数学：确定性的丧失（一）

本世纪最伟大的数学家之一，H.魏尔在1944年说：数学的终极基础和终极意义尚未解决，我们不知道沿着什么方向可以找到最终答案，或者甚至于是否有希望得到一个最终的、客观的答案。“数学化”很可能是人类原始创造力的一项创造性活动，类似于语言或音乐，其历史观点否认完全客观的合理性。引论P4

希腊人敢于正视自然。他们的精神领袖（如果不是普通民众）摒弃了传统观念、超自然力、迷信、教条和其他思想束缚。他们是最早检验并试图理解各种谜一般的复杂的自然活动的人们。他们以思维与似乎瞬息万变的宇宙现象抗争，将理性之光洒于其上。

希腊的智者们对自然采取了一种全新的态度。这种态度是理性的、批判的和反宗教的。神学中上帝按其意愿创造了人和物质世界的信仰被摒弃了。智者们终于得出了这样的观念：自然是有序的，按完美的设计而恒定地运行着。从星体的运动到树叶的颤动，所有感官能感知的现象都能用一种精确、和谐而理智的形式来描述。简而言之，自然是按理性设计的，这种设计，虽然不为人的行为而影响，却能被人的思维所理解。P2

爱奥尼亚人的自然哲学是一系列的大胆的观察，敏锐的猜测和天赋的直觉，而不是广泛而细致的科学研究的成果。这些人也许有些过于急切看到世界的全貌，从而匆匆忙忙得到一些泛泛的结论。但他们的确抛弃了一些陈腐的神秘观点，而代之以唯物主义的，对宇宙的设计和运行的客观解释。他们以理性方法取代了幻想和非批判的观点，用推理来论证自己的观点成立。这些人敢于用思维来对待世界，拒绝依赖神灵、意志、鬼怪、妖魔、天使和其他也许能够维护或毁灭自然现象的神秘力量。可以用阿那克萨哥拉的话来表述这种理性观点的精髓：“理性统治着世界。”

摒除故弄玄虚、神秘主义和对自然运动的杂乱无章的认识，而代之以可理解的规律的决定性的一步是数学知识的应用。在这里，希腊人展示出一种可以与推理的作用的发现相媲美的、几乎同样富有想象力和独创性的洞察力：宇宙是以数学方式设计的，借助于数学知识，人类可以充分地认识它。P3

因为毕达哥拉斯派认为：“万物皆数也。”因为数是万物之“本”，对自然现象的解释只有通过数字才能得出。

这种早期的毕达哥拉斯派思想是令人迷惑的。因为对于我们来说，数字是抽象概念，而事物是实际存在的。但我们已经得到了一种数字的抽象，而早期的毕达哥拉斯派并未做到。P4

由于现实可在感觉和实物中找到，因而柏拉图认为一匹马、一间屋或者一个完美的女子并不真的存在。现实只存在于马、房屋、女子的广为接受的形式或观念之中。永恒的知识只能从纯粹理想的形式中获得，这些思想实际上是永恒不变的。关于它们的知识是稳固而坚不可摧的。

早期毕派认为数字是事物内在固有的，而柏拉图认为数字超越了事物。P8

亚里士多德是个物理学家，他相信物质的东西是实在的主体的源泉。物理学乃至一般的科学必须研究现实世界并从中获取真理。真正的知识是从感性的经验通过直观和抽象而获得的，这种抽象不能独立于人的思维而存在。

亚里士多德的确强调从实物中抽象出的普世的一般的性质。为了获得这些性质，他认为我们应“从可知和可观察的事物出发，向着本质上可为人们认识的逐渐清晰的事物前进。”他抽取物体的明显的感性特征，使之具体化并上升为独立的精神上的概念。

在亚里士多德关于事物的分类方案中，把数字摆在什么地位呢？物理科学是基础科学，数学则从描述形式上的特征（如形状和数量）这方面来帮助研究。它也为物质现象中观察到的事实提供解释。例如几何说明光学和天文学提供的事实，算术上的比例关系能说明产生谐音的理由。但数学概念和原理肯定是从现实世界中抽象出来的，正因为如此，它们也可用于现实世界。思维使我们从感性认识获得实物的理想化特征，这种抽象必然是真实的。P9

希腊人明确地指出数学是处理抽象事物的。柏拉图在《共和国》中提及几何学家：你是否也知道，他们虽利用可见的形象并拿来进行推理，但他们想的并不是这些东西，而是类似于这些东西的理想形象：他们所看到的不是所画的图形，而是绝对正方形及绝对直径……。他们力求看到事物本质，而这只有用心灵之目才能看到。

