欧拉公式的代数证明

自然对数e的欧拉公式是初等数学的经典公式之一，即eⁱˣ＝cos(x)＋i · sin(x) 。我们来证明它。传统的证明方式，或者说经典的证明方式是把右侧的两个三角函数按幂级数展开，然后得到结果，严格意义上，我们需要考察每个级数的收敛性。

现在，我们用代数的方式证明它，避开敛散性问题。我们的主要工具是向量空间的扩展内容——直和分解。为了照顾更多基础较弱的爱好者，我们先叙述一些周边知识以及有用的结论，最后给出简明严谨的证明。

向量空间是代数学，尤其是线性代数的基本背景空间。现代数学在研究某个对象时，按集合论和“结构”的思想都会把它置于某个大集合中：我们在这个集合上赋予一些关系，比如、序、运算之类的，集合及其这些关系的“共同体”称为“结构”。为了与几何挂钩，我们需要让结构能与坐标系相容，而坐标系的要点之一就是所谓的相互垂直的坐标轴个数，相互垂直的含义体现为“独立”和“自由度”，它们更加有名的称呼叫维度！

结构与坐标系相容的核心是把结构中的关系与坐标系的“刻度”建立联系，换句话说，当我把空间的某点置于一个给定的坐标系时，该点向各个坐标轴做垂线，得到的就是该点在坐标轴上的刻度，这些刻度要以结构中的元素的形式参与结构的运算【或者说符合结构的关系】，从而借助坐标系表达结构中的元素的性质。这样，我们就把结构中的集合看成背景空间，结构中的元素看成空间中的点，点与点之间的关系由结构中的关系定义，点在坐标系中的表现就是它在各个轴上的刻度的关系，这些刻度我们称之为坐标。

这种带有“坐标系”的结构就是所谓的“空间”，在代数的意义上它们一般都是有限维的空间，无限维空间需要结合序列的收敛性加以定义。

经典的有限维向量空间就是这种空间，它的基就相当于选定的坐标系的“单位长度”，在某个基下的分量就是在该坐标系下的“坐标”。

因为，向量空间也是“结构”，所以它也是集合，那么也有子集一说，某个子集如果同样具有母空间的那些结构，这样的子集就叫子空间。确实不是任意的子集都有资格做子空间的，因为子空间也是空间，需要满足母空间的一切“关系”。例如，对于平面R² 来说，它的一维子空间只有每一条过原点的直线，其它的子集仅仅只是子集。

现在我们问：两个子空间怎么能完整地描述一个母空间？

方法之一就是我们要说的“直和”。

我们用记号M+N表示两个空间M和N的“和”。如果V=M+N，我们称子空间M和N生成了空间V。生成的意义不言而喻，它表示V的每个元素都可以写成子空间M与N的某个元素的和。但是这里的“和”是怎么定义的？换句话说，M和N各自的那个元素是怎么在这个“和”下运算的？

其实，“和”是V上原本的那种“加法”。我们知道，向量空间V在公理下只有两种运算：加法和数量乘法。因为子空间也是子集，那么它的元素也都是母空间V的，两个不同子空间的加法，本质上还是V的两个元素在V原有的加法下进行运算，只不过，这两个元素现在要分别从子空间M和N进行选取罢了。

回看我们对于平面R²的例子，为啥R²的一维子空间一定要过原点？这是向量空间的公理决定的。向量空间的加法在更高级别的代数意义下叫做“交换群”，交换与否暂且不提，群的结构就要求我们必须有所谓的“加法单位元”——零元。对于向量空间它就是常说的零向量。因为R²的一维子空间都是直线，它们都是实数轴，只不过不像经典的那条是水平的。它们的“零向量”都是实数0，因此所有的包含数0的直线才是R²的一维子空间，而数0在我们给定的坐标系下就是坐标系的原点。

