自然数体系的构造性原理（二）

2.2、自然数系统是由“组合码”和“元序列码”两部分合成的

自然数符号体系并不是无逻辑的随机组合，而是一套无重、无遗漏的，有规律的组合编码体系。若不明确指出自然数符号体系的组合规律，就会出现本文开头所说的“8，9的后继是“10”还是“01”说不清的情况（实际这两种组合都可以[10]）。

从符号组合角度看，任一自然数符号系统，都可视为是“组合码”和“元序列码”两部分的合成。所谓“元序列码”，就是元序列中的符号，元序列码只能固定在末位，除了末位上的元序列码，其它各数位上的符号合在一起统称为“组合码”(单符号态的自然数，组合码是元序列中的空位号，例如十进制数3的组合形式是“03”），以十进制自然数“5692”为例，它是由组合码“569”和右侧末位上的元序列码“2”两部分组合而成。以二进制数“101”为例，这个数是由组合码“10”和元序列码“1”组合而成。

组合码不像元序列码是现成的、固定的，是在构造过程中即时生成的。构造初始，以元序列码作为组合码，元序列码作为组合码逐个用完后，会在已构造出的自然数序列中生成一组组合码序列，然后再用组合码序列中组合码依次、继续与元序列码组合，接着继续造数。

（提示:为了直观观察组合码的组合构造作用，下文开始用黑体对组合码加黑，元序列码不作任何标记。）

三、自然数符号体系的构造性原理

交代完了元序列概念以及派生的组合码、元序列码等概念，就可以通过这些概念直观地讲解自然数及其序列构造的符号组合规律了。

自然数及其序列的构造方法、步骤：先用元序列中排首位的符号作为组合码和元序列中的所有符号依次左右组合并按序排列，然后再用元序列中的第二个符号作为组合码与元序列中的所有符号依次组合并依次承接排列，如此按顺序递进操作，直到元序列中的所有符号都两两组合穷尽后（例如99₁₀之后），再用承接在元序列之后出现的第一个真正意义上的组合态的自然数（例如10₁₀）及其后继自然数序列（例如11₁₀，12₁₀，…），依次作为组合码，继续与元序列中的元序列码组合并承接排列，如此递进操作，并可依次生成所有自然数个体及序列。

（说明:以上给出的是“左组合码+右元序列码”的组合模式，也是当前通用的十进制数的组合模式，“左元序列码+右组合码”也可以构造数体系[9]。若按”左元序列码+右组合码”模式，8，9的后继数是“01”[9]。）

3.1、阿拉伯数字的十进制数序列的构造过程讲解

阿拉伯数字的十进制数元序列是〈0，1，2，3，4，5，6，7，8，9〉，我们按以上给出的自然数符号体系的构造方法，先用以上符号依次作为组合码分别与以上所有符号作左右组合排列（执行“左组合码+右元序列码”组合模式），第一批次组合可得00，01，02，03，04，05，06，07，08，09；第二批次可得10，11，……18，19；……。当元序列中最后一个符号9与9组合完毕后（即99后），根据上文给出的组合步骤，再用承接在元序列之后出现的第一个真正意义的组合自然数“10”及其后继序列11，12，……依次作为组合码，继续与元序列码组合并承接排列:……99，100，101，……998，999，1000，1001，……。

根据组合规律不难看出，元序列符号的个数决定了组合码的使用次数，10进制数序列的组合码是”10次一换”，若构造30进制数体系，组合码应30次一换。

也不难看出，不论构造多少进制的数，元序列码都是组合1次换1次，元序列码可以尾首相连无限次循环使用。

结合十进制的机械式号码机（图4），更容易理解元序列码的性质、作用。

（图4），这是8位的号码机，该号码机的每个数位上都有0～9十个符号，0～9十个符号在圆形滚轮上均匀分布、首尾相连（与底座的垂直面是数的显示面）。按压一次“N O”按钮，靠近按钮的个位上的滚轮就向前转动一格，当个位上9→0时，号码机设计好的物理结构会让十位上的滚轮片和个位上的滚轮同步向前转动一格，共同完成“进1”步骤。

