数学联邦政治世界观
超小超大

欧拉函数

可以使用 中国剩余定理。对于互素的正整数 α,b ,可以直接验证环同态 f:Z/αbZ → Z/αZ × Z/bZ

f(x mod αb):=(x mod α,x mod b)

的逆映射是g(y mod α,z mod b):=ybn+zαm mod αb,这里 m,n 是整数使得 αm+bn=1 ( Bezout等式保证α,b 互素时,这样 m,n 一定存在),因此 f 是环同构,于是我们有Z/αbZ≅Z/αZ × Z/bZ。特别地,它们的乘法群也同构 Z/αbZ)× ≅ (Z/αZ)× × (Z/bZ)× 。考虑等式两边集合的基数,我们就有 ф(αb)=ф(α)ф(b) 。

另一种方法是使用算术函数的 Dirichlet卷积。对于正整数 n ,考虑集合 {1,. . .,n} 的拆分Ad={x∈{1,2,. . .,n}:gcd(x,n)=d},d│n。从定义可知, Ad 有 ф(n/d) 个元素。比较基数我们有

n=∑ф(n/d)

d|n

这说明id=1 * ф ,这里 id(x):=x 是恒等函数, 1(x):=1 是恒为 1 的函数, * 表示 Dirichlet卷积

(f * g)(n):=∑f(d)g(n/d)

d|n

常数函数1 的Dirichlet卷积逆是 Mobius函数 μ ,因此我们有 ф=μ * id 。由于 μ 和 id 都是积性以及两个积性函数的Dirichlet卷积还是积性,我们断定 ф 也是积性。

数学联邦政治世界观提示您:看后求收藏(笔尖小说网http://www.bjxsw.cc),接着再看更方便。

相关小说

镜中渊:忘语 连载中
镜中渊:忘语
晨亦love
在这无限流里存活下去
2.2万字5个月前
虚假的象牙塔 连载中
虚假的象牙塔
趁醉眠
“当我让他的画享誉世界时,我将取走他的生命——毕竟伟大的作品,是不可再生的,不是吗?”这是理想的象牙塔,也可以是一本充满欲望的故事书贪婪的饕......
0.3万字3个月前
回屿悸 连载中
回屿悸
Aa诀祈
【原创作品】(月更)☂避雷:星际,双洁,年上,EO恋,体型差(有私设).♪成年:16岁.-不喜左上角,自行退出,谢谢-——·灵魂一旦被爱,血......
2.5万字2个月前
末世之人类命运共同体 连载中
末世之人类命运共同体
诺尔塔斯
主角在末世重新成长建立三观结交朋友共同创建人类命运共同体的过程。——————背景介绍:一个贪玩的高维生物不小心将一个使宇宙的再生平行世界的能......
1.5万字2个月前
异者…… 连载中
异者……
凌琳灬
在这宇宙中有七位神明,分别是水神,草神,掌管地狱的神明,掌管赤焰的神明,掌管公正的神明,还有那诡计之神,数据的神明。在这宇宙还没创造之前,却......
0.7万字1个月前
Selita国度的英雄们 连载中
Selita国度的英雄们
死蟒食骸
【龙偶】【自设世界观】曾经,存在着一个神奇而古老的国度,名为Selita。在这个国度里,居住着各色各样的龙,它们是这片土地的真正主宰。其中,......
0.6万字1个月前