SEP：阿尔希塔斯（四）

3. 阿尔希塔斯论科学

3.1 科学的价值

阿尔希塔斯的片段 B1 是他的《和声学》一书的开头，其中大部分内容都是关于他的声学理论的基本原理的，特别是关于我们在上面 2.2 节中描述的他的音调理论的。然而，在前五行中，阿尔希塔斯提供了一篇关于科学 (mathêmata) 的价值的序言。这篇序言有几个重要特征。首先，阿尔希塔斯确定了一组四门科学：天文学、几何学、“算术”（算术）和音乐。因此，B1 可能是最早确定了在中世纪被称为四艺的科学集合的文本，这四门科学构成了七艺中的四门。其次，阿尔希塔斯并没有把这种对科学的分类，说成是他自己的发现，而是首先赞扬了他的前辈在这些领域的工作。一些学者认为，当他赞扬“那些关心科学的人”时，他想到的只是毕达哥拉斯学派的人（例如，Zhmud 1997，198 和 Lasserre 1954，36），但这错误地假设了所有早期希腊数学都是毕达哥拉斯学派的。阿尔希塔斯没有暗示他将自己的言论局限于毕达哥拉斯学派，而且，在我们能够确定对他影响最大的人的领域，这些人并不局限于毕达哥拉斯学派（例如，几何学中的希俄斯岛的希波克拉底，见 2.1 节）。他赞扬了他在科学领域的前辈，因为“他们很好地辨别了整体的性质，他们也可能很好地看到事物在其部分中的情况”，并且“对个别事物有正确的理解”。正是在这里，阿尔希塔斯提出了他自己对科学的性质和价值的理解；由于这段话篇幅简短，许多地方还不清楚。阿尔希塔斯似乎是在赞扬那些关心科学的人的洞察力和辨别能力 (diagignôskein)。他认为，他们首先要区分整体的性质，即一门科学的普遍概念，而且，因为他们做得很好，所以他们能够理解个别对象（部分）。阿尔希塔斯在他的《和声学》中似乎正是遵循了这样的步骤。他首先定义了这门科学中最普遍的概念——声音，并用撞击等其他概念来解释它，然后才开始区分可听见的声音和不可听见的声音，以及高音调的声音和低音调的声音。然而，这门科学的目标，不是对普遍概念进行区分，而是了解个别事物的真实性质。因此，阿尔希塔斯的和声学以对音乐音程的数学描述结束，这些音乐音程是我们听到的职业音乐家使用的音程（见上面 2.2 节）。天文学将以对行星的周期、升起和落下的数学描述结束。理解阿尔希塔斯计划的一种方法是，把他看作是在实践他的前辈、毕达哥拉斯学派人物菲洛劳斯提出的方案。菲洛劳斯的一个中心论点是，我们只有在我们能够用数字来解释事物的情况下，才能获得对事物的认识（DK 44 B4）。虽然菲洛劳斯在这个计划中只迈出了第一步，但阿尔希塔斯在用数字来解释现象世界中的个别事物方面，要成功得多，正如他对音乐音程的描述所表明的那样。

柏拉图在《理想国》第七卷中对科学的描述，可以被看作是对阿尔希塔斯对科学的看法的回应。首先，柏拉图确定了一组五门科学，而不是四门科学，并谴责了人们对他提出的第五门科学——立体几何——的忽视，这可能是在暗示阿尔希塔斯（见 2.1 节）。柏拉图赞同地引用了阿尔希塔斯的说法，即“这些科学似乎是相似的”（B1），尽管他只是把它应用于和声学和天文学，而不是阿尔希塔斯的四艺，而且没有指名道姓地提到他。然而，在同一段话中，柏拉图尖锐地批评了毕达哥拉斯学派试图在“听到的和声”中寻找数字的做法。在这样做的时候，柏拉图不同意阿尔希塔斯试图确定支配感性世界中的事物的数字。对柏拉图来说，科学的价值在于，它们能够将灵魂的眼睛从感性领域转向理智领域。《理想国》第七卷详细论证了理智领域和感性领域之间的区别，即洞穴与洞穴外的理智世界之间的区别，这在很大程度上可能是针对阿尔希塔斯试图用数学来解释感性世界的做法。正如亚里士多德反复强调的那样，毕达哥拉斯学派与柏拉图的不同之处，恰恰在于他们拒绝将数与事物分开（例如，《形而上学》987b27）。

