德勒兹论文1（一）

1、2、3、4、5

译序：阿尔伯特·洛特芒（Albert Lautman，1908-1944），法国数学哲学家，在他义无反顾地参加的对纳粹当局的抵抗运动中，不幸的死于枪决。他极少见地提出了对于他所在的时代——辉煌的现代数学在法国萌芽的时代中对安德烈·韦伊，埃利·约瑟夫·嘉当与格罗腾迪克等发展出的数学的形而上学框架，以求解决无论是数学上的技术难题或是哲学推广。这些数学内容与对其的发展即使在今日，也是数学研究炙手可热的一部分。洛特芒是德勒兹在数学哲学领域的思想资源之一，在《差异与重复》的三四章节集中体现出来，这可以被看作是对于某种德勒兹刻板印象——“生物学的用语（巴迪欧）”，“对数学一无所知（塔西奇）”的有力回击，在德勒兹的思想中，一直有着对于数学的思考，无论是在《差异与重复》中的微分学与对阿贝尔与伽罗瓦的盛赞（德勒兹在P307甚至写道：科学的哥白尼革命是由阿贝尔实现的，他撰写了一部全新的《纯粹理性批判》），所谓的“成问题的数学”或者是“数学所保有的未失去力量的辩证法”，直到《千高原》中对于游牧科学与皇家科学中各种对数学所提出的例子等等，都显示了德勒兹对数学的思考并非一片空白。很遗憾洛特芒的作品并没有中文译介，这篇论文有助于大家初窥洛特芒的数学哲学，更顺利的进入德勒兹的数学思想领域（这也是Duffy诸多篇论文所做的工作）。感谢知乎用户@hce、已经退乎的@Renata与 @彭柯尧 在翻译中给予的帮助，hce帮助我校对了许多代数数论与代数几何领域的术语与文意，而彭柯尧在拓扑方面提供了很大帮助，Renata则在根据原文与原文的所引用的各种文献做了逐字逐句的校对。（粗斜体为校对者与译者的注释。）

《洛特芒与数学的实在》

作者:David Corfield于March 20, 2009

译者：阿本希

我很高兴得到为本书（译注：似乎是一本同名书籍，但未出版）撰稿的邀请。很多年前我在巴黎学习先进的精神分析以求职时，我找到了我对数学哲学的兴趣，如果你回想起在巴黎，精神分析是如何与广泛的智力成果相联系的情景，我想这并不令人感到惊讶。我在蓬皮杜中心找到了洛特芒1977年出版的一册10/18开本的作品（注：法国的一种口袋书尺寸，为10×18 cm），在当时我对于书中的一些哲学背景我并不熟悉，但我仍然被其中结构相似性的各种例子迷住了，令我回忆起我曾从我的本科数学学位的学习中得到的诸多乐趣。

同时，受科林·麦克拉蒂（Colin McLarty）的《拓扑斯理论史的用处与滥用》（Uses and Abuses of the History of Topos Theory）的影响，我学习了范畴论，特别读了兰贝克（Lambek）与斯科特（Scott）的《高阶范畴逻辑》（Higher-Order Categorical Logic）。不难发现，如果洛特芒活到了战争之后，他会全心全意地投入范畴论。不久之后，我回到伦敦攻读数学哲学的硕士和哲学博士学位，直到那时我才开始着手处理洛特芒与英美分析哲学取向的两种数学哲学之间的鸿沟，曾几何时，洛特芒当时的研究视野中有的伽罗瓦对应，θ函数，庞加莱对偶和类域论，仍然是英美分析哲学思考的可能对象，就像印度南部的季风季，或者小蹄鼻蝠的繁殖周期一样。我能想到的讨论真正数学的最好机会是响应拉卡托斯（Lakatos）的号召，将他为科学设计的研究结构移植到数学上，按照他的要求，实例研究的材料可以从最有吸引力的数学中任意提取。然而拉卡托斯的框架稍显僵硬，平行的研究纲领间必须明显对立，很难实际上处理洛特芒所珍视的20世纪数学中理论的交织。

现在，是一个回到洛特芒，回到我二十年来工作的起源的真正机会：

1.我们不应该将逻辑哲学置于所有数学分支之上，而应该将其考虑得像任何别的分支一样，是一个关键概念反复显现的地方。

2.数学实在应该依靠这些反复显现（recurrent manifestations）来解决，也即是洛特芒所谓的辩证理念的实现（realisation of dialectical ideas），而不是通过蒯因（Quine）的本体论承诺（ontological commitment）的概念。

