无穷公理解释

直观的理解：

ZF系统下的所有集合都是由空集通过使用序数次造集公理而得到的，也就是所谓的良基宇宙，而在所有的造集公理中，只有无穷公理的造集方式涉及到了无穷（准确地说，是只有无穷公理涉及从有穷构造无穷）。回想一下其他的造集公理，只有并集公理和幂集公理增加集合的基数的，而这两条公理的特点都是，如果原集合是有穷的，那么得到的新集合也是有穷的。而无穷公理则不同，它允诺了最小的无穷集，即归纳集的存在，因此我们才有了谈论无穷的起点。

关于如果存在比可数无穷大或小的基数：

可数无穷是最小的无穷，因为对于无穷最基本的直观要求是，不可以被穷举，因此对任何无穷集，必定存在自然数集到该集合的单射，因而不存在比可数无穷更小的无穷（当然可以通过公理强行构造一个特设的，强行小于可数无穷的基数，但如此一来基数将不是全序的，康托尔-伯恩斯坦定理也失效，因此这个系统是相当糟糕的）。

至于绕过可数无穷，直接允许一个更大的基数存在（比如允许可数无穷的幂集存在）的问题在于，只要我们坚持无穷的直观定义，那么对于任何的无穷集，必然存在一个可数无穷的子集，由分离公理模式，这一个子集是集合，而这个子集和归纳集又是双射，由替换公理模式，归纳集是集合，这与无穷公理的否定是矛盾的。

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