数学：确定性的丧失（二）

即使完全没有物理学解释，而仅仅依靠数学描述，牛顿也使得他那无与伦比的贡献成为可能。作为对物理学解释的替代，牛顿确实有一个有关重力作用定量的公式，这个公式既重要又实用，因此，在他的《原理》开篇中，牛顿说：“我在此只为这些力提供一个数学的概念，并没有考虑他们的物理因果。”在书末他又重复了这种思想：但是我们的目的，是要从现象中寻出这个力的数量和性质，并且把我们在简单情形下发现的东西作为原理，通过数学方法，我们可以估计这些原理在较为复杂情形下的效果。……我们说通过数学方法（着重号为牛顿所加），是为了避免关于这个力的本性或质的一切问题，这个质是我们用任何假设也确定不出来的。

在他1692年2月25日写给牧师本特利博士的信中，牛顿这样写道：至于引力是物质所内在的，固有的和根本的，因而一个物体可以穿过真空超距地作用于另一个物体，毋须有任何一种东西的中间干预，用以把它们的作用和力从一个物体传递到另一个物体，这种说法对我来说，尤其荒谬。我相信凡在哲学方面有思考才能的人决不会陷入这种谬论之中。引力必然是由一个按一定规律行事的主宰所造成的，但是这个主宰是物质的还是非物质的，我留给读者自己去思考。

尽管有牛顿在数学上的成功，但物理机械论的久不出现依然困扰着科学家们，然而他们想得到这样一种物理机械论的努力一直没有实现。贝克莱（Bishop George Berkeley）在他的对话《艾西弗伦》（Alciphron，1732年）中阐述了以下观点：

（尤弗拉洛简记为尤，艾西弗伦简记为艾）。

尤：……我请求您，艾西弗伦，不要被那些术语所迷惑，把力这个字放一边吧，把其他任何事情从你的思想里去除，然后看你对力有什么明确的见解。

艾：力是存在于能发生运动和其他可知后果的物体中的东西。

尤：那么力与那些后果是截然分开的吗？

艾：是的。

尤：那我们现在很高兴不用考虑力的主体和后果，而只须考虑力本身的准确概念了。

艾：我认为事情并非如此简单。

尤：看来你我都不能用自己才智范围内的语言构造一个力的概念，因为人的思维和才能如此相似，那么我们可以设想其他人也不会有比我们更好的想法了。

牛顿确实希望引力的本质能为人们探究和知晓，但事与愿违，没有人能解释引力是如何作用的，这种力的物理真实性从未得以证明，而只是人类能力试图影响这种力的一个科学幻想。然而，由定量定律得到的数学结论被证明是如此有效，以至于这种方法被认为是自然科学的一个整体部分。科学所做的就是牺牲物理上可解释性而得到数学上的可描述性和可预测性。

17世纪的成就常被概括为数学物理学家们构造了一个像机器一样运转的力学世界。当然，如果力学仅仅是指通过作用在微粒及它们的延展而成的物体上的力，用重性、浮性、共振和前面所提及的一些概念解释所产生的运动，那么，亚里士多德及中世纪的科学家们的科学也是力学。然而，17世纪的人，尤其是笛卡尔及其追随者，摒弃了前人用以解释运动的质量多元性的假设，而将力限定为物质的、明显的：扔出一个物体必须有重量或力。可以称这种牛顿以前的物理学为物质物理学，数学可以描述它但数学不是根本。

牛顿力学和他以前的力学的本质不同不只在于引入了数学来描述物体的状态，数学对物理学的帮助也不只因为它是一种更方便、更简洁、更清晰、更普遍的语言，而是因为它提供了最基本的概念。重力只是一个数学符号的名称，力可以是使物体产生加速度的任何东西。力本身的性质在物理上也许是不可知的，因此牛顿谈到而且使用了向心力和离心力的概念，尽管他并不知道这些力的机制。

在牛顿力学中甚至质量的概念也是虚构的。确切而言，质量是物质，而物质却如同塞缪尔所“证明”的像踢一块石头一样真实。对牛顿来说，质量最基本的性质是惯性，其意义已在第一运动定律中表述，即若一个物体处于静止且不受力作用时，它将继续保持静止；若它处于运动状态，则它将作匀速直线运动。为什么是直线而不是曲线呢？伽利略将惯性运动理解为曲线运动。那么，为什么会是匀速运动呢？如果没有力的作用，物体为什么总保持静止或做匀速运动呢？如果没有力的作用，物体为什么总保持静止或做匀速运动？惯性是一个虚构的概念，并非实验事实，质量不可跟所有的力分开。牛顿运动定律中唯一具有物理真实性的部分是加速度，我们可以观察并度量出物体加速度的大小。

