哥德尔定理【悖论本质与新解释】三

前面已经说了，如果在我们的自然语言系统（也可以看作是一个广义的形式系统）中的公认悖论的谎者悖论“本句假”，也像哥德尔定理这么来，说它不是系统悖论（矛盾），语言系统不应该产生矛盾，于是假设自然语言系统是一致的（无矛盾的），则此句“本句假”的正反命题都假（不是真命题）于是说“本句假”在自然语言中不可判定，但它明明又是这真的语句（说的就是自己假），于是只能说这个真，是更高自然语言系统中的一个真命题，在原先的自然语言系统中没有这个真。这不是矫情吗？那么，我们不是还可以说，在这个高一层的自然语言中，不是又可以有它的“本句假”吗？如此类推，可以有无穷层。而无穷的东西，是在有限中证明不了的。

可以说哥德尔定理的症结所在，就在于它从一个所谓的“系统是一致的（无矛盾的）”这个“元假设”出发，对一个作为“元数学命题”（元语句）的、特殊的哥德尔命题（语句）“本句不可证”给出的元证明，得到元结论“系统不完备”。这其实是对原先那个系统的一个并无根据的（只是假设的）、未加证明的断言。是强加给原系统的。其实与原公理系统的一致性、完备性根本无关。假设只能是外加的，行话就是“元系统”、“元数学”、“元定理”等等。我们直接就可以把凡是加“元”的东西，都看成与原系统无关，只是一个假设，也就是外来的观察者怎么看的问题。既然如此，换言之，假设了系统“无矛盾（一致）”，系统也未必就无矛盾（一致）。好，既然如此，我们如果从一开始就假设系统“不一致（有矛盾）”，系统不是也未必就有矛盾吗？事实也正是如此。作为“元语句”、“元数学命题”的那个哥德尔命题“本句不可证（不是定理）”，既然也是“元”，就说明其是外来强加的，不是直接或哪怕是间接地由系统公理推出的。这我们从哥德尔命题的构造过程就完全可以看出。这与一个逻辑悖论的形成方式完全一致。正如我们不能说逻辑系统、集合论、自然语言系统中产生了悖论，就算否定了它们一样。事实上，在任何系统中人为构造一个矛盾甚至悖论，谁也拦不住。比如，我们构造一个┐a∧a（或┐a = a），或说某人“又死又活”，谁又能不允许？我们把其归于系统中的一个人为设置的矛盾或一个错误的语句就可以了。在一个系统中（无论数学系统还是自然语言系统），写出错误的公式、矛盾的公式，说一个错话，这是常见的，排除其正确性就可以，单靠禁止是不行的。这是题中应有之义，是系统表达的一部分。比如按照哥德尔定理的思路，自然语言中的强化谎者悖论“本句假”，由于涉及了对自己的评价（尽管是否定性评价），它也可以看成是一个“元语句”，其真假与否，与我们的语言系统的矛盾性、完备性无关。当然，这只是循哥德尔定理的思路的说法，其实笔者根本就不同意分什么“元命题”、“元语句”、“元系统”、“元定理”诸如此类把系统复杂化的、类似罗素类型论的作法。谈论自己，天经地义，随时可以发生。难道学生做题、答卷子是系统内的，而老师评卷子、打分（涉及对对象的评价）就是“元系统”的？一个人对自己某行为的评价，就是“元”语言了？笑话！总之，根据以上分析，我们可以把凡是哥德尔定理中涉及“元命题”、“元假设”、“元定理”、“元推理”等的地方，统统看成与实际系统公理的完备性、一致性无关的东西，它们都是“外加”，“空降”到系统中的，是故意人为构造出来的，或假设出来的。本质上并不是直接或间接从公理中推出的结论。既然如此，我们何不直接定义“元矛盾”、“元悖论”、“元非定理（元不可证）”？这些都不是由系统公理直接、间接推出的矛盾、悖论等。它们是人为构造出的矛盾、悖论，哪怕是很隐蔽的。它们其实是系统公理所排斥的矛盾。如果一时没有搞清，搞清即可。如果是涉及公理的，修改公理、添加公理即可，而不是推到“元系统”或上级系统中去（类似罗素的类型论的办法）。不完善不是不可完善，而哥德尔定理的结论是不可完善。它无意中混淆了系统原生的矛盾（直接、间接由公理推出的矛盾。所谓“间接”，是指由系统定理推出的。但定理最终还是由公理得到的）与外界强加的矛盾的区别，类似于个别人说错话（比如那个卖矛、盾的人的话），说成是人类的语言本身不完备，还实质不可完备。这是错的。有意无意说怪话、错话的人什么时候都有，与语言系统本身的完备性何干？