3.2、本构造论给出的构造方法是通用的

但凡结构紧凑、大小合适的字符都可用于构造数体系，譬如我们可以把26个小写英文字母和10个阿拉伯数字符号共36个符号排成一个元序列，用这个元序列构造一套36进制的数体系。

具体步骤:先列出元序列，然后按本文第三章节给出的组合构造方法，构造出这套36进制数的部分数序列。数序列是数体系中的数从小到大、依次、逐个构造形成的，所以构造数序列实质就是在从小到大构造这套数体系中的每个数。当然，构造数序列也是有现实用途的，数体系的加、乘关系式表建构离不开该数体系的数序列。譬如我们以元序列〈a， b ，c ，d， e， f ，g ，h， i， j ，k， l ，m ，n ，o， p ，q ，r ，s， t ，u ，v ，w ，x ，y ，z，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9〉构造36进制数，当我们建构这套36进制数的加法关系式表时，并不能直观看出w+2等于多少，我们只能通过这两个符号所在的位置查找出它们各自指代的基数，查找可知，符号w指代的基数是（||…|₂₂），符号2指代的基数是（||…|₂₈）。然后我们并可通过累加法得出w+2的和是（||…|₅₀），知道了w+2的和是（||…|₅₀），但我们并不知道基数（||…|₅₀）对应这套36进制数中的哪个数（某个组合型态），所以我们必须先构造出这套数体系的数序列，并依次列出数序列中的每个数对应的基数，这样才能建构这套数的加、乘关系式表。通过观察此36进制数的数序列可见，基数（||…|₅₀）与组合“b o”指代的基数是对应的，因此得知w+2=b o（||…|₅₀）。采用原始的计数方法建构的关系式表理论上是可靠的，但是由于计数过程可能会出现错漏，因此需要多做几次实践（关系式表是一次性建构的，一劳永逸），我们也可以通过十进制数关系式表对36进制数的关系式作验证:b指代的基数是“|”，根据进制位权理论，在36进制的1次方数位上的“|”，相当于0次方数位上的（||…|₃₆），加上0次方数位上的符号“o”指代的基数（||…|₁₄），所以”b o”表示的基数是（||…|₅₀），证明我们通过累加法获得的关系式“w+2=b o”是正确的。

由上所述可见，构造一定长度的数序列对于构造一套新数体系是必要的。当然，数序列并不需要无限构造下去，只需要构造到能够满足建构乘法关系式表涉及到的最大数即可（竖式运算是位对位的，所以只需要以数位上最大位值为最大数）。譬如十进制数的乘法关系表涉及的最大数是81₁₀（9×9=81），所以十进制数序列的长度至少要构造到第81位，构造36进制数，数序列至少要列到第1225₁₀位（35×35=1225）。

为了增强本构造论方法、步骤的具体性，本文这里用英文小写字母前6个构造一套6进制数序列的前42个数（36进制数所用字符太多，也不容易直观看出组合规律，所以这里以六进制为例）。

先列出元序列〈a， b ，c ，d ，e， f〉，然后按上文给出的构造的方法、步骤，依次组合构造此6进制数序列。

aa（0），ab（1），ac（2），ad（3），ae（4），a f（5），ba（6），bb，bc，bd，be，bf，ca（12），cb ，cc，cd，ce，cf，da（18），db ，dc ，dd ，de，df，ea（24）， eb，ec，ed ，ee，ef，fa（30），fb，fc ，fd，fe，ff，baa（36），bab，bac，bad，bae，baf，bba（42），……。

有了足够用的数序列，我们就可以按本文2.1.5、2.1.6章节阐释的原理方法，建构出这套6进制数体系的加、乘关系式表，加法关系式表和乘法关系式表建构完毕，就可以用这套数体系记数或做算术运算了。用这些数作四则运算以及乘方、开方运算，就会产生这套6进制数的负数、无限循环小数或者无限不循环小数。

