数学联邦政治世界观
超小超大

计数原理

数学思想

以下是正文:

〖分类计数原理〗

完成一件事有n种不同的方案,在第一类方案中有a种不同的方法,在第二类方案中有b种不同的方法,……,在第n类方案中有θ种不同的方法。

则 完成这件事情,共有N=a+b+…+θ种方法。

每种方法都行,算出总数就行,故相加即可。

〖分步计数原理〗

完成一件事有n个不同的步骤,在第一个步骤中有a种不同的方法,在第二个步骤中有b种不同的方法,……,在第n个步骤中有θ种不同的方法。

则 完成这件事情,共有N=a×b×…×θ种方法。

每个步骤都要进行,比如第一步有3种方法,第二步有4种方法,那在第一步时,每种方法都要对应第二步的四种方法,由乘法的定义知,此类情况应当用乘法。

【例1】小明要去修课,可从文化课、理工课、艺术课中选择一门课进行修炼。其中文化课有4门,理工课有2门,艺术课有3门。问小明有几种选择。

易知本题符合“分类计数原理”的模型,要用加法,故N=4+2+3=9。

【例2】A,B,C,D四个人选课,每人都可以从语文、数学、英语中选择一门课。问有几种选课的方法。

本题可理解为:A先从三门课中选择一门课,然后B从三门课中选择一门课,……,符合“分步计数原理”的模型,要用乘法,故N=4×3=12。

【例3】0,4,6,7这四个数字,能组成多少种不同的四位数?

先考虑最高位,只能从4,6,7中进行选择,有3种选法。再考虑后面三位,每一位都有4种选法。故N=3×4×4×4=192。

〖练习题〗

【1】小明要从A地出发,途经B地和C地,最终到达D地。其中,从A到B有3种走法,从B到C有4种走法,从C到D有2种走法。问 小明从A到D有几种走法?

【2】小明要吃饭,可以选择去饭店吃,可以选择点外卖,也可以选择自己做饭。其中,若去饭店吃饭则有4种饭可供选择,若点外卖则有5种饭可供选择,他自己会做2种饭。问 小明有几种选择?

【3】1,2,3,7最多组成几种不同的四位数?

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