原始社会的有限自然数列“一，二，三，无穷多”在我们的“千，万，亿，十亿”的指数级中得到了再现。

比起迪奥潘图斯的半语言代数，F.维埃特的代数的优势不在于它能表达新的意义，而在于它对算法处理（我们的高中代数的“相同的变换”）的无比的敏感性。

科学语言所特有的文本与它的指导者或使用者之间的直觉和情感联系的断裂，被新的计算性原子化所补偿。在它们的（尽管是有穷的）领域，它们被证明比传统的柏拉图式和亚里士多德式的日常语言话语文化要有效得多。那么，为什么我们的科学论文仍然被写成文字和公式的无序混合体？部分原因是我们仍然需要那些情感纽带；部分原因是有些意义（如人类的价值观）最好用人类语言来呈现。但是，即使作为科学演讲的媒介，人类语言也有一些固有的优势：吸引空间和定性的想象力，它有助于理解“结构稳定”的属性，如自由参数（维度）的数量，极值的存在，对称性。直截了当地说，它使科学的隐喻性使用成为可能。

隐喻与证明

这里所宣称的观点可以结合高中和研究生课程来考虑。

本世纪上半叶的普通数学教育是以应用为导向的。它为实际生活中的问题提供了最低限度的基础，并作为大学阶段学习工程和科学计算的过渡。这种课程与专业数学工作者的活动的断裂变得越来越明显。众所周知，这引起了美国的新数学和其他国家的类似项目的反应。这些课程将从专业人士那里借来的概念和原则引入高中数学：集合论、公理化的证明方式、严格的定义文化。

新数学被广泛接受，但它的扩展也伴随着抗议的声音，这些声音在70年代和80年代合并成一个响亮的合唱。批评者们不同意新数学支持者的基本论点。抛开基于认知科学和学习心理学数据的反对意见，我只想回顾一下那些关于数学中证明作用的一般评价。

一极是由Nicolas Bour-baki的著名声明所代表： “Dépuis les Grécs, qui dit Mathématiques, dit demonstration（自希腊人以来，数学就意味着演示）” 。根据这种看法，严格的证明在新数学课程中被作为一个原则问题。它认为：a)证明有助于理解一个数学事实；b)严格的证明是现代专业数学最基本的组成部分，数学拥有公认的严格标准。

这些观点受到了广泛的批评，例如，Gila Hanna在Rig orous Proofin Mathematics Education一书中，OISE Press, Ontario 1983。特别是。吉拉·汉纳指出，数学家们在接受严谨性的标准方面远非一致（指逻辑学家、形式主义者和直觉主义者之间的争论），工作中的数学家不断打破书中的所有规则。

在我看来，这并不重要。

相关的是各种基本价值之间的不平衡，这是由对证明的强调产生的。证明本身是“真”概念的衍生品。除了真理之外，还有很多价值，其中包括“活动”、“美”和“理解”，这些都是高中教学中必不可少的。恰恰是忽视了这些价值，教师（或大学教授）就会悲惨地失败。幸运的是，这一点也没有得到普遍的认可。对围绕勒内·托姆的灾变论的争议进行的社会学分析表明，从形式上的真理到理解的方向转变恰恰引起了如此尖锐的批评。当然，灾变论是发达的数学隐喻之一，只应如此判断。

在教学上，证明只是数学文本的一种类型。有许多不同的体裁：一个计算，一个评论性的草图，一个计算机程序，一个算法语言的描述，或者像讨论形式定义和直观概念之间的联系这样一个被忽视的种类。每种体裁都有自己的规律，特别是严谨性的规律，这些规律没有被编入法典，因为它们没有得到特别的关注。

教师的一个核心问题是在他或她的课程的限制区域展示各种类型的数学活动和基本的价值取向。当然，这种类型是有层次的。目标可以从实现基本的算术和逻辑素养到编程技能，从最简单的日常问题到现代科学思维的原则。在这些目标的范围内，强调“严格证明”的规范可以安全地占据一个边缘位置。

但说到这里，我必须强调，我的论证绝不是要破坏严格的数学推理的理想。这个理想是数学的一个基本精神构成原则，在这个意义上，布尔巴基当然是正确的。由于没有外部的研究对象，基于有限的信徒圈子的共识，如果没有严格的游戏规则的长期控制，数学就无法发展。在这个词的严格意义上，数学的适用性（如它在阿波罗计划中的不可或缺性）是由于我们有能力对一系列奇妙长度的符号操作进行争议。

数学的自由(康托尔)只能在铁的必要性的限制下发展，现代计算机的硬件就是这种必要性的化身。

隐喻帮助人类在这种稀薄的神的氛围中呼吸。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。