但牛顿终于放弃了物理的解释，他用数学概念及量化了的公式，还有能导致公式的数学推导重铸了整个17世纪的物理学。牛顿的光辉业绩呈现给人类一个崭新的世界秩序，和一个用一套普遍的，仅用数学表述的物理原理控制的宇宙。这是一个包括了石头下落、海洋潮汐、行星及其卫星运动、彗星挑战性的大尾巴以及恒星辉煌庄严的运动的宏大的规划。牛顿这个规划使世人折服：自然界是依数学设计的，自然界的真正定律即数学。牛顿的《原理》是物理解释的墓志铭。拉普拉斯曾说过，牛顿是最幸运的人，因为只有一个宇宙，而他成功地发现了它的定律。P50

虽然如我们所说，单纯依赖于不被物理解释所支持的数学公式，牛顿也颇感不安，但他不仅接力提倡他的关于自然哲学（物理学）的数学原理，而且确信其是他所描述的现象的真正解释。他为何有这种信念呢？原因是，正如他那个时代的所有数学家和科学家一样，牛顿相信上帝创造的世界与数学原理相吻合。最具说服力的是牛顿在《光绪》（1704年）中，有关上帝作为宇宙框架构造者而存在的一段经典论述：

自然哲学的主要任务是不作虚构假说而从现象来讨论问题，并从结果中导出其原因，直到我们找到第一个原因为止，而这原因一定不是机械的。……在几乎空无一物的地方有些什么？太阳和行星之间既无稠密物质，它们何以相互吸引？何以自然界不作徒然之事，而我们在宇宙中看到的一切秩序和美丽又从何而来？出现彗星的目的何在，并且何以行星都是一样在同心的轨道上运动，是什么在阻止一颗星下落到另一颗的上面？动物的身体怎么会造得如此巧妙，它们的各个部分各自为了哪些目的而设？没有光学的技巧，是否能造出眼睛，没有声学知识，是否能造出耳朵？身体的运动怎样依从意志的支配，而动物的本能又从何而来？……这些事情都是这样井井有条，所以从现象来看，是否好像有一位没有形体的、活的、最高智慧的、无所不在的上帝，他在无限空间中，像在他的感觉中一样，仿佛亲切地看到形形色色的事物本身，深刻地理解并全面地领会它们，因为事物就直接呈现在他的面前？

在他的《原理》第三版中，牛顿回答了他自己的问题：

太阳、行星和彗星这个最美丽的系统只能开始于一个有智慧、有能力的人的圣旨和支配。……这个人统治了天下万物，他不仅是世界的灵魂，而且是一切的主宰。

牛顿也确信，上帝是一个全能的数学家和物理学家。他在一封1692年12月10日给理查德·本特利的信中写道：

为了形成（宇宙）系统及其全部运动，就得有这样一个原因，它了解并且比较过太阳、行星和卫星等各天体中的质量以及由此确定的重力，也了解和比较过各个行星与太阳的距离，各个卫星与土星、木星和地球的距离，以及这些行星和卫星围绕这些中心体中所含的质量运转的速度。要在差别如此巨大的天体之间比较和和谐所有这一切，可见那个原因绝不是盲目的和偶然的，而是非常精通力学和几何学的。

科学将揭开上帝辉煌设计的秘密，牛顿在给本特利的同一信中开头如此表达自己的观点：“在我撰写关于我们系统（译注：指太阳系）的著作（译注：指《原理》）时，我曾着眼于这样一些原理，用这些原理也许能使深思熟虑的人们相信上帝的存在；而当我看到它对这个目的有用时，可以说没有别的什么东西能使我更加高兴了。”牛顿还有许多类似这样的信件。

牛顿对宗教的兴趣是他进行数学和科学研究的真正动力。他相信基督教的教义就是上帝的启示，上帝是所有自然力和万事万物存在与发生的原因，神的意志、引导、控制无所不在。从他青年时代开始，牛顿就做过严格的有关宗教方面的研究和解释工作，他的后半生也全部献给了神学。在他的著作《对丹尼尔的预言和圣约翰的启示录的观察》（1733年）和《古代王国编年史修订本》残存的数百页手稿中，他试图确定《圣经》事件年表。虽然科学研究本身就是要从神秘和超自然中解放出来，但牛顿认为科学也是崇拜上帝的一种形式。牛顿为自己的工作揭示了无所不在的上帝之秘密而倍感欣慰。他重视加强宗教的基础远胜过重视数学和科学成就，因为后者只不过是展示了上帝对宇宙的设计而已。他经常为自己那艰难有时甚至是枯燥的工作辩护，因为这些工作通过提供上帝安排宇宙秩序的证据支持了宗教，他就像拜读《圣经》一样虔诚地工作。上帝的智慧可以通过展示宇宙的结构而被证明，上帝也是天下万事发生的原因，奇迹只是上帝常规活动之外的即兴创作。上帝偶尔也必须修正一些小纰漏，正如钟表匠修理钟表那样。P53

