代数

科普门槛：要有《高等数学》层次的分析和理解力，有线性代数的基本知识，最好有等价类和商集的知识。

“从代数的角度看分析”这个新奇而又强悍的视角只有真正的数学天才才能举重若轻，这是前苏联的代数大师沙法列维奇在他的书中给出的一个视角，我不是很能看懂，那需要非常深刻的抽象代数知识。人家说了，他只是在聊代数而不是在教代数，这一个聊字就结合了代数、几何、复分析等众多领域，我真是钦佩至极。

像我这种连小咖都算不上的爱好者，不敢说什么以高屋建瓴般从代数的角度解释什么是积分，我只是希望从科普的角度，用尽量简单代数知识重现积分的性质，给读者一种这样的感觉，原来积分是这样一种映射啊。然而，即使是这个小目标，我依然觉得难以达到，它需要你有商结构的基本知识【商集及其典范映射】，因此，我们的科普只能说是试着来。

我们说的积分主要是数学分析中的黎曼积分，它一般分定积分和不定积分，在代数的眼里，它们有些区别。

定积分是简单的，虽然具体计算时，定积分要比不定积分多一步，不过从代数角度，定积分【不算发散的反常积分】它就是一个数，或者函数，它无非就是两步操作，先求被积函数的原函数，然后赋值做减法。符号∫ᵇα()dx 和函数的符号F( )没啥区别，只不过前者你知道具体的计算过程和几何含义，后者是抽象的，你不知道它具体是什么而已。

因此，定积分是一种函数，而它要作用到某个函数上，我们管这种作用到函数上的函数叫“泛函”。定积分对两个求和的函数可以分别计算，即定积分对函数加法满足“分配律”；一个函数的实数倍数也可以提到定积分外面，这两个性质使得定积分本身可以被看做“向量”，因此，定积分是向量空间的元素。因为它又是泛函，所以这种向量空间是泛函所在的向量空间，它是无限维的。

对于两个函数的乘积，定积分不能同时分别所用，即设T是定积分，那么T(f·g)≠T(f)T(g)，因此我们不能推广定积分到名叫“代数”的代数结构上，它只能止步于向量空间。

现在我们看不定积分，这是本文的重点也是难点，我们确实不能保证所有爱好者都能看懂。

设V＝Cᵏ⁺¹(R) ，W＝Cᵏ(R)【k都是≥0】。R是实数集，V的含义是它是实数集上的、拥有k+1阶导数的函数的向量空间。W的情况类似。

令T是导数算子，也就是那个符号

d

─ ，

dx

它是一种映射T：V→W，V和W就是上面的那两个向量空间。T是线性映射，这我们不解释了，如果你学过导数，这应该很容易理解。下面证明映射T的核kerT=R。所谓映射T的核，指的就是满足T(x)=0的x的全体，0是向量空间W的加法幺元【其实就是常函数0】。T的核是V的一个子集。

证明：因为V是k+1阶可微函数的空间，W是k阶可微函数的空间，且0函数是W的幺元，那么T：V→W的核就是V中那些一次求导之后为0的函数的集合。根据导数的性质，核就应该是：全体常函数的集合【也就是常数，常数求导都为0】，即R。

下面我们说明T是满射。

说明：当k=0时，V是一阶可微函数空间，W是连续函数空间。根据原函数存在定理，在R的某个区间【包括R】上，如果一元实值函数是连续的，那么它一定存在原函数。此时W的元素都是连续的函数【比如f(x)】，它们都有原函数【比如F(X)】。根据原函数的性质，原函数的导数正是某个连续函数【即F'(x)=f(x)】。因此原函数是一阶可微函数。当k≥1时，W的元素都是可微函数，因为可微必连续，所以它们依然都有原函数，且原函数都属于k+1阶可微函数。

我们找了T的核，又知道了T是满射，这些都是为了使用群同构的定理，它们是该定理使用的先决条件。

根据群的“第一同构定理”，由映射T：V→W可得到同构映射S：V/R→W，其中R是T的核。V/R是由T的核R作为等价关系形成的商集。因为同构映射是双射，因此它有逆映射，其逆映射也是同构，即 S⁻¹ ：W→V/R，其元素对应为f(x)→F(x)+R【显然，显然根据商集的定义，每个陪集F(x)+R都是V的子集】。

这意味着我们有：S⁻¹ (f(x))=F(x)+R。现在我们来说明：

如果T：V→W是我们熟悉的导数，那么“逆过程” S⁻¹ ：W→V/R就是代数视角下的不定积分。

我们先选定某个F(x)，然后任取一个R中的元素c，于是F(x)+c属于V【前面说过，F(x)+R是V的子集】。映射S的同构性保证集合F(x)+R与f(x)是唯一对应的，又因为F(x)是选定的，所以f(x)是唯一确定的。考察T限制到集合F(x)+R上的映射，即T：F(x)+R→W，则其中的每一个元素通过导数运算T联系到f(x)，即T(F(x)+c)=f(x)，写成常见形式就是

d

─ (F(x)＋c)＝f(x) 。

dx

这其实就是在说F(x)+c是f(x)的某个原函数。

T显然是多对一的映射，因此它没有逆映射，而其逆过程——不定积分——只能是T的逆像，即T⁻¹ (f(x))=F(x)+R。显然，根据我们前面 S⁻¹ 的定义， T⁻¹＝S⁻¹ 。这说明，对于任意一个W中函数f(x)来说，导数的逆像是函数f(x)的一族原函数F(x)+R，而不是某个原函数F(x)+c。

如果你真的看懂了，你或许会有疑问，我们计算不定积分时，应该是∫ f(x)＝F(x)＋c ，它得到的是某个原函数，这与 S⁻¹ (f(x))=F(x)+R得到一族函数不太一样啊？

没错，就是不一样，因为这是代数视角下的不定积分，它的操作对象是商集和陪集，而分析中的不定积分每次得到的就是某一个原函数，它俩有区别的原因是因为导数算子不是双射，从而没有逆映射，而我们的不定积分只是它的逆像，在映射与商集的角度，我们只能得到某个元素到其所在的陪集【商集的元素】的映射，而不能得到像分析中那样更细致的结论。

然而，它们本质上是一致的，在学不定积分时，老师一般都会说，原函数后面+c，表示一个函数的原函数不是只有一个，而是有一族【无穷多个】，而代数上的映射清楚地表明了这一点：虽然不定积分可以看成是导数的“逆运算”，但是在代数视角下，不定积分不是简单地把导数算子的像集映回到它的定义域上，而是映到它定义域的商集上。这是代数想要告诉我们的关于在商结构下不定积分的映射性质。

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