因而数学首先处理点、线和整数等抽象概念。其他概念，如三角形、正方形和圆可以用基本概念来定义，而基本概念正如亚里士多德所说应该是不可定义的，否则就没有起始点。希腊人的精明之处表现在，他们要求被定义的概念应有现实的对应物体，或是论证得到或是构造得到。

为了推导出数学概念，希腊人从自明的、无人怀疑的公理入手。柏拉图用他的回忆理论证明了公里的可行性。正如我们面前提到过的，他认为存在一个真理的客观世界。人在出世前有过精神世界的经历，只要激发一下就可以回忆起以前的经历从而认识到几何学公理是真理，这并不需要实践。但亚里士多德并不是这样认为，他认为公理是可理解的原理，符合思维而没有什么可怀疑的。亚里士多德在《厚验分析》中指出，我们凭着绝对可靠的直觉认识到公理是真理，而且，我们必须以这些公理作为推导的基础。相反，如果使用了一些并未证明是真理的事实，下一步推理就需要证明这些事实，而这一过程是无限循环的，那么这就变成了永无止境的回退。他又区分了公理和公设，公理对所有思想领域皆真，包括“等量加等量还是等量”这样的命题。公设则适用于专业学科，如几何学。从而有，“两点决定一条唯一的直线”。亚里士多德也的确指出公设无需一望便知其为真，但应被其所推出的结果所支持。然而这种不证自得的真理是数学家所需要的。P11

从探求真理的观点来看，值得提及的是托勒密和欧多克斯一样，充分认识到他的理论只是符合观测结果的方便的数学化描述，而不一定是自然的真正设计。对于某些行星，他有几种可供选择的方案，他选择了数学上较简单的那个。托勒密在他的著作《大汇编》的第十三篇中说，在天文学上，人们应寻求尽可能简单数学模型。但托勒密的数学模型，被基督教接受为真理。P17

对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这些是上帝以数学语言透漏给我们的。——开普勒P22

中世纪欧洲的学者虽然是真理的孜孜不倦的探求者，却是到《启示录》和《圣经》中去寻找真理，因此中世纪的思想家没有为自然界的数学设计提出新的证据。然而，后来的中世纪哲学家确实承认自然行为的规律性和一致性，尽管这被认为是上帝的意志的结果。P24

然而，他们面临一个难题，希腊目标与当时盛行的文化产生了冲突。希腊人相信自然界的数学设计，自然界亘古不移地遵守某个理想的方案。而后来中世纪学者把所有的方案和行为都归于上帝，他是设计者和创造者，而且所有的自然界行为都遵循他制定的规则，宇宙是他的杰作，是他的意志的产物。文艺复兴时期及后续几个世纪的数学家和科学家都是正统的基督徒因而接受了以上宗旨，但是天主教学说中绝不会包括自然界的数学设计这样的希腊教条，那么怎样使试图弄清上帝的宇宙和探求自然界的教学法则和谐一致呢？答案就是再增加一条新教义，即上帝依照数学设计了宇宙，这样，以理解上帝的意愿和他的创作为最高宗旨的天主教教旨就以探求上帝对自然的数学设计的形式出现。P26

但开普勒也具备我们今天归于学者才有的那种品质，即近乎冷酷的理性化。他丰富的想象产生了新理论体系的概念，但开普勒明白理论必须与观察结果相一致，到了晚年他更清楚地意识到正是从经验资料提出了科学的基本原则，开普勒因此甘心放弃他最心爱的数学假设，一旦看到这种假设和观测数据不一致，他就以难以置信的固执拒绝容忍任一位当时学者都会忽略的偏差。这导致他可以赞成极端的科学思想。

开普勒确信存在自然的数学规律，这些规律的追求使他在错误的道路上上探索了多年。在《神秘的宇宙》一书的序言中，他说：“我企图去证明上帝在创造宇宙并且安排宇宙的次序时，看到了从毕达哥拉斯和柏拉图时代起就为人们熟知的五种几何正多面体，他按照这些形体安排了天体的数目，它们的比例和它们运动间的关系。”但是，以五个正多面体为基础建立起来的理论所推出的结论与观测的结果不一致，他花了极大的努力以改进了的形式去运用它，但最后还是放弃了这种方法。

