唯名论与有穷主义（二）

3.唯名论-有穷主义计划的反对

3.1 为何卡尔纳普对计划持保留意见，却还要参加讨论呢？

作者列了两个可能的原因：

（i）宽容原则：“ Everyone is at liberty to build up his own logic, i.e. his own form of language, as he wishes” ，卡尔纳普对本体论上唯名论-柏拉图主义，有穷主义-无穷主义的论争始终保持某种中立态度，当然卡尔纳普也没有拒绝这个FN计划。

（ii）第二个理由有可能是将Tarski的FN计划吸收进卡尔纳普自己对观察语言与理论语言的关系的研究。

In subsequent years I frequently considered the problem of the pos- sible forms of constructing such a system, and I often discussed these problems with friends. I preferred a form of construction in which the total language consists of two parts: the observation language which is presupposed as being completely understood, and the theoretical language. . .

自传中提到的就是指FN计划的讨论，这也解释了为何卡尔纳普要花精力投入他们的讨论中。

3.2 高阶数学是有意义的

无法被赋予genuine哲学上的解释的数学的部分被称为高阶数学。Tarski将其斥为纯粹的演算，是无意义的，但是卡尔纳普强烈反对这么做。卡尔纳普在讨论的速记稿中提出了两点反驳理由：

（1）数学与物理学间的一个类比

卡尔纳普认为逻辑和数学的高阶非有穷的部分和有穷部分的关系，可以类比于物理学上高阶部分与观察句的部分的关系。如此一来非有穷的逻辑和数学也是非形而上学的。即：

observation sentences : higher parts of physics

finitistic mathematics : higher, non-finitistic mathematics

这是什么意思呢？可以举一个例子：

report from Eddington’s eclipse expedition（爱丁顿日食考察的报告） : EFE（爱因斯坦场方程式）

2+5=7 : Peano arithmetic (or ZF)

不过Tarski和Quine或许仍然不会接受这个结论，

其一，奎因认为“science is full of myth and hypostasis” ，很多物理学假设本身就靠不住。

其二，这个类比也并不是很严格。对此作者进行了更为细致的考察。

（值得一提的是，庞加莱和哥德尔也发表过高阶数学和理论物理学的类比的观点，只不过他们更关心集合论和理论物理学的正当性而不是可理解性。）

（2）诉诸潜无穷‬

卡尔纳普承认所谓潜无穷，用来反对古典数学句子的unintelligible 。似乎对于卡尔纳普来说潜无穷不难理解。比如我们数完了宇宙中全部物理对象，我们仍然可以通过加一的方式继续数，可理解的远远超过实际存在的东西，或者说我们理解自然数的结构与性质的能力独立于世界上存在事物的数量。

但是唯名论者仍然可以认为超过的部分与上帝、entelechies等一样是形而上学的东西，是无意义的。

值得一提的是，虽然卡尔纳普本人并没有对潜无穷与实无穷展开过多的阐述，不过这种对于潜无穷思路的援用使他成为了目前唯名论与科学实践的调和者的an undeniable precursor 。Carnap’s basic idea has been developed extensively, by Chihara (1990) and Hellman (1989) in particular; for an excellent survey of this work, see Burgess and Rosen (1996).

3.3 是否存在与FN计划相容的无穷

卡尔纳普构想了第三个策略用来恢复无穷，但是保证对无穷个数的个体的假设不是纯逻辑的，用来消除唯名论着的疑虑。他建议使用物理对象的序列，而不是对象本身，来构建一个假的无限，从而避免达到 "final number"，这样就避免了“存在无穷多物理事物”这种可疑假设。

卡尔纳普为他的finitistic syntax的构筑给出了五个论题：

(S1) Individual symbols in the object language are concrete things, i.e. tokens; (it is possible that) there are finitely many of them.

(S2) Formulae (and proofs) of the object language are (‘non-spatial’) sequences of object language symbols. Some formulae are physically instantiated, others are not.

(S3) Formulae that are not physically actualized in object languages ymbols can be referred to metalinguistically, using sequences of names of the object language symbols.

(S4) Formulae that are not and could never be physically actualized can nonetheless be referred to via abbreviations.