集合{0}和R²是R²唯二的平凡子空间，一维子空间是非平凡的，也叫真子空间，对应集合上的非空真子集。{0}叫零空间。

零空间有什么用？V可以写成子空间M与N的“直和”而不只是“和”的充要条件就是：M与N生成V且M∩N={0}。换句话说，V可以表示成两个子空间的直和，要求这两个可以生成V的子空间只有0向量一个公共元素。我们以记号V=M⊕N记两个子空间的直和。如果V=M⊕N，那么V的每个元素都可以唯一地表示为M与N的和。

因此，某种程度上，直和比一般的和重要的地方就是所谓的唯一性！

按国内“线性代数”和“高等代数”的教材分类，只学线性代数是不知道直和概念的，因为它是高等代数的内容。

好了，有了直和这个工具，现在我们来证明欧拉的传奇定理。

证明：令向量空间V=C(R)，即，V是R上所有实数值连续函数的空间。令Vₑ 偶函数的子集合， Vₒ 是奇函数的集合。根据奇函数和偶函数各自的特点，它们各自在加法和数量乘法下封闭，它们也自然满足向量空间C(R)其它公理，因此， Vₑ Vₒ 都是C(R)的子空间。我们要证明： V＝Vₑ ⨁ Vₒ 。我们取V中的任意元素f(x)，考虑g(x)=(f(x)+f(-x))/2是偶函数，而h(x)=(f(x)-f(-x))/2是奇函数，反解f(x)，我们有f(x)=g(x)+h(x)。因为f(x)是任意的，这说明V中的任意元素都可以用 Vₑ Vₒ 的元素表示，即 V＝Vₑ＋Vₒ 。因为偶函数是f(-x)=f(x)类型，奇函数是f(-x)=-f(x)类型，如果 Vₑ Vₒ 有交集，那么一定存在同时“既奇又偶”的函数，按表达式就应该有f(-x)=f(x)=-f(x)，后一个等号显然表明f(x)=0，即“既奇又偶”的函数只有零函数——常数0，这说明 Vₑ∩Vₒ＝{0} 。根据我们前面的充要条件， V＝Vₑ ⨁ Vₒ 成立。

现在考察指数函数eʸ 【自变量通常用x表示，但其实都一样，我们把x留到最后的结论处】，我们仿照证明的第一部分，把 eʸ 看成函数f(x)，那么显然它有偶函数+奇函数的唯一的表示，即

eʸ＋e⁻ʸ eʸ – e⁻ʸ

eʸ＝───＋─── ↓

2 2

→=cosh(y)+sinh(y)。

cosh(y)与sinh(y)分别叫双曲余弦和双曲正弦，第二个等号是直接使用它们的定义。然后我们令y=ix，根据三角函数与双曲三角函数的变换公式cosh(ix)=cos(x)，sinh(ix)=i·sin(x)，我们就有：

eⁱˣ＝cos(x)＋i · sin(x) 。证毕。

这个公式几乎可以看成欧拉的墓志铭，据说老爷子特别喜欢x=π时的结论，即eⁱπ＝–1 ，甚至它被刻到了他的墓碑上。欧拉可能是惊讶于左侧那种在复数意义下的非整数的初等运算，居然可以得到整数。虽然彼时欧拉还不能证明e和π的超越性，但基本可以确定它们的超越性倾向，从这个角度讲，因为i对于有理数系Q也是超越的，因此左侧的三个超越数以初等方式得到了一个代数数，而且还是个经典的整数，这确实挺神奇的。

后记：注意，初学者常犯的错误是以为V=M⊕N有“V中的元素不是M的就是N的”的结论，因为M和N每个都有零元，让它们分别各自取零元似乎就得到了这个结论。但显然这是不对的，因为我们还有没有零元参与的“M+N”类型的元素；而且V=M⊕N与V=M∪N是两个含义，前者是说，V的每个元素都可以唯一表示成子空间M和N的元素的和，它重点是说，这种表示是有“+”运算参与的，而V=M∪N才是说V的元素不是M的就是N的。还是以我们的空间V＝Vₑ ⨁ Vₒ 为例，显然 V ≠ Vₑ∪Vₒ ，因为sin(x)+cos(x)就既不是奇函数也不是偶函数，但它是实数值的连续函数，因而是V的元素。

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