在这篇论文中，我想以洛特芒提供的几个例子为背景来深入，并提出一些关于他的“辩证思想”的本质性问题。

1.朝着绝对的上扬（La Montée vers L’Absolu）

如果有任何篇什让我在20年后的今天仍然印象深刻，那便是洛特芒的《朝着绝对的上扬》（La Montée vers L’Absolu，译注：讨论了一些关于笛卡尔哲学的观点）。在其中，我们能发现一个关于完美和不完美的理念，在哲学和数学中，它的两种展现方式之间有着极好的联系。这个由两部分组成的观点表示，任何不完美的实例都预设了一个对应的完美，通过不完美的实体的缺陷来理解完美的性质是可能的。这种思想在哲学上则由笛卡尔的论证实现，即我们可以通过意识到自己的缺陷来了解完美存在的存在及其属性。例如，有时我们怀疑而不知晓一些事情。这就是一种缺陷，因此我们可以知道完美存在是无所不知的。

洛特芒更多的关注于代数数论与代数拓扑。有理数域Q的不完美之处在于对于多项式x² – 2 不分裂，其缺乏平方为2的元素。域 Q √2 是迈向完美的第一步，不过对于别的多项式，我们仍能做同样的事情来确证其不完美，所以完美的Q必然是它的代数闭包。现在让我们转到拓扑学，圆的不完美在于他是一个环而不能收缩为一点。绕圆一周的路径是不可缩的。但是，在绕原圆转两圈的路径中，绕原圆转一圈的路径又是可缩的。然而，转两圈的路径虽然相对完美，但如果取绕原圆转任意非零偶数圈数的路径，它仍然是不可缩的。在这种情况下，完美的圆是螺旋线。在这两个数学上的例子有很多共同之处——在前一个例子中，中间域的格（lattice），以及在后一个例子中，中间复叠空间的格，可以通过各自例子中某些确定的子群的格关联起来。

正如让·迪厄多内（Jean dieudonné）在其著作的10/18开本版序言中写的一样，在选择这些例子时，洛特芒体现出对数学中普遍存在的结构相似性的极大敏感，这些敏感性被范畴论的语言极好地捕捉到了。的确，随着格罗滕迪克引入并介绍的纤维函子（fibre functor）概念，在拓扑结构与数论结构的统一历程上一个重大的时刻到来了，通过这个概念，数学家可以尝试理解基本群的非交换性的数论表现。回忆在拓扑学中，基本群是形变等价意义下的带基点的环路的群，在拓扑学中，我们可以用伽罗瓦式的考量去构造高阶同伦群的其他“不完美”之处（注：应该是指 Whitehead tower）。

实际上，这些丰富的数学内涵远没有被穷尽，如同伊夫·安德烈（Yves André）所做的那样，洛特芒的文本如果紧跟时代，更新版本应该涵盖微分方程、动机（motives）、（动机）周期（period [of motives]）与重整化（renormalisation）等，不过真正我们所明白的而洛特芒不曾明白的，是问题的关键，他所谓的“理念”，可以被一些数学语言框定，至少在该理念在数学中展现的时候。数学可以在比该理念的展现更抽象的层次上处理该理念。实际上，当桑德斯·麦克莱恩（Saunders MacLane）在他的文章《数学千变万化的本性》（The Protean Character of Mathematics, Mclane 1992）中使用伽罗瓦的观点来证明“同一个数学结构经验上有着许多不同的实现”时，他以如下文献结束对此的主要贡献的清单：

Janelidze, 1988 Categorical formulation of Galois structure（伽罗瓦结构的范畴形式）

Various, 1990 One adjunction handles Galois and much more. (p.13)（一个伴随搞定伽罗瓦和各种东西；注：本文作者Corfield也不知道这是什么。考虑到MacLane此文撰写于1985，这应当是个玩笑和愿景）

现在有一个问题，[在“辩证理念的实现”中，]术语“辩证（的）”（dialectical）有何作用，为何不把这些在数学中表现得如此清晰的原始概念仅仅看作是“数学的”？我们没有语言来捕捉伽罗瓦域扩张和庞加莱复叠变换的共性，似乎有理由将这种共性看作是超出数学的，但在今天这依然有意义吗？

或许，答案在这里：我们回忆那个完美/不完美的理念，它不只在数学的领域中彰显。洛特芒给出的非数学的实例是笛卡尔以自己的不完美之处为上帝的存在提供辩护。我们或许可以争辩道这里表明的东西显然不是数学的，所以这种哲学的状况与伽罗瓦的状况之共性也不会是数学的。当然，将笛卡尔的哲学观点数学化没有什么意义。但是我们可能会好奇，在哲学中这些实例的表现似乎不如在数学中丰富，这一差别是否很重要。更进一步说，如果我们想要捕捉这些数学情况的本质，完美与否是不是个恰切的概念对子？伽罗瓦本人似乎更倾向于思考“模糊”（ambiguity）而非单纯的“不完美”，他在生平最后一封信中写道：

