实数和自然数哪个更基础？

用康托对角线法证明（反证法）实数集合不可数过程中的逻辑问题

沈卫国（2024年1月28日）

内容摘要：在前期相关文章的基础上，明确给出康托对角线法所犯的逻辑错误。同时给出了一个与康托对角线法对等的证明实数可数的方法。此方法与以往给出的方法本质一样，但应该更简单些。

关键词：康托对角线法；反证法；实数；可数；不可数；逻辑；单值；多值；二进制；位数；自然数；充分必要；假言判断；前提；隐含前提；选言判断‬

康托对角线法证明实数集合不可数的的反证法的第一句，就是“假设实数可数，它的全部就可以排成一列”。既然是只是个假设，就是“全部实数可以排成一列”这个命题是可真可假的。而一旦实数是不可数的，就意味着不可能排出全部实数，也就是任何一次具体的排列，只能是排出一列非全部的、只是实数一部分的实数集合的一个真子集。但既然每次排列都只能排出一个实数的真子集，也就是部分实数，人们又怎么可能通过这具体的一次排不出全部实数，就来断定永远也排不出呢？而实数不可数的定义，可绝对不是一次排不出就是不可数，而是任何一次、任何对应方式下都排不出。难道可以通过一次（数学中不是用“∃”表示的吗？）得到的结论，就可以证明所有（数学中用“∀”表示，特别还是无穷次）的结论？在逻辑上，这是不是“以偏概全”的逻辑错误？因此我们可以说，实数不可数这个结论，按不可数的定义，是原则不可能被证明的。具体说，就是不可能被有限步内证明，或在有限步内被证明。因为实数与自然数的对应方式（函数关系，映射方式）可以有无限种，根本就无法一一穷尽。无法穷尽，如何证明？另一方面，就算退一步，实数不可数是可以证明的，对角线法的假设“全部实数排成一列”，其否定命题也包含两层意思，一是根本不可能排出，二是可以排出，但此次没有排出。因此由康托对角线法得到的否定命题“全部实数此次没有能排成一列”，也并没有证明全体实数根本就不可能排成一列。它没有证明用其它方式、对应原则等是不是可以排出全部实数的问题。更何况其在对角线法的证明过程中无意中引入了“所列单值的全部实数，与每位多值的位数一一对应”这样的隐含假设。而实数不可数、可数的定义中，从来也没有这样的前提条件。在逻辑上，这属于“运用选言判断中的逻辑错误”，具体说就是“遗漏选言支造成的谬误”。从假言判断的角度看，康托对角线法的“证明过程”和“结论”，充其量只是一个“必要条件假言判断”，而不是所真正需要的一个“充分条件假言判断”。更不是“充分必要假言判断”了。也就是说，实数如果不可数，当然不可能在任何一次排列中排出，也自然包括康托对角线法证明过程这一次，但这并没有充分的根据说就此实数就不可数了。它说的或所谓“证明”的，仅仅是按康托对角线法的隐含假设，全部实数并没有被全部列出而已。但这可不是不可数。