总之，所谓元数学命题“本句不可证（非定理）”并非由系统公理直接、间接推出的，而是结论性的、断语性的、外加的矛盾，它不对系统的一致性（无矛盾性）负责。正如自然语言中的悖论不必对自然语言的无矛盾性、完备性负责一样。即，自然语言本是可以说清的（排除矛盾的），但任何人非要构造一个矛盾，甚至隐蔽的矛盾（悖论），总是可能的，但这并不是自然语言有什么缺陷而导致的总也不可能说清楚。它是可以说清的，矛盾是可以排除的、被认识的。

可以看出，哥德尔为了回避一个人为构造出的、其实与系统的矛盾与否无关的矛盾句 “本句不可证”，带领大家兜了个大圈子，绕晕了绝大多数人，包括他自己。代价显然是系统极其复杂难解。因为它根本就不对。

哥德尔的推导，实际是混淆了我前面已经讨论了的悖论性推理和反证法推理的本质区别：对反证法而言，是推出了一个与前提无关的矛盾，于是才要否定前提，得到与前提相反的结论。而悖论性推导，是得到一个前提参与其中的矛盾，因此是在前提成立的前提下得到的与前提矛盾的结论，因此实际得到的，其实就是一个矛盾，而且是前提和前提的否定共存的矛盾。这个前提是否定不了的。哥德尔没有意识到这点，因此他只是说比如从“本句不是不可证”，推出了“本句可证”。或从“本句可证”，推出了“本句不可证”，这种表述与反证法的表述无法严格区别。实际上，悖论性推理，一步就可以从“本句不可证”，直接推出“本句不可证并且本句可证”这个矛盾。因为”本句可证”是由“本句不可证”成立的前提下才推出的，二者都必须成立，这当然直接就构成了矛盾。在省略此点的前提下，才可以并不完全地说从“本句不可证”，推出了“本句可证”，但这只是结论的一部分，更完备的结论应该是“本句不可证并且本句可证”，推出了矛盾。也就是说，哥德尔的表达的结论“本句可证”，是从一个矛盾中抽取得到的，他试图回避这个矛盾，其实回避不了。是他自己没有察觉出这个必须具有的矛盾，否则他的一切结论都得不到。这是一个“坎”，迈不过去的。所以，结论必然是：哥德尔的结论不仅仅是排除不了“元悖论”、“元矛盾”的出现，而且他的推导中还必然要出现躲不过去的矛盾。哥德尔推导的过程实际是：由推理推出了一个明确的矛盾，即文献3指出的“G可证，当且仅当┐G可证”。但为了维护系统的一致性（无矛盾性），硬说上面矛盾的双方均不可证。也就是不可判定。但注意，在逻辑上推出矛盾的一步可是在前的，它是所有后面哥德尔推理和结论的前提，因此哥德尔推理的本质，就成了“推出了矛盾（此点可证的（同时可以判定）），再否认这是个矛盾，而是不可证（同时不可判定）”，于是逻辑结构成了“因为矛盾，否定矛盾”，或“因为可证（进而可判定），否定可证（进而否定可判定）”，其本身就构成矛盾或悖论。结果成了“可证（可判定），当且仅当不可证（不可判定）”。因此，其矛盾性、悖论性不可回避。最后，既然哥德尔的推导最终声称是个“定理”，尽管是个元数学定理，那必为真，必可证。即得到了一个人们常说的“真而不可证、不可判定的命题”，既然如此，不可判定，怎么是真的？还是判定了嘛。更何况你说它不可证，它自己不就说的是它自己不可证吗？怎么个不可证了？于是没辙，只能推说这个结论是真的，但不是原先系统中得到的，是更高一层的系统中得到的这个“真命题”也就是定理，这纯粹是一种表面高大上的“理屈词穷”的推脱。但实际上，这一切结论都根源于前面我说的悖论性的一步推出的矛盾，也就是业已被证明了的矛盾，再说不可证为真，就等于在逻辑上直接否定了前面推出矛盾的那个前提，等于自己否了自己，结论否了它赖以推出的前提（非反证法意义的）。这仍是逃不脱矛盾、悖论的结局的。总之，笔者认为，就如孙猴子跳不出如来的手掌一样，哥德尔的一切论辩，都否定不了矛盾的结论，无论你怎么样进行推理的挣扎。

