德勒兹2（一）

德勒兹的背景板2：作为洛特芒工作的继承者的德勒兹

作者：Simon B. Duffy 译/校：阿本希

译序：翻译原文收录于《deleuze's philosophical lineage》第十九章，标题为译者拟。译文承接上一篇由关于洛特芒与现代数学的论文翻译，也作为成问题的数学系列的第二篇更新。与上一篇相比，对不够了解数学的读者可读性强了许多，反之对于更了解现代数学的读者应该更乐于阅读上一篇。原文最大程度的概述了洛特芒的数学哲学思想并是忠于原典的，由于洛特芒本人的作品尚没有中文译介，希望这篇对于洛特芒原作引用超过150条的文章能帮助我们一窥其思想并定位他在德勒兹思想构建中起到的作用。粗体为译者注。下段开始为译文。

阿尔伯特·洛特芒，一位法国数学哲学家（1908-1944），在二十世纪上半叶中两次世界大战之间的十几年工作间，他发展出一套同时是希尔伯特主义意义上的形式主义与结构主义的一套的数学思想。对希尔伯特的公理化结构主义的引用是其工作的基础，故而他的成果与当时主流的数学认知论(mathematical epistemology)格格不入,洛特芒认为哲学与哲学家在数学方面的工作是极为具体与确切的，他写道：“在数学的发展中，一个实在被确证了，而数学哲学具有认识和描述的功能。”他继续把这个实在描述为一个“支配”着数学发展的“理念性实在”。他说：“数学希望给哲学留下的是一个真理——这个真理会在出现在哲学大厦的和谐中，也如同在别的所有领域一样，对于原始概念的研究必须让位于对于整体的综合探索。”

这是洛特芒为自己设立的一个任务，也是一个挑战。但由于他悲剧性的早逝——他在1944年被纳粹俘虏，并因积极参与抵抗运动而被枪决，他从未完成的任务之一就是将他的数学哲学运用到其他领域中去。继承这一事业的是吉尔·德勒兹，在对洛特芒的交互中，德勒兹表现出了最大的热情，在德勒兹的哲学事业中起重要作用的是洛特芒的作品，作为德勒兹用于构建差异哲学一部分思辨逻辑，在洛特芒的意义上是所谓的“辩证的”。本章的目的是介绍洛特芒的辩证法，以及它是如何在洛特芒的作品中运行的，并确定德勒兹在将这种辩证法融入他构建差异哲学的事业中时对它做了什么。

洛特芒的公理化结构主义

在洛特芒的著作中，很清楚的一点是，他并不关心数学之中具体的基础问题，也不关心那些与数学的起源，与逻辑的关系，或是与别的基础问题有关的问题。他感兴趣的是通过对普遍的数学问题的进行本质性的描述来移置（提取）这个成问题的领域。在二十世纪20至30年代，洛特芒对于法国与德国当时的数学接受了比大部分同代的数学家更为广博与精准的教育。在当时由庞加莱、博雷尔、贝尔和勒贝格的“直觉主义”主导的法国语境中，洛特芒与卡瓦耶斯（Jean·Cavaillès）是来自德国的公理化思想的主要引入者。他在数学哲学领域的主要论文中提出的两个主要观点，即主导他后来工作开展的两个观点是“数学结构的概念和作为不同数学学科之明显多样性基础的本质统一的观点”。应该指出的是，在1935年，结构的概念“在数学中”还没有完全明确。因此，洛特芒的工作是新颖的。洛特芒受希尔伯特关于数学公理化概念的工作的启发，在数学中挖掘公理化结构主义的潜力。推动这一运动的要点是洛特芒相信：“一个数学理论主要被其思考的诸对象之间的性质所填充与占据，而非这些对象的性质。”

洛特芒认为“数学对象相对于它们被定义的理论而言是独立的”这一观点是沉浸在十九世纪的分析与几何学中的，相比之下，他支持现代代数，并认为“如果古典数学是建构主义的，与之相反，现代代数则是公理化的。” 将公理化方法引入数学意味着——“数学对象的性质和它所属的公理化领域之间存在着本质上的依赖关系”,排除了将“基本数学事实”作为构建出的阻碍产生的（学科间）隔阂。因此，洛特芒可以宣称“数学实在的问题既不是在事实层面上产生的，也不是在对象层面上产生的，而是在理论层面上产生的”。当然这并不是质疑数学上的事实，洛特芒认为数学的发展如物理学的不断构成一样，“要解释的事实在历史上都是悖论，反思式的进步依靠不断更新基本概念中的意义来使其变得可以理解”而对于孤立的对象，那些基本事实，“无理数，无穷小，不可导的连续函数，超越数 [公式] 与，超限序数 [公式] ”，在演绎理论出现之前，都被一种无法理解的事实必然性所承认。洛特芒认为数学与物理事实是在概括他们的概念的统一性之下组织起来的。洛特芒的“公理结构主义”是新的数学，它启发了布尔巴基的计划，该计划在随后的几十年里对数学产生了深远的影响，特别是对让·迪厄多内（Jean·Dieudonné）。他为洛特芒的文集写了前言。自1940年以来，结构主义观点对数学的发展产生了深远的影响，以至于它变得相当普遍。然而，洛特芒写作时情况并非如此。