第一条定律尤为著名，因为开普勒打破了两千多年的传统，即必须用圆或球来描述天体运动。P28

在这里，开普勒也迈出了极为大胆的一步，哥白尼和希腊人一直用的是匀速，即行星沿着它的周转圆运动等时间扫过相同的弧度，同时，每个周转圆的中心又在另一个周转圆或从圆上作匀速运动，但是开普勒的观测结果告诉他，行星并不以匀速绕其椭圆形轨道运动。

然后，开普勒对上帝大唱赞歌：“太阳、月亮和群星，用你们无法表达的语言赞颂上帝吧！天上的和谐，你应当理解上帝神奇的创造，给它唱赞歌吧！我的灵魂，你赞美造物主吧！造物主创造了一切，一切又存在于造物主之中，我们最了解造物主和我们虚幻的科学所创造的东西！”

哥白尼和开普勒都很虔诚，但他们都否定了基督教的一条核心教义，即人是宇宙的中心，上帝主要关心的是人。把太阳置于宇宙的中心，这就威胁了这个慰藉人类的教义，因为它使得人称为可能有的一大群漂泊于寒冷天空的流浪者之一，他不像是为了生前享受荣华富贵，死后荣登天堂，更不像是上帝施恩的对象。哥白尼抨击地球是宇宙中心的说法，他指出，宇宙是如此巨大以至于去谈论其中心是毫无意义的，但是这种逆耳之声在当时影响甚微。P31

尽管笛卡尔的哲学和科学观点背离亚里士多德主义及中世纪的经院哲学，但在一个基本的方面，他还是一个经院主义者：他从自己的心里得出关于存在和实在的本质命题，他相信有先验的真理，而理智本身的力量可以得到对一切事物的完整知识。这样，他在先验推理的基础上阐明运动定律（实际上他在生物学及其他一些领域的研究中作了一些实验，并且从中得出一些重要的结论）。然而，通过把自然现象归结为纯物理现象，他做了许多努力去剔除科学中的神秘主义和超自然力。P37

伽利略在1610年《试金者》中的论述非常著名：哲学（自然）被写在那部永远在我们眼前打开看得大书上，我指的是宇宙。但只有首先学会它的语言，把握了它的书写符号以后，我们才能理解它。它是用数学语言写成的，符号是三角形，圆以及其他几何图形，没有它们的帮助，人们一个字也读不懂，没有它们，人们就只能在黑暗的迷宫中游荡。P38

尽管伽利略是个数学教授而且是宫廷数学家，他的主要贡献是他在科学方法上的许多变革，其中，最著名的就是他的废除物理解释的主张——亚里士多德奉为科学的真正目标——而应去寻求数学描述。这两种目标的不同易于说明：一个物体落到地面，并且，事实上是以逐渐增加的速度下落的，亚里士多德及信奉他的方法论的中世纪科学家则力图解释引起它下落的原因，并假设是力学方面的。伽利略正相反，他仅用数学法则来描述下落，用现代数学记号来表述就是d＝16t² ，这里d指在t秒内物体下落的英尺数。这个公式一点也没说物体为什么下落，而且与人们想知道的有关这种现象的事更是风马牛不相及。然而伽利略确信我们要探寻的自然知识是可描述的。他在《两类新科学》中写到：“有关下落物体加速运动的原因并不是必然要研究的部分。”更一般的，他指出，他要研究和证明的是一些运动的性质而不考虑为什么会这样。正确的科学探索同所谓的寻求最后原因之类的问题要分别开来，而且物理原因的假设应该放弃。伽利略坚持向自然科学家提议：不要研究为什么会这样，而要讨论怎样定量描述。

对伽利略的这个方案的核心的第一反应即使在今天也许也是否定的，用公式来描述现象只能说是第一步，亚里士多德派好像实际上已掌握了科学的真正作用，这就是解释这些现象为什么会发生。即使笛卡尔也抗议伽利略的寻找描述性公式的决定，他说：“伽利略关于真空中落体所说的一切都是缺乏根据的，他应该首先确定重量的本质。”更进一步，笛卡尔说，伽利略应该思考终极原因。依照后来的发展，现在我们知道，伽利略追求描写的决定是关于科学方法论最深刻最有成效的变革。它的重要性，以后会更明显，就在于把科学置于数学的保护之下。