3.2 逻辑学作为主导科学

在片段 B4 中，阿尔希塔斯断言，“逻辑学在智慧方面似乎确实远远优于其他技艺”。阿尔希塔斯所说的“逻辑学”是什么意思？这似乎是他对数字科学的称呼，在片段 B1 中，数字科学被列为四门姊妹科学之一。片段 B4 或阿尔希塔斯的其他文本中，根本没有足够的语境，仅从阿尔希塔斯的用法来确定逻辑学的含义。我们有必要在一定程度上依赖柏拉图，他是早期唯一一位广泛使用这个术语的人物。后来出现的逻辑学概念，认为逻辑学处理的是有数字的事物，而不是数字本身，这种概念出现在例如杰米努斯的作品中，不应该归功于柏拉图或阿尔希塔斯（Klein 1968；Burkert 1972a，447 注 119）。在柏拉图那里，“逻辑学”可以指日常的计算，也就是我们所说的算术（例如 3 × 700 = 2,100；见《希庇亚斯篇》366c）。然而，在其他段落中，柏拉图将逻辑学与算术 (arithmêtikê) 相提并论，并将两者视为共同构成了数字科学，而对数字的实际操作就是建立在这门科学的基础上的（Klein 1968，23-24）。算术和逻辑学都处理偶数和奇数。算术关注的不是数量，而是数字的种类（《高尔吉亚篇》451b），从偶数和奇数开始，大概一直延续到我们后来在尼科马修斯那里发现的类型（《算术入门》1.8-1.13），例如素数、合数和偶次偶数。另一方面，逻辑学关注的是数量，即“奇数和偶数本身以及彼此之间的数量”（《高尔吉亚篇》451c）。逻辑学的一部分内容，可能是对各种平均值和比例的研究，这些研究的重点是数字之间的数量关系（例如，尼科马修斯，《算术入门》II. 21 ff.）。在片段 B2 中，当阿尔希塔斯定义与音乐相关的三个平均值类型（几何平均值、算术平均值和谐波平均值）时，他可能会认为自己是在研究逻辑学。每当三个项之间的关系是这样的：第一个项与第二个项的比率，等于第二个项与第三个项的比率时（例如，8 : 4 :: 4 : 2），就会出现几何平均值；而当三个项之间的关系是这样的：第一个项超过第二个项的数量，等于第二个项超过第三个项的数量时（例如，6 : 4 :: 4 : 2），就会出现算术平均值。阿尔希塔斯像柏拉图（《理想国》525c）一样，不仅在这种狭义的相对数量研究的意义上使用“逻辑学”，而且还用它来指代包括算术在内的整个数字科学。

为什么阿尔希塔斯认为逻辑学优于其他科学？在片段 B4 中，他特别将逻辑学与几何学进行了比较，他认为逻辑学 (1)“比几何学更生动地处理它所希望处理的东西”，(2)“能够完成”几何学无法完成的“证明”，即使“在对形状的研究中也是如此”。最后这句话令人惊讶，因为对形状的研究似乎应该是几何学的专长。解释阿尔希塔斯这句话最常见的方式是，假设他是在论证逻辑学在数学上优于几何学，因为某些证明只有借助逻辑学才能完成。Burkert 认为，这是怀疑该片段真实性的一个理由，因为事实似乎恰恰相反。阿尔希塔斯可以通过他对立方体倍积问题的解法，用几何的方法确定 2 的立方根，但不能用算术的方法做到这一点，因为 2 的立方根是一个无理数（1972a，220 注 14）。然而，其他学者指出，几何学中的某些证明确实需要借助逻辑学（Knorr 1975，311；Mueller 1992b，90 注 12），例如，要认识到正方形的对角线与边长是不可公度的，就需要逻辑学，因为当两个量“彼此之间的比率不是数与数之间的比率”时，就会出现不可公度（欧几里得 X 7）。这些说法表明，在某些情况下，逻辑学可能优于几何学，但它们并没有解释阿尔希塔斯更普遍的断言，即逻辑学比几何学更清楚地处理它想处理的任何问题。