洛特芒发展其数学结构概念的第一步是反对维也纳学派的逻辑学家的逻辑实证主义。洛特芒认为他们的努力——“从一些少量的概念和原始的逻辑命题开始建立数学概念”是徒劳的，因为这忽略了“理论构成中的整体性与质性”。他认为“不可能把数学的整体看作是独立于对整体结构的任何整体考虑之外的元素并置的结果，在整体结构中，这些元素被整合在一起。”对洛特芒来说，逻辑实证主义的这种贫乏是它用命题术语描述数学概念的结果，因为“这只不过是一种对它所表达的内容漠不关心的语言”。

洛特芒也抗议维也纳学派逻辑学家对希尔伯特的应用。尽管他们声称支持希尔伯特的方案。但洛特芒对逻辑主义者对“形式主义”一词的解释持批评态度，他认为这种解释不能代表希尔伯特的思想。尽管逻辑主义者在形式系统中推导出定理，例如定理起源于形式系统或者是形式系统的组成部分，但对洛特芒来说，希尔伯特更倾向于寻找“关于形式系统的定理”，例如（形式系统的）一致性或不矛盾性、完整性、可判定性等。而不是把数学哲学与对不同的逻辑形式的研究混为一谈，洛特芒认为有必要“从数学现实的自身结构的角度”来描述数学的现实，洛特芒认为这才是对希尔伯特的元数学计划的更准确的描述，他认为，这种计划“通过将基础的认识论问题转化为纯粹的数学问题，从而使其内在于数学”。

与逻辑学家对希尔伯特著作的解释相反，洛特芒认为，“希尔伯特替代了定义起源性的方法，即公理定义的方法，而且远远不想从逻辑开始重建整个数学，相反，当从逻辑传递到算术，从算术传递到分析时，新的变量和新的公理每次都扩大了结果的范围”。洛特芒在他的著作里动员的希尔伯特公理化是一种非结构主义的公理化，他认为“数学因此作为连续的综合而出现，其中每个阶段都不可归属于前者（前一阶段）”。他继续提出重要的一点，再次从希尔伯特着手，这样形式化的理论不能给出其内部一致性的证明；元数学应该在这样的形式化之上，以形式化的数学为对象，从非矛盾和完备的双重观点来研究它。”这种双重观点把洛特芒的数学概念与逻辑主义的形式主义区别开来，后者（逻辑的形式主义）认为数学实在的研究仅仅在证明不矛盾的公理。希尔伯特在“形式化的数学和这种形式主义元数学研究两种计划”之间建立的这种“计划的二重性”的结果是，尽管形式主义受“非矛盾和完备的概念”支配，但这些概念本身并不是被这种形式主义所定义的。希尔伯特表达了元数学概念相对于形式数学的支配作用，他写道，“可论证的公理和命题，例如，从这些相互作用的发挥中产生的形式(即形式演绎和新公理的增加)，是构成迄今为止的数学发展之普通过程的思想图像，但这不是绝对意义上的真理。绝对意义上的真理是某种观点…我的理论证明了这些形式系统的可解性和非矛盾性”。因此，根据洛特芒的观点，一个数学理论的价值是由“它的结构所体现的元数学属性”来决定的。

尽管洛特芒反对维也纳学派提出的逻辑主义和形式主义，但他也与法国数学家莱昂·布兰希维克（Léon·Brunschvicg）的经验主义心理学观点保持距离，布兰希维克发展了“数学的客观性是智力工作的成果——在这种工作中，它的努力中战胜了它工作材料反对它的抵抗”的思想，布兰希维克甚至倾向于“任何先验推理的努力都倾向于...‘在数学发现中颠倒思维的自然顺序’”。尽管洛特芒不相信所有“从少量初始原理出发推导数学的统一性”的尝试，包括“数学到逻辑的简化”，但他并不赞同“作为创造性发明的纯粹心理学”的布莱希维克的数学哲学概念。对于洛特芒来说，表征数学的实在的任务，必须通过在这两个极端的立场——逻辑的严密演绎和纯粹的智力创造之间进行调解来完成。洛特芒提出了数学实在的第三种替代的表征方法，这种表征是公理-结构的和动态的，其中逻辑概念的可靠的固定性或时间上的独立性与数学理论的历史发展的动态结合。