拉普拉斯实际上将他的全部生命献给了天文学，他将他所涉猎的每一个数学分支都应用于天文学。众所周知的一个事实是，他在他的著作中经常省略一些困难的数学步骤，并且说：“易知……”这说明他实际上对数学细节并无耐心，而只管应用。他对数学的许多基本贡献只是他在自然科学的伟大工作中的副产品，而由别人发展起来的。P55

培根早就在他的《新工具》中写道：一个群体的观念是与生俱来的，与群体和种族关系甚密。因而人的感觉有时错误地被当作事物的标准。另一方面，所有感觉上的或是心智上的领悟力，依赖于人而不是宇宙。而人的心智就像不平坦的镜面，把自己的性质转赋给了事物。光线原由事物发出，而镜子使之扭曲变形。

在同一部著作中培根倡议用经验和实验作为所有知识的基础，他写道：

推理建立起来的公理不足以产生新的发现，因为自然界的奥秘远胜过推理的奥秘。

是什么导致了上帝在设计宇宙中作用的削弱，即使是最忠实的信徒也会无意地在这个问题上发生分歧。P65

有个著名的故事说，拉普拉斯把他的《天体力学》呈献给拿破仑时，后者说：“拉普拉斯先生，他们告诉我，你写了这本关于宇宙系统的书，却根本没有提到它的创造者。”据说拉普拉斯是这样回答的：“我不需要这种假说。”P66

休谟对物质持同样的怀疑态度。谁能保证有一个永远存在的实物的世界，所有我们能够知道的只是我们对这样一个世界的感觉。重复地感知一张椅子并不能证明这椅子确实存在，时间和空间只是我们产生概念的方式和顺序，同样的，因果关系只不过是概念在习惯上的一种联系而已。无论是时间还是空间，或是因果关系，都不是客观实在，我们被自己的感知能力所迷惑，因而相信了这样的实在：存在一个有确定属性的外部世界。这实际上只是一种无根据的推论，知觉的产生是不可理解的。我们不知道，它是来自于外部事物、心灵深处还是上帝。P68

最初高斯似乎得出数学中没有真理的结论，在1811年11月21日写给贝塞尔的一封信中他说：“我们不该忘记，（复变）函数与其他所有的数学构造一样，只是我们自己的创造物，因此当我们由之开始的定义不再有意义的时候，我们就不应当再问它是什么，而应该问，如何做出合适的假设，使它继续有意义。”但没有人乐意放弃囊肿宝物，高斯显然是重新考虑了数学的真理问题并找到了立足的根据。在1817年写给奥伯斯（Heinrich W. M. Olbers）的一封信中，他说：“我越来越相信，我们的（欧几里得）几何的（物理）必然性是不可证明的，至少不能靠人的推理能力来证明，人的理性也不需要去证明它。也许来世我们将能获得现在所不具备的对空间本质的一种洞察力。而到那时我们已无需将几何与算术置于同一地位，后者是一种纯粹的先验知识，现在我们只能将几何与力学相提并论。”高斯与康德不同，他没有把力学定律视为真理。其实他和大多数人都接受了伽利略的观点，即这些定律是基于经验的。1830年4月9日，高斯写信给贝塞尔说：按照我最深的信念，在我们先验的知识中间，空间理论与纯粹算术占有完全不同的地位，在我们关于空间理论的全部知识中，对作为纯粹算术的特征的必然性（即绝对真理）缺少完全的信念，我们还必须谦卑地说，如果数仅仅是我们思维的产物，那么空间在我们的思维之外有其实在性，它的法则我们不能完全先验地规定。

高斯是在说明，真理存在于算术中，因此也存在于建筑在算术之上的代数和分析（微积分及其扩展）中，因为算术的真实性对我们的心智来说是明显的。P82

显然，数学家们将基于有限的经验显得正确的命题作为公理，并错误滴地相信了它们是自明的。

非欧几何及其隐含的关于几何真理性的内容逐渐被数学家们所接受。但并不是由于它的适用性的任何论据被加强了，而是正如普朗克（Max Planck），这位量子力学的奠基人在本世纪初所说的：“一个新的科学真理并不是靠说服它的对手并使其看见真理之光取胜，而是由于它的对手死了，新的一代熟悉它的人成长起来了。”P83