一段时间以来，我的主要思考一直针对如何将模糊理论应用于超越分析。就是说，如何在量或超越函数之间的关系中先验地看到可以进行什么样的交换，什么量可以代替给定的量，而这种交换关系不会停止。但是我没有时间了，我的想法还没有在这个巨大的领域得到好的发展....(引自André 2008)

（注：Galois的模糊理论theorie de l'ambiguïté命名的来源是，其理论——今天我们就称为Galois理论——的一个核心观念在于，在纯代数的——不引入额外序关系的——意义上，一个不可约多项式的几个解对于扩张前的数域来说都是不可区分的，可交换的，“模糊”的。一旦通过扩张引入其中一个，就等于引入其他所有解。Galois的意思是希望能用同样的方式去研究超越数——超越函数的零点。）

当然，“模糊”可以被视为一种不完美的形式，但是除非笛卡尔的例子可以被理解为一种“模糊”的形式，不然这种共性对我们来说是必将被减弱的。

尽管洛特芒避开了“共相”（universal）这个术语，但米歇尔·波兰尼（Michael Polanyi）对此的界定明显相关。他将共相视为“形成一个类的所有事物的共同意义”，他声称，这种意义是 “实在的，因为它能够在未来无限地显现出来”。他接着说道：

事实上，它有一种启发性力量，通常体现在两个方面：（1）一个共相概念/普遍的概念通常能预见到将来它自己的更多实例发生。而如果这个概念是真的，它将有效地包含这些将来的实例，尽管它们在每一个细节上都可能与过去包含的所有实例不同，而这种不同有可能不可预测。（2）一个真的共相概念，会指向一个自然类别，例如一种动物物种，并预期该类别中的成员共享一个不确定范围内的未被规定的属性，也就是说，我们将会发现该类一个尚未揭晓的内涵。（Polanyi 1969, 170-1）

为说明这种力量，考虑有人提出老鼠和大象属于一个叫做“哺乳动物”（mammaila）的类别时，我们就可能会期望（1）一些非常不同的动物会被归入哺乳动物。（2）大象与老鼠之间范围不定的共性将会揭示出来。在这个例子里，水生的无腿动物海豚被归入此类，而老鼠与大象间生理的乃至于基因上的相似性得到发现，证明这些能力得到了令人钦佩的展示。

我认为我们可以冒险暂时忽略共相（普遍性）概念与理念之间的差异，并问询在笛卡尔和伽罗瓦的思想中表现出来的共性是否有同样的启发能力。沿着（1）的思路，我们可能会在别处寻找不完美/完美之辩证法的另一种丰富的表现。我们会发现伽罗瓦理论在物理中也有应用，例如，Gepner 2006，但是完美/不完美与这项有理共形场理论的工作的关系并不明显。在别处，同伦论揭示了向列型（nematic）液晶晶体的缺陷（Nash and Sen 1983, Ch. 9），但尽管这里有着不完美的发现，但我们仍不清楚从不完美中是否得到了完美的晶体的相应概念。而且，如果要把它算作洛特芒式辩证理念的第三个表示，我们应该注意到它和它承载的数学之间的密切关系。这使我们很难将其看作辩证法三元组中的第三项，毕竟它和数学的例子只有咫尺之遥。

另一方面，沿着（2）的思路，或许哲学例子的单薄表象是一个幻觉，或许哲学比我们想象的更“伽罗瓦”一些。在我看来，有一种显然的方法可以让哲学叙述更加丰富，这是我在后文的数学理解中所强烈建议的。如果笛卡尔的思想中出现了完整的伽罗瓦思想，他将不得不把人的不完美这个复合体的不同子结构的所有等级，与介于人和上帝之间的不同种类的天使的等级联系起来。显然的，在《神学大全》中，阿奎那描述了天使的等级，分为三等，每个等级又分为三等。对我来说，要是中世纪的这种或其他复杂的天使理论能描摹成类似伽罗瓦理论的形式，这一点也不奇怪。

不过这个数学的例子或许在所有的例子中都比较特殊，不是所有共性实现的例子都能像这个一样被单个数学理论很好的捕捉，让我们看看洛特芒的下一个例子。

2. 互反律与对偶

在洛特芒的《数学之辨证结构新探》（Nouvelles Recherches sur la Structure Dialectique des Mathématiques.1939）中，洛特芒讨论了数论中分析学的使用。他指出，一些人对这种用法感到不适，并试图消除它。但是劳特曼认为这种“净化”没有形而上学的必要性。他不认为算术在形而上学上先于分析学，而是建议我们把它们同等地视为同一辩证结构的实现。