逻辑的形而上学：关于数学发生（genesis）的哲学

为了做到这一点，洛特芒区分了数理逻辑发展的两个时期，第一个时期被他称为“幼稚时期”——从罗素的第一部作品到1929年。而从雅克·赫布兰德（Jacques·Herbrand）与哥德尔（Gödel）的作品开始，这被洛特芒称为“关键时期”的开始。他把第一个时期描述为“形式主义和直觉主义在关于康托尔集合论中的产生的对立与辩论的延长”。这些讨论包括对经典分析的批评和对无限问题的基本的争论，这些争论的要点是对实无限的合法性的争论。虽然形式主义者，作为实无限的支持者，声称有权去认为一个数学对象（指无穷）“其被一个没有矛盾的公理系统蕴含”相反，直觉主义者坚持着这是“去肯定一个不可能实现的计算的可能性”，例如，“关于一个对象的构造需要无限多的步骤，或者一个定理是不可能被检验的，因为它依赖于不确定的定义”，这是去肯定一个没有意义的东西，或者是错误的，至少是不可能的。

洛特芒关于数学的统一的解释使得他区别于同代法国直觉主义者如布劳威尔的构建主义观点，因为洛特芒认为对于实无限，其在代数公理中的表示是合法的。而且，与直觉主义与构建主义相反，他同意应该给与数理逻辑一切应有的思考，也就是说他接受被排斥的排中律。然而他坚持认为，“逻辑与数学相比并不是先验的（并不更先验），而是逻辑需要数学才能存在”。他把“幼稚时期”的逻辑学家的看法——“逻辑对于数学所有的绝对性和单义的优先性”简单地认为是“过时的”。

对于洛特芒来说，数学哲学不能被简化还原为对于成问题的逻辑基础的二级认识论意见，也不能被简化为历史的甚至是社会心理学的研究，也不能被化为是对边缘的运动如同直觉主义的反思。然而正是在洛特芒所说的与算术系统的非矛盾性有关的“关键时期”之中的研究中，洛特芒认为，一种新的数学实在论被证实了——一种“不同于形式主义的逻辑主义，也不同于直觉主义的建构主义”。洛特芒称，在幼稚时期与关键时期之间，有一个“逻辑的内部进化”，他给自己设定的任务是脱离这个被证成的数学实在，“数学发生性的哲学，其范围远远超出逻辑领域”。

尽管希尔伯特的元数学提出要以非矛盾性和完备性的逻辑概念为角度的来检验数学理论，但洛特芒指出，“这只是一个研究所指向的理想，并且人们知道这个理想实际上似乎难以实现”，这是对哥德尔第二不完备性定理的隐含式引用，它表明任何非矛盾的形式系统都不能通过它自己的公理来证明它的完备性。洛特芒总结道：“元数学因此可以考虑某些完美结构的理念，这可能通过有效的数学理论来实现，并且这独立于我们已知的那些保有着成问题的性质的理论。我们对数学实在的批判性概念的理解是实际上如下“一个逻辑问题的陈述，然而根本没有解决它的数学方法”。洛特芒打算通过对他称之为“逻辑形而上学”的“揭示”来描述成问题的“逻辑问题的原则和其的数学解决之间的差异”。这采取的形式是“导引一个将关键公理的结构性考虑与一个特定的动态概念的‘存在的确证’统一起来的连接性普遍理论”。

洛特芒运用特殊的动态数学概念，特别是当他如下定义数学真理的本质时:“任何声称主宰数学发展的逻辑尝试都忽略了数学真理的本质，因为这与思维的创造性活动有关，并参到其时间性之中”。洛特芒在这小心翼翼地指出，数学真理只是部分地与数学家头脑的创造性活动有关，为了将他对动态性地描述与布兰希维克的相区分，洛特芒考虑道：“有必要去把握住超越时间性的数学发现的一种完全能够给与数学经验意义与价值的理念性现实”。这种区别的关键在于洛特芒认为“这种理念现实独立于思想的活动”。对洛特芒而言，数学家的思维活动“仅仅是一种干预...其关乎创造有效的数学”，也即使有效的数学理论。这种理念性现实是由他所说的“抽象理念”构成，洛特芒提出把数学家头脑的独立活动和这种理念现实的观念之间的关系称为“辩证的”，他把这些观念称为“辩证的理念”。洛特芒的主要论点是，数学参与了以抽象方式支配它的辩证法。他认为，“似乎支配着某些数学理论的运动”，并且可以想象为独立于数学的理念，“无论如何都不容易被直接研究”。他接着声称，正是这些辩证的理念“赋予了数学杰出的哲学价值”。就是为什么洛特芒考虑数学，尤其是“现代数学”(这里洛特芒指的是代数、群论和拓扑学的关键时期之后的发展)告诉我们，除了数学家感兴趣的结构之外，“另一个隐蔽的叙事是面向哲学家的”。这个叙述的要点是，对于洛特芒，指导他研究的是“一个在背景中不断发挥作用的辩证运动，并且它是朝向它自身的澄清的”。洛特芒将这一辩证运动形容如下：“局部的结果，中途停下来比较，试探式的尝试，都在同一个主题下统一起来，可以看到某些抽象概念之间形成的联系，我们称之为辩证的”。洛特芒认为，数学实在的性质，实际上，也是物理实在的性质，“它的结构和它产生的条件只有通过回到理念中才能被认识到”。

