德勒兹论文1（二）

另一边，具体对偶则发生于这样的情况下，即用给定的对偶对象，对每个对象求幂，从旧的图形成新的图，例如，X变为xⱽ ，V为对偶对象（注：在这里，求幂的意思就是取V→X的映射集），箭头在新图中就自然变为逆向的。这时，不是每一个陈述都会被关于V做对偶的程序带入其的形式对偶中，这实际上是数学研究与逻辑研究中很大的一部分，对于数学:

空间 vs. 数量(space vs. quantity）

和逻辑:

理论 vs. 实例(theory vs. example)

两者或许可以看做是形式对偶性与关于我们偏好的V所做的具体对偶性在何种程度上对应的详细研究。（p122）

与完美/不完美的辩证法不同，我们没有从洛特芒那里学到关于互反/对偶理念的非数学实例。但如果朗兰兹纲领因它是一种理念的表现形式有着哲学上的重要性，那么这种理念在生活的其他领域也同样能表现出来，为此我们需要想出一些有趣的例子。我们可以想出一些点子，但肯定会担心它们和数学的例子相比毫不重要，最好的办法还是去物理中寻找，比如电场与磁场的对偶。实际上数学例子与物理的例子有着巨量的共同点，他们有着一个互相影响和发展的连续历史，从霍奇理论（Hodge theory）与德拉姆上同调（de Rham cohomology），到理论物理中镜像对称，与弦论中的T-对偶与S-对偶。卡普斯汀和威滕(Kapustin and Witten 2006)就将电磁对偶与朗兰兹纲领的一部分联系起来。又有许多迹象表明范畴论发挥了关键作用。

不过或许洛特芒的问题是，他本能地向我们指出，在数学中重复显现的同一理念，最终也可以由数学通达。但有一些理由认为并非所有的数学都行此道路

3．两种数学文化

特芒关于数学的美学感觉驱使他选出这些例子，而这些例子最终在范畴论中得以展开，但也有其他美学感觉并存。虽然我仍相信洛特芒本人会喜欢我在我与朋友共同经营的博客（The n-Category Café）上讨论的材料，陶哲轩（Terence Tao）写的博客却也有一种相当不同的感性。我认为，捕捉这种差异的最好工作是蒂莫西·高尔斯（Timothy Gowers）的论文《数学的两种文化》（The Two Cultures of Mathematics），其中有个“理论构建者”和“问题解决者”的区分。我认为我们必须非常小心这些标签，就像高尔斯自己做的那样：

当我说数学家可以分为理论构建者和问题解决者时，我指的是他们的优先关注，而不是荒谬地宣称他们只专注于一种数学活动。（p2）

那么，为了避免误解，也许最好直接给出两种文化的典例。

理论构建者：格洛腾迪克的代数几何，朗兰兹纲领，镜像对称与椭圆上同调（elliptic cohomology）。

问题解决者：组合图论，拉姆齐定理，塞迈雷迪定理（Szemerédi’s theorem），素数中的等差数列。

高尔斯提到迈克尔·阿蒂亚爵士（Sir Michael Atiyah）是理论构建者的最佳范例，并推荐了他的非正式随笔，其文集第一卷的“General papers”，事实上，它们体现了一种美学，在我做哲学 PhD 的时候，我非常钦佩。另一方面，埃尔德什·帕尔（Erdős Pál）被认为是一个完美的问题解决者，那么其相应的美学呢？

解决问题的主题其中一个引人之处，就是问题的易得性，这被高尔斯收集在“组合学”的宽松外衣之下：

做数学最大的满足之一是，正如俗话所说，站在巨人的肩膀上。我们可以达到前几代人想象不到的高度。然而，大多数组合学的论文都是独立的，或者最多要求读者掌握少量的背景知识。这和代数数论中的定理形成对比。如果一个人从一个典型的本科教学大纲开始学习，可能需要几年后才能理解它。

对于一个刚刚获得菲尔兹奖的人来说（注：高尔斯在1998因组合学的研究获得菲尔兹奖），需要捍卫自己的兴趣似乎有些奇怪，但在描述了一个涉及拉姆齐数的问题之后，高尔斯写道：

我认为这是组合学的主要问题之一，我花了我生命中几个月的时间试图解决这个问题，但没有成功。但是我觉得写这件事似乎很尴尬，因为我意识到许多数学家会把这个问题视为一个技巧性的谜题，而不是一个严肃的数学问题。（p13）