(S5) Such a syntax may suffice to ‘build an unrestricted arithmetic.’

从卡尔纳普的这种有穷主义论题中，我们不难推断，由上述原则构筑的语言包含了现实世界中没有具体实现的东西，甚至在一些可能世界中也允许一些不可能被现实化的东西（比如某个世界现实的笔墨资源很少，无法记述长度过长的句子）。我们可以从中明显看到这种思路与“Steps Toward a Constructive Nominalism” 与再后来Word and Object中的奎因的差异，这种差异也体现在对分析性的态度以及方方面面。（卡尔纳普将语言当作一个数学课题，而奎因将其看作自然课题。）

不过我们也可以就卡尔纳普论题给出一些反对意见：

其一，我们要问这样一个问题“我们无法在被给定的语言中为某事物写下一个符号，这种无能的最终意义是什么？”我们会想到给定语言中某些概念的不可表述性，其中包括了Tarski's theorem about the indefinability of truth (in certain types of languages) ，这样即使是墨水资源再充足的世界，只要语言满足了某种条件，“真”就无法在其中定义。

其二，用sequences代替objects的主张已经违反了唯名论的精神。因为sequences是有某种数学结构的class，显然是不适用于Tarski的FN计划的。

3.4 对FN条件的攻击性观点

（1）卡尔纳普认为，FN条件歪曲了算数的本质。

卡尔纳普在讨论的尾声，在评注中对FN有意外很低的评价，尽管他坚持宽容原则：

It seems to me thatthe entire proposal suffers from a mistaken conception of arithmetic: the numbers are reified; arithmetic is made dependent on contingent facts, while in reality it deals with conceptual connections; if one likes: with possible, not with actual facts. (090–16– 23)

作者给出了一个猜想，即宽容原则要求分析句是具有语言相对性的，但区别于其他语言的分析性，数学的分析性是绝对的而不应该是语言相对的。作者猜想这与Foundations中卡尔纳普所谓customary interpretation有关 ，作者将其要旨总结为以下三点：

(i) every formal calculus intended to model inferences in the sciences has a particular interpretation (or family of interpretations), called the ‘customary interpretation,’ associated with it.

(ii) Interpretations can be logico- mathematical or descriptive: for example, an interpretation that takes the universe of discourse to be the natural numbers or the set-theoretic hierarchy is logico-mathematical, while an interpretation whose universe of discourse contains all and only the US presidents (or any other set of physical objects) will be descriptive.

(iii) The customary interpretation for the arithmetical calculus is a logico-mathematical one.

所以，卡尔纳普认为Tarski将其target explicandum 给弄错了，不是给演算一个自然的解释，而应该是一个逻辑-数学上的解释。如果在某种calculus中我们无法从数字n的存在中推得一个新数n+1，那么这个演算显然对于‘+’和‘1’通常的意义来说不是一个好的演算。

当然卡尔纳普的这个观点虽然可以辩护古典数学的意义，但是不能否认FN的价值，因为Tarski完全可以说他的目标不在解释算数，而是要从根本上改变算数，将算数摆脱可疑的柏拉图主义，构建一个与“数学算术”相对的“物理算数”（可以联想到卡尔纳普对数学几何学与物理几何学的区分）。

（2）证明的问题

简言之，若我们按照Tarski的建议“we ought to take as expressions, sentences, and proofs only actually written down items” ，那么根据这种限制，we could only infer sentences that are inscribed somewhere (or spoken sometime, etc.). 这是因为我们世界的资源有可能不足以写出足够大的式子的证明，即使这个证明是显而易见的。

3.4 来自作者的一个反论

作者最后给出了一个没有出现在卡尔纳普记录中，但是对唯名论的常见的反对理由，而且卡尔纳普对此很可能抱赞成意见。其反论的核心是：“What counts as an individual?”这个问题的回答一定程度上决定了有多少“事物”，但是这并不是一个事实问题。用卡尔纳普的话来说，这是个分析的问题而不是综合的问题。如果不加规定，那么自然世界有多少东西就没有一个事实。

不过Tarskian仍然会认为只要变元的值域在某种程度上是物理的，不管是什么东西都是有穷的。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。