这种用复数来表示平面上的向量及其运算的方法到1830年时已经差不多是众所周知的了。然而，如果几个力作用于一个物体，则这些力及其向量表示不一定通常也不会总在同一个平面上。如果为了方便起见将通常实数称为一维数，复数为二维数，那么，要用什么来表示空间中某种三维数的向量及其代数运算呢？人们希望对这种三维数进行的运算，类似于复数的情况，将必须包括加、减、乘、除，而且必须满足通常实数和复数所具有的那些性质。这样代数运算才能自由且有效地使用。于是，数学家们开始寻找一种称为三维复数及其代数的数。

有许多数学家从事了这一问题的研究。1843年，哈密尔顿提出了一个有用的复数的空间类似物，哈密尔顿为此困惑了15年。那时数学家们所知道的所有的数都具有乘法的交换性，即ab=ba，因此哈密尔顿很自然地相信他所找的三维数或三元数，也应该具有这一性质以及其他实数和复数具有的性质。哈密尔顿终于成功了，不过他被迫做出了两点让步。首先，他的新数包含四个分量，其次，他不得不牺牲了乘法交换律。这两个特点对代数学来说都是革命性的，他把这种新的数叫做四元数。

四元数的引入给了数学家们又一次震动。它是一个确确实实有实际用途的代数，却不具备所有实数和复数都具备的基本性质，即ab=ba。

四元数的引入给了数学家们又一次震动。它是一个确确实实有实际用途的代数，却不具备所有实数和复数都具备的基本性质，即ab=ba。

哈密尔顿发明四元数后不久，从事其他领域研究的数学家们引入了更奇怪的代数。著名代数几何学家凯莱引进了矩阵，它是矩阵或正方形数组。对它们也可进行通常的代数运算。但是如同在四元数中的情形一样，它也没有乘法可交换性。而且即使两个矩阵都不为0，它们的积也可能为0。四元数和矩阵只不过是许多性质越来越奇怪的代数的先驱。格拉斯曼（Hermann Gunther Grassmann）发明了许多这样的代数。它们甚至比哈密尔顿的四元数还要一般化。

为了特别的目的而创建的这些新代数本身并没有向普通的算术及其扩展在代数和分析中的真理提出挑战。毕竟，一般的实数和复数可用于完全不同的目的，它们的实用性是无可置疑的。然而，新代数的出现使人们对熟悉的算术和代数中的真理提出了质疑，正如接受了新的文明的习俗的人开始反省他们自己。

对算术真理的最严重的打击来自于亥姆霍兹（Hermann von Helmholtz），他是个卓越的物理学家、数学家和医生。在他的《算与量》（1887年）一书中，他认为数学的主要问题是算术对物理现象的自适应性的证明，他的结论是只有经验能告诉我们算术的法则能用在哪里，我们并不能肯定一条先验公式是否在任何情况下都适用。

亥姆霍兹考虑了许多相关的问题，数的概念本身来自于经验，某些经验启发了通常类型的数：整数、分数和无理数及其性质。对于这些经验，熟悉的数是适用的。我们认识到存在确实相等的物体，因此我们可以说，例如，两头牛。然而，这些物体必须不能消失、混合或分割。一个雨滴与另一个雨滴相加并不能得到两个雨滴。甚至相等的概念也不能自动地用于经验。看起来如果物体a=c而b=c则一定有a=b。但是有可能两个音听起来都与第三个音相同，而耳朵却可以区别出前两个音。这里与同一事物相同的事物并不相同，同样地，颜色a和c看起来都和b相同，而a和c却是有区别的。P88

我们怎样才能由两次比赛各自的平均击中率求得这两次比赛的平均击中率呢？答案是用一种新的分数加法。我们知道联合的平均击中率是5/7，而单场比赛的击中率分别是2/3和3/4，我们看到如果把分子和分母对应相加得到新的分数，这就是正确答案，即2/3+3/4=5/7，假设这个加号意味着分子相加和分母相加。P88

这些可以称之为棒球算术的例子确实说明可以引进与以前我们熟悉的运算不同的运算，这样就创造了一个实用的算术。事实上也确实存在许多其他的算术，然而，一个真正的数学家绝不会凭一时的兴致去发明一种代数。一种代数总是为了表示一类物理世界的现象而创造的，正像我们上面的分数加法适用于两次击球平均率的合成。我们可以通过定义适合于这类物理现象的运算很方便地对物理世界发生的事情进行研究。只有经验能告诉我们普通的算术何处可应用于给定的物理现象，这样就不能说算术是一定适用于物理现象的一个真理体系。当然，由于代数和分析是算术的延伸，它们也不是真理体系。

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