总之，运用假言判断常见的逻辑谬误有： 强加条件关系的谬误。以及混淆条件关系的谬误。经常会混淆必要条件和充分必要条件的关系，因此构成谬误。

此外，显然康托对角线法违反了自然数的单值性要求，它如果成立，就要求作为自然数的位数为单值，但它却由沿着对角线逐位变换每位状态实际使得自然数（这里指表示位数的有特定用途的自然数）变为多值的了。有一个自然数却有多个自然数状态这回事吗？比如自然数5，却有“1”与“0”这两种状态？没有。5就是5，它不是任何别的什么，更不可能是多值的。所以这个证明是错的。位数如果单值，就等价于一个实数一旦列出，就不能再变化改动其任何一位的数值而成其它实数，也就是该实数的每一位的数值都是确定了的。这等价于不再允许康托对角线法的那个沿着对角线的逐位求异操作存在，这当然就不会再有康托对角线法的预期结论。或则，既然定了自然数（位数）一位可有两个状态（二进制时），就理应允许纵向的排列位置也一个位置可有两个状态，比如三个位置，可以表示8个不同的实数，这才对等公平。不能厚此薄彼。都是自然数，横向的位数可以一位两个状态（数值），而纵向的同样用自然数标记的实数个数却只是一个位置表达一个实数，这种对应方式（函数关系）是不对等的。总之，，无论是前面两种对应方式中的哪一种，对角线法均不可用：单值情况，不可再逐位求“异”；多值情况，虽可“求异”，但在对角线上产生的数仍在前n个位置可以表达的2n个前n位的排列方式已经完备的实数中。比如，前3位，就有23 = 8个前3位的所有可能排列方式共8个。而对角线上的前三位逐位求异得到的那个排列方式，必是这8种不同的排列方式之一。总之，对角线法会失效。于是，我们可以完全仿照康托对角线法的做法，来重新构造我们的实数表：在纵向，每n个位置（n当然是任意的），我们表示2n个前n位所有可能的排列方式的实数（在二进制下。十进制其实也也一样，不过是10n罢了）。比如3个纵向位置，就表示8个这样的实数（十进制下，就是103 = 1000个实数）。而4个位置，就表示24 = 16个这样的实数，如此，在此表中，无论n多大，前n位所有不同的实数都在此表中。具体的n如果有限，2n再大，也是有限的，随着n的趋于可数无穷，2n也会趋于可数无穷，而按康托对角线法在对角线上逐位求异得到的那个所谓的“新的”实数，必在此表中，一点也不再“新”了。如此，与其说在这里康托对角线法证明是实数不可数，还不如说这个新的康托对角线法证明了所有实数都在此可数表中，也就是证明了实数可数。否则，任何人，能提出一个实数，不在此表中吗？试试看？于是，我们可以提出一个真正意义的反证法：设有某实数不在此表中，则必然存在一个自然数n（无论多大），该实数的前n位的排列方式不在此表的前n位的2n个排列方式中，但是按前面我们对此表的安排，此种情况不可能出现，2n对于n对应的不同排列数而言，是完备的，于是该实数必然存在于2n个不同的排列中，而n是任意的，多大都行，于是假设不成立，即所有实数都在此表中，得证。总之，康托对角线法在对角线上通过逐位求异得到的那个实数，必然不在纵向所列的n个实数中，但却必在纵向所列的与位置n对应的2n个实数中。而如果n是自然数，可数，前面已经说了，s = 2n必然也是自然数，可数。如23 = 8，3是自然数，8就不是了？这种关系随着n的无限增大，始终都是保持着的，不会变。也就是，康托怎么证明的对角线上新产生的实数不在n个实数中，笔者就可以怎么证明对角线上新产生的那个实数必在2n个实数中。而n与s = 2n，都是可数的，都是自然数。参见附图。

至此，笔者不但证明了老的康托对角线法究竟为什么没有如其所愿地证明实数不可数，反而在新的康托对角线法的框架下，证明了实数可数。同样的反证法，康托原先的那个是隐含前提的，是不完备的，而笔者给出的才是真正意义、完备的反证法。康托证明了，对角线上通过逐位求异得到的那个“新的”实数，其前n位（n可任意大，直至无穷）的每一位都与表中前n个实数的第n位不同，因此该新的实数就与前n个表中所列实数都不同。而笔者证明，这个所谓的“新的”实数的前n位每一位的状态以及整个排列方式，都在与n相关的2n个实数的前n位之中了，不可能有例外。于是，这个新的实数表是完备的。只要n是自然数，可数，s = 2n也是自然数，可数。这当然意味着整个实数是可数的。

普特南在其«数学哲学»的前言中说，如果我们可以以某种方式使得实数可数，那么，数学基础、集合论中的很多疑难问题都会迎刃而解（大意）。笔者在上世纪80年代，就得到康托对角线法并没有证明实数不可数的结论，1998年的«论自然科学的若干基本问题»一书中有详细的讨论，并给出了实数可数的一个证明（与此文给出的本质一样，但略有不同）。其后，正式发表与未正式发表（发表在预印本中或网上）的相关文章不下几十万字。但反响寥寥。为什么？只能说明对国外权威的盲目迷信到了不讲逻辑、不讲道理的程度。究竟是笔者对，还是康托对，假以时日，识者自明。我只是提醒下：不要又是外国人先转向，国内这些人又跟着再转向。拿出点自信来！

共2ⁿ个前n位不同的实数、n←实数、实数个数、n位、n（个、位）、位数、对角线

参考文献‬

【1】 普特南等，数学哲学，商务印书馆

【2】 沈卫国，论自然科学的若干基本问题，海风出版社，1998年9月第一版

【3】 沈卫国，论熵、不可逆过程及数学中的无穷，海风出版社，2009年

【4】 沈卫国其它有关文章共数十万字，见知乎、道客巴巴、百度等相关网站及期刊、预印本，不再一一列出

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