洛特芒的辩证逻辑

这种思想描述使得洛特芒拥有一种柏拉图主义的视角，但这和通常数学逻辑上的柏拉图主义是截然不同的，数学哲学中通常的柏拉图主义实际上是用“柏拉图主义”这个名字来概括地表示任何数学哲学，在这些哲学思想中，数学对象的存在是有保证的。洛特芒认为这“不过是一种对柏拉图主义的肤浅理解”，他没有“将通过思维理解的数学对象认为是(理念)模型的复制品”，洛特芒在这里反对在一些思想领域传统中的柏拉图主义，它们把数学理论解释为对永恒的理念的模型或形式的复制、摹本、转译或简单的移置。相反的，他希望“消除理念（eidos）和它的表象之间的不可缩小的距离的观念，以肯定体现在理论中的理念的生产力”。洛特芒想做的是将理念恢复为他所思考的“有着柏拉图主义的真正意义的术语”，也就是说，把这些抽象的辩证理念理解为“有效理论的组织所依据的结构图式”。

洛特芒将这些结构的图式描述为在相反的概念之间建立的特点联系，例如：局部-整体；内在-外在、本质-存在、连续-不连续、有限-无限。洛特芒提供了许多关于这些概念对子所起到的效果的例子，包括将分析引入算术，将拓扑学引入函数论，以及将代数的结构和有限主义的代数方法渗透到分析领域和关于连续统的辩论中所起的效果。

所以关于数学实在的本质在洛特芒的考虑下就是，“数学理论...给予了辩证的理念一具躯体”，这种辩证法是由“对立的一对概念”构成的，这种辩证法的思想或结构图式在每种情况下都是“作为在对立概念之间建立联系的问题”而提出的。洛特芒对概念和辩证理念进行了严格的区分：思考“辩证理念之间关系的思想”，或者概念对子，“这些联系只有在体现辩证关系的领域内才能确定”，洛特芒提出的是一种思辨逻辑，它大大拓宽了他从希尔伯特那里接受的元数学的领域和边界。当元数学从非矛盾性和完备性概念的角度来审视数学理论时，洛特芒认为“还有其他逻辑概念，也可能最终在数学理论中相互联系”。这些其他的逻辑概念是结构图式的概念对子，逻辑概念是结构图式的概念对子，洛特芒认为：“与前面那些例子相反，他们都是二值（bivalent）的”。这些由概念上的耦合所提出的问题的数学解答可以包括“无限的角度”。

因此，对洛特芒来说，理念随着数学现实、对象和理论一起构成了对数学实在的第四种观点。这四个概念不是对立的，而是自然地相互结合在一起:数学的事实在于发现探索新的对象，这些对象在理论中组织起来，而这些理论的运动体现了某些理念的联系模式。由于这个原因，数学实在不仅依赖于数学现实的现实基础，而且还依赖于支配数学理论的辩证思想，在数学理论中它们被现实化。洛特芒因此用形而上学的术语重新考虑了元数学，并假设了数学的形而上学规则。然而，他并没有建议将形而上学应用于数学，洛特芒式的数学哲学认为：“这不会成立...在数学理论中寻找传统形而上学的逻辑问题”。相反，从（理念发出的）问题的数学构成来看，有必要转向形而上学，即辩证方法，以便说明支配数学理论的理念。洛特芒认为，数学思想的哲学意义出现在形而上学(或辩证法)的结合（运动）中，数学是形而上学的必然结果。“我们想要证明...”他接着说道：“这种形而上学和数学的聚集不是偶然的，而是必然的”。洛特芒并不认为这是：“对数学的贬低，相反，它赋予了数学一个典范的出色位置”。洛特芒的作品因此可以被定性为形而上学的，在现代认识论的历史上，它被定性为“同时是原创性的和孤独的”。

成问题的理念与发生的概念

对洛特芒来说，有一个关键点在于——辩证理念：“只在他们以数学体现出来时存在”。洛特芒坚信这一点，他认为：“数学理论固有的现实来自于这样一个事实，即它（指数学理论）参与了那个统筹数学的理念性实在，但只有通过它（亦指数学理论）我们才能认知到（理念性实在）”。这就洛特芒的概念与“朴素的主观理念论”的区别。

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