运算律

【1】若A∪B＝B，则A⊆B。

将属于集合A,集合B的元素全部包含进来，得到的集合却只包含集合B中的元素，说明集合A中的元素在集合B中都能找到，即A⊆B。

【2】若A∩B＝B，则B⊆A。

集合A,集合B的公共元素组成的集合，居然能与集合B等价，那就说明集合B中的元素在集合A中都能找到，即B⊆A。

【3】如果A⊆B，则A∪B＝B。

集合A中的元素在集合B中都能找到，那把集合A,集合B全部包含进来后，集合A中的元素总会因为重复而被删掉，所以得到的只有集合B的元素。

【4】如果B⊆A，则A∩B＝B。

集合B中的元素在集合A中都能找到，说明集合B中的所有元素都是两个集合的公共元素。

【5】A∪（A∩B）＝A。

集合A和集合B的公共元素，必然属于A。

所以A∪（A∩B）＝A∪A＝A。

【6】A∩（A∪B）＝A。

A∪B中的元素包括集合A和集合B中元素总和，包括属于A的部分和属于B的部分。

其中，属于A但不属于B的部分与A没有交集。

所以A∩（A∪B）＝A∩A＝A。

【7】A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C。

左右两边都表示，三个集合公共元素组成的集合。

【8】A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C。

左右两边都表示，三个集合的所有元素全部包含进来。

【9】A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）。

集合B∪C就是将集合B,C中的元素全部包含进来，那其中就包含B中的和C中的。

集合A与“B中的”取交集就是A∩B，与“C中的”取交集就是A∩C。

两个全包含，那就是（A∩B）∪（A∩C）。

【10】A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）。

A∪B中包含A,B中的所有元素，A∪C中包含A,C中的所有元素。

这两个取交集：两个都包含A中所有元素，A中的元素肯定是交集的一部分。一个包含B，一个包含C，那B和C的交集肯定是交集的一部分。

【11】Cu （A∪B）＝（Cu A）∩（Cu B）。

等号左边所表示的集合，是将集合A,集合B中包含的所有元素全部删除掉，剩下的元素称为外围元素（这是我自己起的名字，不是专业术语）。

等号右边所表示的集合，是两次被删元素的公共元素。第一次被删的元素包括集合B中的元素和外围元素，第二次被删的元素包括集合A中的元素和外围元素。显然，两次被删的公共元素就是外围元素。

所以等号两边表示的元素是等价的。

【12】card（A∪B）＝card（A）+card（B）-card（A∩B）。

card（R）表示集合R中元素的数量。

A∪B就是将集合A,B中的元素全部包含进来。但由于集合有“互异性”，要将重复的元素删掉。所以A∪B的元素个数，就等于集合A和集合B的元素个数之和，减去A∩B的元素个数。

【13】card [Cu（A∪B）]＝card（U）-card（A）-card（B）+crad（A∩B）。

Cu（A∪B）就是要将全集U中删掉A∪B部分，但由于A,B的公共部分被删了两次，所以需要加回一次。

【14】若一个集合中有m个元素，则该集合有2^m个子集，有（2^m）-1个真子集。

空集是任何集合的子集。

当m＝0时，只有一个空集作为子集。此时，符合上述结论。

当m＝1时，集合本身和空集可以作为子集。此时，符合上述结论。

当m＞1时，集合的子集可以是任意数量元素的排列组合。每多一个元素，多出来的元素可以与原来的每个集合组合在一起，形成一个新的集合。

｛a｝的子集包括∅,｛a｝，N＝2。

｛a,b｝的子集必然包括上面的∅,｛a｝，多出来的元素b，均可与这些集合中的元素组合在一起，形成一个新的集合：｛b｝,｛a,b｝，N＝2+2＝4。

｛a,b,c｝的子集必然包括上面的∅,｛a｝,｛a,b｝,｛b｝，多出来的元素c，均可与这些集合中的元素组合在一起，形成一个新的集合：｛c｝,｛a,c｝,｛a,b,c｝,｛b,c｝，N＝4+4＝8。

每多一个元素，多出来的元素均可与前面求出的集合中的元素组合在一起，形成一个新的集合。

所以元素每增加一个，子集数量就要x2。

所以有m个元素时，子集数量为2^m。

真子集数量就是去除掉相等的那个集合，因此真子集总比子集少一个，所以真子集数量为（2^m）-1。

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