他举了互反元素（reciprocal entities）的例子，在算术中，我们有如下的二次互反律，其中两个Legendre符号（注：（p/q）和（q/p））表现地像彼此的逆（“互反”）：

p q p–1 q–1

(─) (─)＝–1 (─) (─)

q p 2 2

这里对于奇素数p，q，如果p是模q下的平方数，第一个Legendre符号取值1，否则取值-1。

他接着指出，有两种可能的方法推广二次互反律。第一种，推广到任意域上的任意代数整数。第二种，允许更普遍的同余，不只是平方，还包括其他的幂（注：指推广到p是模q下的高次幂）。他指出这已经用代数方法实现，但补充道Hecke提供了用θ函数导出更一般的互反律的分析学手段。这里我们定义，

m＝＋∞

θ(τ)＝∑ e⁻πτᵐ²

m＝–∞

注意到函数奇点在τ = 2ir，r为有理数，但是对于每个这样的r，θ(τ + 2ir)都取有限的值，即高斯和C(−r)（只差系数）。现在，我们考虑θ函数的变换性质。

1 1

θ(─)＝─θ(τ)

τ √τ

这告诉我们在C(r)与 C(−1/4r)之间有互反关系，由此易得通常的二次互反律（注：只需要取τ=2ir+ε，然后令ε→0）。

洛特芒称：

“这种关于元素间互反性的辩证理念可以如此清楚地在它的算数实现与分析实现之中辨认出来，以至于可以找到一定数量的数学理论，在其中，该理念以类似的方式实现自己。”

在我们看洛特芒在什么别的地方看到互反理念的实现之前，我们应当注意到，对洛特芒来说，把辩证的理念和它的各种实现清楚区分开很重要。再一次，我们可能会想要探究，20世纪30年代的数学无法捕捉或至少无法接近互反这一概念本身的原因是什么。在当时，找到能涵盖互反概念的所有数学实现的框架似乎是一个遥远的前景，尤其是当时洛特芒接着引用André Weil离他晚近的一些作品，指出在互反律与庞加莱对偶之间有着一些联系，这种对偶将m维同调（homology）与n维流形上的n-m维上同调（cohomology）联系起来，其在特定种类的流形中蕴含互补维数的同调间的简单联系。罗特芒又一次杰出地选择了他的研究案例，二次互反律与庞加莱对偶确实有着共性，而这点与伽罗瓦思想有着重要联系，我将简单叙述一下。

在后来的1970年代，Barry Mazur与David Mumford注意到代数数域的理想，与3维流形中的链环（links）之间强而有力的类比，如下所示。从平展上同调（Étale cohomology）的观点来看，整数ℤ ，或不如说，其概形Spec( ℤ )，似乎类似于三维球，而一个素数p对应的概形 Kₚ＝Spec( ℤ /p ℤ )，则似乎类似于这个球面的一维子流形。将纽结理论的概念转移到代数数论，或许可以产生重大进步。庞加莱对偶可以定义两个“纽结” Kq 与 Kₚ 的链环数，在这个框架中，二次互反律相当于这样一个事实，即扭结A和扭结B的链环数与扭结B和扭结A的链环数相同（Waldspurger 1976）。

在洛特芒在世时，L-函数互反律与庞加莱对偶联系起来以后，这一故事在分析学的部分也变得丰富起来。这里我们将要触及到当代数学中最热门的领域，不朽的朗兰兹纲领与格罗滕迪克的动机（motive）。洛特芒对数学统一性的感觉极端敏锐，不过再一次，一个问题随着阐明数学实在的工作不断成功而来：在此处自我显现的思想中，哪些并非是数学范畴的？尽管我们还没有取得囊括一切对偶形式的全面数学体系，但至少有一种强烈的感觉，比起其所有的实现，对偶的理念本身可以被数学方法直接处理。再一次的，这涉及范畴语言（与它的高阶表亲）。对偶经常能用等价性表达。

劳威尔（Lawvere）与罗斯伯格（Rosebrugh）在他们的著作《为了数学的集合论》（Sets for Mathematics, 2003）第七章中介绍了一个有用的，关于“形式”对偶与“具体”对偶之间的区别。形式对偶只是把相关图表中的箭头翻转过来，故而：

如果原始图表中已经用特定集合与特定映射来做解释，那么当我们转向其形式对偶时，这些解释就丢失了，因为形式对偶本身并没有决定解释对偶陈述所需要的特定集合与特定映射。（p121）

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