通常有两种诉求可以保证一个领域的重要性，它与其他领域的联系，以及它的应用能力。但：

至于与其他学科的联系，组合学在概率、集合论、密码学、通信理论、巴拿赫空间的几何、调和分析、数论中都有应用……这份清单还在继续延伸。然而，当我写这篇文章的时候，我意识到这些应用中的大部分都不能给微分几何家留下深刻的印象，例如，他们可能会认为它们都属于数学中可以安全忽略的相当陌生的部分。甚至它在数论中的应用都是“搞坏了的”数论。(p13)

格林-陶定理（Green-Tao theorem），一个关于素数中包含的等差数列长度的定理，可能是说明这种“搞坏了的”数论的好候选例子，事实上，这就为金明迥（Minhyong Kim）提供了一个好方式来表达不同的数学文化的差异。他问道，以下哪一项更吸引我们？

1：关于等差数列中的素数的定理

2：关于素数中的等差数列的定理

前者是狄利克雷的结果，这是早期代数数论中理论构建者的话题。

这并不是说，在理论构建方面，所有“搞对了的”数论的理论结果都注定重要。事实上，费马大定理多年来就遭到了大量的谩骂。而正是幕后的成功活动引领了谷山-志村猜想的证明，而后者普遍认为是重大成就。因此，即使关于素数等差数列存在的结果类似地被谩骂，也可能会有一些普遍的结果潜伏在幕后。然而，根据高尔斯的观点，在组合学中，与其说是处理普适的定理，不如说是处理宽泛的原理。例如：

如果一个人试图在一定的约束条件下最大化某些结构的大小，而这些约束条件似乎迫使极值以某种均匀一致的方式散布，那么随机选择一个极值可能会给出一个好的答案。（p6）

范畴论没有在高尔斯的“组合学”中发挥作用并非偶然。如果一个人是根据对整个数学的影响程度来衡量数学实践的重要性，那么相比起理论结果和理论装置在各领域之间的转移（范畴论使之变得简单多了），也许有必要寻找更微妙的关系，比如说，什么时候我们能说：

领域A在精神上与领域B足够接近，使得任何擅长领域A的人都可能擅长领域B，而且许多数学家对这两个领域都有贡献。（p14）

似乎这种共同的“精神”可以表达为一种理念。例如，在陶哲轩的论文《结构与随机性的二分法，等差数列，以及素数》（The dichotomy between structure and randomness, arithmetic progressions and the primes, Tao 2005）中，他向我们讲述了他的许多工作中结构/随机性这一对理念的表现。这块领域对洛特芒来说会更有希望吗？

首先，我们应该说，我们不应该被数学探索的现状误导。可能会出现一个更明确的一般理论来解释陶和高尔斯的结果，就像抽象的伽罗瓦辩证理念从洛特芒时代就出现了一样。关于数论的两种方法可能调和的想法，见Kim 2007。但是，即使没有这样明确的理论像范畴论形式地捕获伽罗瓦思想一样去抓住结构/随机性的概念，在我看来，我们也只能把陶的论文当作数学。如果除了数学概念之外，没有别的方法可以切近一个理念，我不明白为什么这个概念应该被看作非数学的。

4.结论

洛特芒关于互反性的研究，是建立在海德格尔关于“存在论”（ontological）和“存在者”（ontic），“本质”（essence）和“存在”（existence）的差异之上的。我没有在这里提到这个讨论，我发现它的术语对我自己用的术语来说相当陌生。取而代之，我详细论述了洛特芒试图将数学实在的来源置于数学之外的一个地方：

在作结之前，我们想展示一下，这种理念性实在的概念——理念在数学之上，但仍需要在其运动中具体化——是如何被整合到数学柏拉图主义最权威的展现中的（Lautman, p230）。

我则表达这个“理念性实在”（réalité idéale）并不超出数学范畴，而是数学本身的核心，可以通过数学方法来处理。在许多情况下，它并不是通过具体数学理论的实例，而是依靠更为抽象层次中的操作得到处理。

另一种观点则可能会希望把抽象层次中理念的处理看成是哲学的。参考威廉·劳维尔（William Lawvere）在书《空间与数量的诸范畴》（Categories of Space and of Quantity, Lawvere 1992）所写：

