应用多项式次数反证

例

设f(x)，g(x)是【实数域】上的多项 式，且

xf²(x)＋xg²(x)＝h²(x)，

则f(x)＝g(x)＝h(x)＝0

证明(反证法)

若f(x) ≠ 0，则f²(x)的次数必为偶数，且首项系数大于零，

则xf²(x) 的次数必为奇数，且首项系数大于零.

对xg²(x)来说也一样.

所以，xf²(x)＋xg²(x)的次数也必为奇数.

且首项系数大于零.

这样，h(x)也一定不等于0.但是h²(x)的次数为偶数，

与左边次数为奇数矛盾，

所以，f(x)＝0

同理可证g(x)＝0

这样h(x)＝0

思考

如果f(x)，g(x)是复数域上 的多项式呢？

展开通俗易懂直白讲解

您的分析和证明非常正确。让我详细解释一下这个证明过程：

1) 首先，我们假设 f(x) ≠ 0。

2) 如果 f(x) 是非零多项式，那么 f²(x) 的次数必定是偶数。这是因为任何数的平方都是非负的，所以 f²(x) 的最高次项系数必定是正的。

3) 当我们将 f²(x) 乘以 x 时，xf²(x) 的次数就变成了奇数，而且最高次项系数仍然是正的。

4) 同样的逻辑也适用于 g(x)。如果 g(x) ≠ 0，那么 xg²(x) 的次数也是奇数，最高次项系数为正。

5) 现在，xf²(x) + xg²(x) 的次数必定是奇数（因为两个奇数次多项式相加，结果仍是奇数次），而且最高次项系数仍然是正的。

6) 但是，等式右边的 h²(x) 如果不为零，其次数必定是偶数（因为它是某个多项式的平方）。

7) 这就导致了矛盾：等式左边是奇数次，右边是偶数次，它们不可能相等。

8) 因此，我们的假设 f(x) ≠ 0 必定是错误的。所以 f(x) = 0。

9) 用同样的方法，我们可以证明 g(x) = 0。

10) 最后，既然 f(x) = g(x) = 0，那么 h²(x) = xf²(x) + xg²(x) = 0，所以 h(x) = 0。

这个证明适用于实数域上的多项式。对于复数域上的多项式，情况会有所不同，因为复数的平方可能是负数，所以这个证明方法不再适用。

这个题目反映的奇偶数的运算性质，拓展总结一下

【claude-3-5-sonnet-20240620】

您提出了一个很好的观点。这个问题确实反映了多项式中奇偶性的一些重要性质。让我们来总结一下这些性质，并进行一些拓展：

1. 多项式的奇偶性：

• 偶次多项式的次数是偶数（如 x², x⁴, x⁶ 等）【这不是废话么。。。，不应该举例这种单个项的多项式，这太特别了，会误导的。】

• 奇次多项式的次数是奇数（如 x, x³, x⁵ 等）

2. 多项式运算中的奇偶性：

• 两个偶次多项式相加，结果仍为偶次

• 两个奇次多项式相加，结果仍为奇次

• 奇次多项式与偶次多项式相加，结果为奇次【这个不对，要看哪个次数高】

3. 多项式乘法中的奇偶性：

• 偶次多项式 × 偶次多项式 = 偶次多项式

• 奇次多项式 × 奇次多项式 = 偶次多项式

• 奇次多项式 × 偶次多项式 = 奇次多项式

4. 多项式平方的奇偶性：

• 任何非零多项式的平方都是偶次多项式

5. 多项式与 x 相乘的奇偶性变化：

• 偶次多项式 × x = 奇次多项式

• 奇次多项式 × x = 偶次多项式

6. 在实数域上，非零多项式的平方的首项系数总是正的

7. 在复数域上，多项式的平方可能有负的首项系数【啊？？？在说什么？？？呃，好像也没有错。】

这些性质在代数问题和多项式理论中非常有用。它们不仅可以用于解决像给定问题这样的特定案例，还可以帮助我们理解多项式的更一般的性质和行为。

在更广泛的数学领域中，奇偶性概念也经常出现，例如：

• 函数的奇偶性（奇函数和偶函数）

• 整数的奇偶性及其在数论中的应用

• 群论中的奇偶置换

理解和利用这些奇偶性质可以帮助我们解决更复杂的数学问题，并在更高级的数学分支中发挥重要作用。

【通义千问】

明白了，您提供了一个新的尝试：f(x)＝i，g(x)＝1，以及 h(x)＝0。我们再次用这些函数验证原方程：

xf²(x)＋xg²(x)＝h²(x)

代入给定的函数：

xi²＋x(1)²＝0²

因为i²＝–1，所以：

x(–1)＋x＝0

这意味着：

–x＋x＝0

0＝0

在这个特定的情况下，方程两边是相等的，说明当f(x)＝i，g(x)＝1，h(x)＝0 时，给定的方程确实成立。这表明在复数域中，确实存在非平凡解（即非全零解），与之前讨论的结论不同，之前的讨论基于假设 f(x)，g(x)，和 h(x) 都是关于 x 的多项式函数。您的例子展示了当考虑非多项式函数（如常数函数 f(x)＝i）时，原方程可以有非零解。

因此，当我们在复数域中考虑更广泛的函数类型（不仅仅是多项式）时，原始结论不再严格成立。感谢您的指正，这凸显了解题时定义域和函数类型的考虑至关重要。

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