P39

然而，伽利略与希腊人、中世纪思想家和笛卡尔在获取基本原理的方法上截然不同。伽利略以前的人及笛卡尔相信基本原理出自心中，心只须对任何一类现象加以思考，就能得出基本真理。心的这种力量在数学中得到明证，像等量加等量结果仍相等，两点决定一条直线等公理，只要一想到数和几何图形，就会立即呈现出来，而且是毋庸置疑的真理。希腊人也确曾找出一些自明的物理原理，例如“宇宙中所有物体都应有自然位置”这条原理再恰当不过了。静止状态看起来显然比运动状态更自然，欲推动一个物体且使其保持运动，则必须用力，这似乎也是无可辩驳的。相信心能够提供基本原理，并不否认观测能帮助我们获得这些原理，但是观测只能唤起正确的原理。正如看见一个熟悉的面孔，就能想起有关那个人的事情一样。

伽利略认为，在物理学中，与在数学中相反，基本原理必须来源于经验和实验，获取正确基本的原理的方法应是注意自然说了什么而不是我们想了什么。P40

伽利略毫不怀疑一些上帝用来创造宇宙的真实原理可从心里推出，但在从经验出发的角度上，他允许对此持怀疑态度。P41

一种关于科学的，与上述哲学完全相反的哲学由伽利略所开创。科学必须寻求数学描述而不是物理学解释，而且，基本理论应由实验和根据对实验的归纳而得出。

伽利略先于牛顿探讨了物体的下落和抛物体的飞行，牛顿解答了一个更为深广的问题，一个1650年左右在科学家们脑海中占据最主要地位的问题：能否在伽利略的地上物体运动定律和开普勒的天体运动定律之间建立一种联系？

在实施他推导宇宙运动规律的计划的过程中，牛顿对代数、几何、尤其是微积分（见第六章）做出了许多贡献，而这些仅仅是为达到其科学目标的辅助工作。事实上，牛顿认为数学是枯燥和乏味的，只是表述自然定律的一种工具。他致力于寻找能导出一个统一地上物体运动和天体运动的定律的科学原理，幸运的是，正如狄德罗所说的，自然界把秘密告诉了牛顿。P44

就天体运动来说，牛顿真正的成就在于他证明了开普勒经过多年观测和研究得出的开普勒三定律可以由万有引力定律和运动三定律用数学方法推导出来。在牛顿以前关于行星运动定律的研究工作，曾被认为与地面物体运动无关，现在的结过则表明行星运动遵循与地面物体运动同样的规律。P45

在所有这些工作中，牛顿采纳伽利略的提议去寻求数学描述而不是物理解释。牛顿不仅将开普勒、伽利略、惠更斯的大量实验和理论性成果融汇起来，而且将数学描述和推导置于所有科学描述和预言之前。在他巧妙地命名为《自然哲学的数学原理》（1687年）一书的序言中，他写道：古人（如帕普斯所告诉我们的）认为在研究自然事物时，力学最为重要，而今人们则舍弃其实体化的形式和深藏的实质，而力图以数学定律说明自然现象。我在本书中致力于用数学来探讨有关的哲学问题。……因此我把这部著作称为哲学的数学原理，因为哲学的全部任务就在于从各种运动现象来研究各种自然之力，而后用这些力去推证其他现象。本书第一、第二编中的一些普遍命题就是为了这个目的而提出来的。……然后根据其他同样是数学上论证过的命题，从这些力中推演了行星、彗星、月球和海潮的运动。

很明显，数学在这里起了主要作用。

牛顿有充分的理由强调定量的数学定律来反对物理学解释，因为在他的天体力学中，核心概念是万有引力，而万有引力的作用根本不能用物理学术语解释，不管两个物体相距多么遥远，它们仍然相互吸引，这种万有引力的概念简直和亚里士多德派及中世纪的学者们为了解释科学现象而发明“质”的概念一样令人难以置信。这种概念尤其不能为牛顿的同时代人所接受，他们坚持力学的解释并且认为力只有在一个物体“推”另一个物体时才有可能发生。这种放弃物理机制而采取数学描述的方法震撼了甚至是最伟大的科学家。惠更斯认为万有引力的想法是荒谬的，因为这种超空间的作用不属于任何一种机械运动。他对牛顿没有根据而不厌其烦地只用万有引力的数学原理作那么多繁琐的计算感到吃惊。其他许多人，包括莱布尼茨，也反对万有引力的纯数学解释。莱布尼茨自1690年读完了牛顿的《原理》后就开始抨击它直至逝世。伏尔泰（Voltaire）1727年在出席了牛顿的葬礼后，调侃牛顿把一个真空留在了伦敦，又在法国找到了一个实空（Plenum），在那儿，笛卡尔的哲学仍然盛行。为解释“超距作用”而作的努力一直持续到1900年。

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