然而，片段 B4 可能实际上并没有将逻辑学与其他科学作为科学进行比较——根据它们在提供证明方面的相对成功程度。据说是片段 B4 来源的那部作品的标题是《谈话录》(Diatribai)，这个标题最常用于伦理学论文。此外，据说逻辑学优于其他科学，是就智慧 (sophia) 而言的，而虽然 sophia 可以指技术专长，但它更常指最高类型的智力卓越，通常是指使我们能够过上美好生活的卓越（亚里士多德，《尼各马可伦理学》1141a12；柏拉图，《理想国》428d ff.）。逻辑学在某种意义上是否使我们比其他科学更聪明？由于阿尔希塔斯显然同意菲洛劳斯的观点，即我们只有在我们掌握了支配世界的数字的情况下，才能理解世界上的个别事物，因此，阿尔希塔斯认为逻辑学是使我们了解世界的科学，这似乎是很有道理的。正是在这种意义上，逻辑学将永远优于几何学，即使是在处理形状的时候。也许古典时期最著名的雕像是阿尔戈斯雕塑家波留克列特的《持矛者》，他也把它称为“卡农”（即标准）。虽然波留克列特在构建这种宏伟的形状时，无疑利用了几何学，但在他那本也名为《卡农》的书中，有一句名言，他断言，他的雕像的诞生，不是通过许多形状，而是“通过许多数字”（DK40 B2，见 Huffman 2002a）。单凭几何关系并不能确定一个给定物体的形状，我们必须指定具体的比例，具体的数字。阿尔希塔斯还认为，数字和逻辑学是公正国家的基础，因此也是美好生活的基础。在片段 B3 中，他认为，是理性计算 (logismos) 产生了国家所依赖的公平。正义是一种需要用数字来表达的关系，正是通过这种表达，富人和穷人才能生活在一起，每个人都看到自己得到了公平的待遇。逻辑学将永远优于其他科学，因为那些科学最终将依赖数字来让我们了解我们听到的声音、我们看到的形状以及我们观察到的天体的运动。

3.3 光学和力学

亚里士多德是第一位提到光学和力学这两门科学的希腊作家，他将光学描述为几何学的下属科学，将力学描述为立体几何学的下属科学（《分析论后书》78b34）。阿尔希塔斯在片段 B1 中描述他的前辈在科学领域的工作时，没有提到这两门科学中的任何一门，柏拉图也没有提到它们。这种沉默表明，这两门学科可能是在公元前 4 世纪上半叶，即阿尔希塔斯最活跃的时候才开始发展起来的，而且他可能在这两门学科的发展中都发挥了重要作用。在最近发现的他的《毕达哥拉斯学派》一书中的一段话中（扬布利科斯，《数学科学指南》XXV；见 Burkert 1972a，50 注 112），亚里士多德赋予了光学在毕达哥拉斯主义中迄今未被认识到的重要性。正如毕达哥拉斯学派的人对音乐音程是建立在整数比的基础上的事实印象深刻一样，他们也对光学现象可以用几何图形来解释的事实印象深刻。阿尔希塔斯不仅是一位有成就的数学家，他还提出了一种视觉理论，并显然试图解释镜子中涉及的一些现象。与柏拉图认为视觉射线（从眼睛发出）需要外部光的支持并与之融合的观点不同，阿尔希塔斯仅用视觉射线来解释视觉（A25）。因此，我们很容易认为，阿尔希塔斯在亚里士多德提到的以数学为基础的毕达哥拉斯学派光学的发展中，发挥了重要作用。另一方面，当亚里士多德提到毕达哥拉斯学派时，他通常指的是 5 世纪的毕达哥拉斯学派。在其他地方，他将阿尔希塔斯与毕达哥拉斯学派的传统分开对待，他写的关于阿尔希塔斯的著作，与他写的关于毕达哥拉斯学派的著作是分开的。因此，将亚里士多德提到的毕达哥拉斯学派光学，理解为是指菲洛劳斯等 5 世纪的毕达哥拉斯学派人物，将更为自然。因此，阿尔希塔斯将负责将已经存在的毕达哥拉斯学派光学传统发展成为一门科学，而不是创立这样一种传统。