我相信，在未来十年和下一个世纪，范畴论学者所创造的技术进步将对辩证哲学有价值，用有讨论余地的数学模型为古老的哲学区分提供精确的形式，如一般与特殊、客观与主观、存在与生成、空间与数量、同一与差异、量与质等。反过来，数学家对这些哲学问题的明确关注，对使得数学（以及其他科学）更广泛地适于学习和使用的目标来说，是有必要的。当然，这就需要哲学家学习数学，数学家学习哲学。

但是，我们如何称呼在洛特芒和劳维尔都做了的那种工作，真的没什么重要的。另一方面，真正重要的是，我们认识到这种工作对数学的哲学理解应该有多么核心。即使我把从伽罗瓦思想与其它类似思想中提炼的东西称为数学是对的，洛特芒仍然为我们做了巨大的贡献，是数学实践的可靠向导。如果人们想反思这一现实，他们只能关注理论发展，其一部份进程应该在这样人的案例研究中出现。例如，朗兰兹纲领中蕴含的思想，是数学实在的精髓。但我认为，与其说这指示我们一个高于数学的实在，不如把这种情况看作是一门学科处理自身特定现实的一个案例。换句话说，数学实在是最简练的实在（realitytout court）的一个例子。

数学对哲学的兴趣，因此在于它提供了别的关于实在的概念的例子。这种概念在数学、生物学、政治和艺术中各有体现。洛特芒的天赋是格外早地接触一种美学感受，这种感受性后来主宰了二十世纪的大部分数学领域。它正是人类迄今为止对数学现实的最强有力的接触。有了它，心智变得更足以追寻它的目标。

另一位哲学家波兰尼，他把我们努力拓展知识和理论的运动作为实在的指标。他对实在的观念是“可能仍会无穷尽地彰显自身的东西”(Polanyi 1969, p. 141)，对于数学，他写道：

……在自然科学中，与实在接触的感觉，就是对一次内在发现的尚未设想过的、将来的经验确证的预感，而在数学中，它却由数学本身未来萌芽的未定范围来标志。 （Polanyi, 1958：189）

这是对数学实在的描述，在某些人那里，尤其是伽罗瓦，庞加莱，和格罗腾迪克，这种感觉已经得到自证，因为他们的工作，数学在未来发芽的范围非常之广，我们为此感到高兴。

5.书目

Andre, Y. 2008,Ambiguity theory, old and new, arxiv.org/abs/0805.2568. Baez, J. and Shulman, M. 2006, Lectures on n-Categories and Cohomology,

arxiv.org/abs/math/0608...

Gepner, D. 2006,Galois Groups in Rational Conformal Field Theory, arxiv.org/abs/hep-th/06....

Gowers, W. T. 1999, ‘The Two Cultures of Mathematics’ inMathematics: Frontiers and Perspectives V. I. Arnold et al. (eds.), American Mathematical Society. Lambek J. and Scott P. J., Introduction to Higher-Order Categorical Logic, Cambridge University Press.

Kapustin A. and Witten, E. 2006,Electric-Magnetic Duality And The Geometric Langlands Program, arxiv.org/abs/hep-th/06....

Kim, M. 2007, blog comment, golem.ph.utexas.edu/cat... the two cultures of mathematic.html#c009058.

Lawvere F. W. 1992, ‘Categories of Space and of Quantity’ in Echeverria et al. (eds.)The Space of mathematics, Walter de Gruyter.

Mac Lane S. 1992, ‘The Protean Character of Mathematics’ in Echeverria et al. (eds.)The Space of mathematics, Walter de Gruyter.

McLarty, C. 1990,Uses and Abuses of the History of Topos Theory, British Journal for the Philosophy of Science 41(3):351-375

Nash C. and Sen S. 1983,Topology and Geometry for Physicists, Academic Press.

Polanyi, M. 1958,Personal Knowledge, Routledge.

Polanyi, M. 1969,Knowing and Being, University of Chicago Press. Tao, T. 2005, The dichotomy between structure and randomness, arithmetic progressions, and the primes, arxiv.org/abs/math/0512...

Waldspurger, J.-L. 1976,Entrelacements sur Spec(Z), Bull. Sci. Math. (2) 100 (1976), no. 2, 113-139.

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