事情的本质是，要想得到哥德尔的结论，以回避矛盾、悖论的产生，只能通过产生一个确确实实的矛盾、悖论，因此直接又构成矛盾、悖论。于是，哥德尔的结论不成立。

四、关于哥德尔定理本身不为人察觉的悖论或矛盾

哥德尔定理的结论，是所谓“实质”上不完全的。也就是无论怎么扩充系统，它都不完全（见文献3，P80）。而这种系统的扩充，可以是无穷的。但哥德尔定理的原始证明中，明明又证得了系统是“ω-不一致的”（文献3，P78）。既然是“不一致的”，那就是有矛盾的，就不是不完全的了。这就是一种“实质”上的不一致性（矛盾性），这与上面的“实质上的不完全性”自然是直接矛盾的。因此，哥德尔定理，实质上难以逃脱一个矛盾、悖论的命运。即使推托到更上层也没有用，对无穷层而言，它仍旧是个悖论、矛盾。事情的本质是，既然为了维护系统的一致性（非矛盾性）可以把这个特殊的矛盾命题看成是在系统内不可证的，也就是不可判定的，但这种不可证却是在更高一层的系统中确定的（可证的），那么同理，我们也可以同样把一个一致性的系统中的都不可证的正反命题（不可判定命题）看成更高层次系统中的一个矛盾。如此纠缠，直至无穷。因此，这种关于一致与不一致的矛盾，也就是关于矛盾与不矛盾本身的矛盾，仍就是一个矛盾或悖论。哥德尔定理的片面结论不能成立。这是关于哥德尔定理本身的矛盾。哥德尔定理是关于元数学的结论，现在我们把这种“元数学”结论反加之于哥德尔定理本身，其矛盾、悖论的本质必将显露。

总之，如果把哥德尔定理的论述看成一个悖论性的语句，则一切非常清晰、干净。而如果像哥德尔那样，明明是悖论，非说不是，非要说成是不可判定的，则系统复杂混乱至极，以至于其实没有什么人真正能够厘清其中的混乱。因为它本身就是一个悖论、矛盾，怎么说都可以。但怎么说也还都是悖论、矛盾，换言之，是错的。

哥德尔定理还有一个问题，就是起码是给人一个印象，试图以一个从特殊的、人为构造的自指否命题得到的结论（其实前面已经讨论，它还是错的。这里是指的“即使它不错”的意义上的），推广到一个普遍的结论。它的所有结论如“不可证（非定理）”、“不可判定”，其实都是针对“本句不可证”这个特殊的、人为制造的自指否命题本身的，与其它命题无关。把一个如此特殊的命题下才能得到的特殊结论，试图推广到整个系统，好像还有很多其它命题也都有这个问题似的。别的不说，仅就此一点，也足可看出它是有问题的，这个从特殊到一般的推理，根据是不充分的，逻辑上是不成立的。当然，当有人（如我）明确指出此点时，有人又会说“哥德尔没有这个意思”，是对方的误解什么的。但无论如何，给人的印象就是如此，平时也没有见什么人来明确澄清，只是别人提出无可辩驳的质疑了，才为了搪塞，不得不往后缩一缩。

结论：所谓哥德尔定理，作为定理，是不够格的，是应该被摘帽取消的。罗素、维特根斯坦（层就此问题与哥德尔直接产生冲突）、希尔伯特、黄展骥等人对哥德尔定理的质疑、怀疑、批评是有道理的，尽管他们都没有笔者说的这么清楚、击中哥德尔定理的要害。

参考文献

【1】、沈跃春，悖论：思维领域的第三类矛盾 __兼与张建军、孙启明等同志商榷，安徽大学学报（社会科学版），1992年第一期

【2】、马佩，四论悖论的本质___复张建军教授，河南大学学报（社会科学版），1999年7月，第39卷第四期

【3】、内格尔，纽曼，哥德尔证明，中国人民大学出版社，2008年3月第一版

【4】、沈卫国，悖论及其相关问题的研究，汉斯出版社

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