第欧根尼·拉尔修报道说，阿尔希塔斯是“第一个利用数学第一性原理将力学系统化的人”（VIII 83 = A1），因此，阿尔希塔斯有时被现代学者誉为力学科学的创始人。然而，这里有一个令人费解的地方，因为在后来的力学传统中，没有一位古希腊作家（例如，希罗、帕普斯、阿基米德、菲隆）曾经将该领域的任何著作归功于阿尔希塔斯。古人所说的力学是什么意思？一个粗略的定义是“对机器的运行进行描述和解释”（Knorr 1996）。最早的力学论文是托名亚里士多德的《力学问题》，该书从与简单机械——杠杆——有关的问题开始。帕普斯（公元 320 年）提到了用于举起重物的机器、投石机等战争机器、提水机器、神奇的装置 (automata) 以及作为天体模型的机器（1024.12-1025.4，关于帕普斯，见 Cuomo 2000）。然而，帕普斯强调，除了力学的这一实践部分之外，还有一个理论部分，而这部分在很大程度上是数学的（1022. 13-15）。鉴于阿尔希塔斯对用数学术语描述物理现象很感兴趣，因此，他似乎很可能会对力学做出重要贡献。实际的证据并不那么确凿。人们之所以倾向于认为阿尔希塔斯在力学的发展中发挥了作用，很大程度上是因为普鲁塔克讲述了柏拉图和阿尔希塔斯之间关于阿尔希塔斯对立方体倍积问题的所谓机械解法的争论。这个故事很可能是假的（见上面 2.1）。一些学者认为，阿尔希塔斯发明了战争机器（Diels 1965；Cambiano 1998），就像阿基米德后来做的那样，但这个结论是基于有问题的推论，而且没有任何古代资料将这种机器归功于阿尔希塔斯。除了被称为“拍板”的儿童玩具（A10）之外，唯一一种可以肯定地归功于阿尔希塔斯的机械装置，是一个木制鸽子的形状的自动机，它连接着一个滑轮和一个平衡锤，当被一阵风吹动时，它会从较低的栖木“飞”到较高的栖木上（A10a）。金斯利强烈批评了那些将这些发明视为玩具的学者，并指出，这与中国古代发明家有关，他们发明了一种可以用于军事目的的木鸟（2014：155-9）。其他人则认为，由于古代的攻城器械是用动物的名字命名的（例如，“乌龟”和“乌鸦”），因此，阿尔希塔斯的“鸽子”可能是他发明的一种早期的投石机，或者是由这种投石机发射的抛射物，后来被误解为一只机械鸽子（Berryman 2003：355；2009：78）。然而，没有任何古代资料以这种方式解释这只鸽子。这里有一个复杂因素，即第欧根尼·拉尔修报道（A1），当时有一种关于力学的书在流传，有些人认为是另一位阿尔希塔斯写的，因此，这只飞鸽实际上可能是另一位阿尔希塔斯的作品。阿尔希塔斯对立方体倍积问题的解法，虽然它本身不是机械的，但对力学却极其重要，因为对这个问题的解法，不仅使人们能够将一个立方体扩大一倍，而且还能够以任何给定的比率构造出比给定物体更大或更小的物体。因此，这种解法允许人们根据一个工作模型来构造一个全尺寸的机器。帕普斯将立方体倍积问题的解法，列为对实用力学至关重要的三个几何定理之一（《数学汇编》1028. 18-21）。因此，阿尔希塔斯对力学的主要贡献，可能正是他对立方体倍积问题的解法，而正是这种解法，构成了阿尔希塔斯为力学提供的数学第一性原理。关于最近对这些问题的讨论，见 Berryman 2009：87-97。阿尔希塔斯是否写过一本关于力学的论文，就更值得怀疑了。斯科菲尔德最近指出，关于阿尔希塔斯在光学和力学方面的工作的证据，是如此之少，以至于我们应该“对他所谓的贡献持怀疑态度”（2014：86）。

4. 定义

亚里士多德在《形而上学》中赞扬阿尔希塔斯提出了兼顾形式和质料的定义（1043a14-26 = A22）。他举的例子是“无风”（nênemia），它被定义为“一定量空气 [质料] 中的静止 [形式]”，以及“海上平静”（galênê），它被定义为“海洋 [质料] 的水平 [形式]”。形式和质料这两个术语是亚里士多德的，我们无法确定阿尔希塔斯是如何将他的定义的两部分概念化的。一种合理的推测是，他追随了他的前辈菲洛劳斯，将限定者和非限定者作为他的基本形而上学原理，并且他将他的定义视为限定者（例如水平和静止）与非限定者（例如空气和海洋）的组合。“无风”和“海上平静”这两个例子很奇怪，这表明它们不是其他类型研究（例如宇宙学）的副产品，而是被特意选择来说明定义原理的。因此，阿尔希塔斯可能专门写了一篇论文来讨论这个主题。亚里士多德在其他地方评论了比例在发展定义中的作用，并使用了同样的例子（《论辩篇》108a7）。据说，识别不同类型事物中的相似性是关键。“无风”和“海上平静”被认为是相似的，这种相似性可以用以下比例来表示：nênemia 与空气的关系，就像 galênê 与海洋的关系一样。我们很容易认为，阿尔希塔斯将比例视为发展定义的关键，因为他认为世界可以用数字和比例来解释。这就可以解释亚里士多德对阿尔希塔斯的另一次提及。在《修辞学》1412a9-17 (= A12) 中，亚里士多德赞扬阿尔希塔斯能够看到相似性，即使是在差异很大的事物中，并以阿尔希塔斯关于仲裁者和祭坛是相同的说法为例。奇怪的是，DK 将这段文字列入了关于阿尔希塔斯生平的证据中，但这显然是阿尔希塔斯关于定义的工作的一部分。对祭坛和仲裁者的定义，都将诉诸于它们作为避难所的共同功能，同时要认识到这种功能的不同背景和执行方式。关于对阿尔希塔斯定义理论的这种重建的质疑，见 Barker 2006，314-318 和 Schofield 2014，80。

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