勾股定理不可公约数

毕达哥拉斯对数学的深入研究，特别是勾股定理的探索，直接导致了无理数的发现。

毕达哥拉斯学派发现了一个著名的几何定理——勾股定理，即在直角三角形中，斜边的平方等于两腿的平方和。即，如果c 是斜边， α和 b 是两直角边，则有：

c²＝α²＋b²

然而，在等腰直角三角形中：c²＝2α²

毕达哥拉斯学派原本坚信所有数都可以表示为两个整数的比例（即分数）。然而，当他们尝试将√2 表示为分数时遇到了困难。假设存在整数 m 和 n ，使得：

m

√2＝─

n

推出：2＝m²/n²

2n²＝m²

这里的关键在于显示 m 和 n不能同时是无公约数的整数。

从2n²＝m²可知， m² 是偶数，因此 m 也是偶数，设 m＝2k ，代入得：

2n²＝(2k)²＝4k²

n²＝2k²

这表明n² 也是偶数，因此 n 也必须是偶数。如果 m 和 n都是偶数，它们至少有2作为公因数。因此，原先假设的√2 能表示为两个无公约数整数的比例是不成立的。

结论：这个发现表明了存在一类数（即无理数），它们不能用任何两个互质的整数的比例来表示。这不仅展示了数学中的一个重要概念——无理数，也是“不可公约数”概念在理解数的本质中的应用。毕达哥拉斯的这一发现揭示了数学世界的一个新层面，即不是所有的数都可以被简化为最简分数形式，有些数本质上是“不可约的”。这对后来的数学发展产生了深远的影响。

谬误是如何推进科学发展的？

毕达哥拉斯学派在数论和勾股定理上的矛盾确实可以看作是由一种谬误导致的，这种谬误源于他们的基本信念——所有数都可以表达为两个整数的比例，即有理数。这个信念最终与他们通过勾股定理发现的数学现象发生了冲突，导致了对无理数存在性的认识，这可以被视为一个哲学上的转折点。

在这个情况下毕达哥拉斯学派的谬误可以分类为概念谬误或先验假设。他们先入为主地认为所有数都可以用有理数表示，这个假设没有经过严格的验证就被接受了。这种假设限制了他们对数学真理的完全理解，直到他们的实际发现（ √2无法用有理数表示）与这一信念发生冲突。

这个例子展示了科学发展中一个重要的特征：即索的核心动力。使是基于错误的理论或信念也可以通过科学方法和实证检验而导向新的真理。这种通过纠正谬误而获得新知的过程是科学探索问题。

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