数学微分几何

梁老师的书很经典，他的视频里曾经说过，在某种角度克氏符可以看成张量，具体怎么看我忘了，书上应该有，但是通常导出的联络系数Γⁱⱼₖ 不是张量，因为它的坐标变换有两项，只有与新坐标系的联络系数相乘的那一项才是符合张量变化规律的，后面的那一项不是，然而它消不掉，因此联络系数不是张量。

这其实就是一个视角问题，应用的意义不大，联络主要是定义协变导数从而定义曲率张量，进而表达弯曲的曲面。根据现代微分几何的观点，联络比度量要基本，度量应该知道吧，度量张量gᵢⱼdxⁱ ⨂ dxʲ ，我们一般只取它的系数，也叫度量张量。但作为专业学这东西的学生，心里应该记着，它是有基底的“二阶向量”。在几何里，它叫基本张量或者曲面第一基本系数；在广相里，它叫引力场。联络系数Γⁱⱼₖ 被称为克氏符，当且仅当它能写成度量的微分表达式：

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Γⁱⱼₖ＝─ gⁱˢ(∂ⱼgₖₛ＋∂ₖgₛⱼ – ∂ₛgⱼₖ)。

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联络之所以基本是因为我们可以采用不同的度量去测量一个空间，但是在某个给定的微分流形下，与某个给定度量相容的联络并不总是存在，尤其是无挠的联络。“挠”是挠率，这个东西很重要，不是它存在重要，而是它不存在才重要，无挠率的联络是对称的，与度量相容的联络是可以用度量表示的，但，更重要的是，挠率如果存在，空间是不能“局部平直”的，广义相对论要求空间局部平直，否则，流形一点处的邻域就不能同胚于一个欧氏空间了，那么等效原理在一点的邻域将失效——因为点的邻域如果不是在是平直的欧氏空间，等效原理就不能把一点处的引力效应转化为惯性效应了【惯性系是平直的坐标系或参考系】。几何上你可以考察挠率不为0的联络，允许挠率存在的那个背景空间叫“仿射联络空间”，然而，当我们赋予该空间以黎曼度量时，它就变为了黎曼流形，按黎曼几何的基本结构——度量的微分二次型——它有唯一的与度量相容的无挠的联络，即你学的克氏符，它可以写成度量的微分表达式。因为广相被实验证实且至少在实验可检测的角度，我们所在空间的挠率无限趋于0【按赵峥老师的话说，挠率即使存在要么是内部的，要么是代数形式——不能传播，否则如果质量引起空间“有挠弯曲”——扭曲，那么广相的结论是不成立，但是实验是支持广相的，因此否定挠率大范围存在且传播】，所以我们的数学和物理倾向于广相与黎曼几何，而不是带挠率的那种联络和几何。

另外，只有确定了联络和度量的关系，我们才能建立某个流形上真正的几何而不只是拓扑，因为如果空间本身是弯曲的，我们需要一种沿着弯曲空间走的“直线”，从而测定两点间的距离，这是依赖于平行移动的，也就是定义协变导数，本质上就是确定联络。

记得我之前写过一个类似的回答，古典几何的和现代几何的区别主要是三点：一个独立性，一个复杂性，一个是整体性。

独立性就是内蕴性。古典微分几何是欧拉开启的，他用微积分的方法研究几何问题，用法截面去切曲面从而考察曲面的弯曲情况，但是法截面的存在其实是默认由一个背景空间可以让它们存在的。现代微分几何不需要假设有背景空间装着某个曲面，被研究的曲面本身就是空间，我们的坐标系都是直接选择“贴合”曲面的，就像地球的经纬网而不是笛卡尔坐标系。平行移动可以帮助我们识别空间是否弯曲，指标就是联络，一旦它与度量相容就是内蕴量，与外在空间无关，从而直接表征曲面本身的弯曲情况。

复杂性就是高维度。古典的是三维空间的几何，包括曲线啊，曲面啊。其实，近代的微分几何已经开始向高维扩展了，但是是外在的高维，也就是我们先要定义高维的欧氏空间，然后再在其中定义高维曲面，我们叫超曲面。这是古典微分几何的直接推广。现代微分几何，是在内蕴的前提下进行的高维推广。

整体性就是非局部性。这好像是废话，但如果不解释一下还是容易懵。微积分的特点就是函数的局部性质，点的邻域如何如何、连续函数的局部保号性，保序性......但是你很少见函数有什么整体性，比如像陌生又熟悉的“一致连续性”这种，它们还是很少的。建立在极限概念上的连续性就已经把函数研究限制邻域内了，除非我们附加更多的条件，这样才能有某些整体性质。整体性质也叫大范围性质，不知道你听没听过所谓的“大范围分析”，或者更准确地说叫流形上的分析，现代微分几何都得学这个的。

把R【实数集】上的分析学推广到微分流形上就是大范围分析。

整体几何的例子还是挺多的，比如等周面积问题，给你一个确定周长的闭曲线，问它围成什么图形时面积最大，答案是圆，你怎么证明？这就是整体几何的一个例子。再就是高斯-博内定理，全面反应曲面每点处曲面平均性质与拓扑不变量关系的等式，曲率是曲面点的函数，反应的是点的邻域的几何状态，它的积分等于整个曲面整体量——拓扑量，这也是一个整体几何的例子。整体几何有点像欧氏几何研究整个三角形的那种模式，但是它更多的是研究曲面的整体性质。

古典微分几何不太考虑整体问题，这里面有历史的原因，毕竟那时工具有限，思想认识也有限，微积分刚发迹不久，拓扑学那会连受精卵都不是，所以根本谈不上什么整体几何。还是前面说的，这时的微分几何就是用法截面切切曲面，看看曲率，然后列个特征值的二次方程，考察一下根，发现根正好是曲率的极值，于是再定义高斯曲率、平均曲率啥的。再就是当曲面的一般方程的梯度为0时，发现高斯曲率可以写成曲面方程【根据一般方程的变形】的二阶导数形成的矩阵的行列式，这正好对应特征值的积。然后引入矢量分析，把n元m维向量值函数的分析与曲面论结合，于是我们的麦克斯韦方程或者叫电动力学的数学工具就有了，这时主要是把场看成曲面，然后进行梯度、旋度、散度、点乘、叉乘之类的讨论。

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