四、本构造论的学术意义阐发

本文提出的自然数体系构造论（下文简称为“本构造论”），能够被各种构造实践验证，本构造论揭示的规律是科学的、事实的，因此我们认为，可以把本构造论的学术意义作进一步的阐发与推广。本构造论的学术意义主要体现在以下几个方面。

4.1、用本构造方法论可以程序化构造高进制数体系

我们知道，进制数越高，数体系的记数功能和计算能力就越强大，随着人类的科技发展，未来人类在某些领域使用高进制数及高进制计算机完全有可能。从信息与计算科学角度看，只有熟练掌握自然数体系的符号组合原理，才能快速、准确构造各种符号、各种进制数的数体系。运用本文提出的元序列等概念以及自然数符号体系的组合构造方法、步骤，可以在电脑上程序化地快速、准确构造各种高进制数的数序列，本构造论及其方法论显然为未来构造高进制数体系以及制造高进制计算机打下了理论基础。

4.2、本构造论对自然数的自然性溯源

本文中的“符号”一词是广义的，泛指一切具有空间轮廓的形相物个体。二维空间中的图形、字符，以及三维空间中的人、房屋、树木、动物等形体物，都有封闭的空间轮廓，都是本文中的符号一词的外延所指。由符号的定义可见，当我们以观察一维符号序列中的某个符号系统指代的基数为目的时，排列在电脑、纸张等二维平面上的字符号，与在三维空间中排成一排的实物符号，是可以互相映射、互相取代的。譬如笔者用图样符号指代自然界实物构造一个三维空间中的一维序列（见图5），

（图5）

再用纯字符在二维的纸张或电脑屏幕上构造一个一维序列〈猪，鸡，狗，牛〉

当我们从左边观察序列中的“狗”或“牛”所在的序列点位置以及各自表征的基数时，这两个符号序列显然可以互相取代。

至此不难想到，如果我们把当今人类通用的自然数体系中的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个基础数符号作为一个一维符号序列，然后与自然界中排成一排的九棵树以及一个起点号a作一一对应后（a点与符号0的位置对应），它们也是可以互相映射、互相取代的。

这样我们既可以把1～9九个符号视为三维空间中的九棵树（或者排成一排的9间屋、9个人、9根手指），当然，也可以反过来把九棵树视为二维平面上横排列的九个自然数符号1～9。

若把1～9九个符号当作三维空间中的九棵树理解（为了增加视觉识别性，我们可以把这九棵树依次刷上黑色、红色、绿色等颜色增强标识度），这九棵树就相当于当前十进制自然数体系中的自然物部分（三维物），承接在元序列〈0，1，2，3，4，5，6，7，8，9〉之后的10，11等，则是通过纯字符在纸张等平面上组合“虚构的树”（二维物）。这样，我们并获得了当前十进制自然数体系的自然来源的解释:0（序列的起点、人的视觉观察点a）→1（黑树），→2（红树）…，→9（绿树）→10（用字符组合虚构的树），→11（虚构的树），……。

由上所述可见，我们人类基于一个及以上的形体物，就可构造出一套数体系，人类历史上之所以普遍采用的十进制计数，实际上与人的10根手指并没有必然性的因果关系，而是概率性的巧合，是偶然的。偶然性、巧合性在于:上古人类是以实物个数为数的，所以没有表示“没有”的数，于是人的十根手指恰巧与后来的带有空位号的10进制数产生了认识上的巧合，导致人们产生错觉，以为10进制数的自然基础是人的10根指头（若以人的两双手指头作为自然基础构造数，只能把一只手的大拇指弯曲起来作空位号、起点号处理，这样才能与其它九根指头一起构造10进制数）。实际上五根手指、六间屋子、七棵树等都能作为数体系构造的自然基础，10进制最终被人类选择，实际上是多种误解导致的巧合。

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