数学理论（二）

强烈推广素数分布新理论，只为求真.

公式q=er诠释深层次的素数分布状态.

例一、

在自然数s以内，加2型素数链(孪生素数例11,13)，加2加4型素数链(例11,13,17)，加2加4加6型素数链(例11,13,17,23)，加2加4加6加8型素数链(例11,13,17,23,31)，加2加4加6加8加10型素数链(例11,13…41)…

加2加4加6加8加10…加2n(n∈N+)型素数链数量分布的计算公式依次是：

q=er=1.32s/㏑²s，q=er=2.86s/㏑³s，

q=er=8.30s/㏑⁴s，q=er=30.4s/㏑⁵s，

q=er=103.5s/㏑⁶s … q=er=cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.

一般地，s以内加u₁加u₂…加uₙ以及加uₙ…加u₂加u₁两种型号对称的素数链数量分布的计算公式都是q=er=cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.

[uₐ=2ma，(a=1,2…n)，m、n∈N+；

cₙ为系数，㏑ⁿ⁺¹s表示㏑s的n+1次方；

s较小时，用㏑s-1.08代替㏑s计算]

例二、

在自然数s以内，加2型素数链(例5,7)、加2加4型素数链(例5,7,11)、加2加4加8型素数链(例5,7,11,19)…

加2加4加8…加2ⁿ(n∈N+)型素数链

数量分布的计算公式依次是：

q=er=1.32s/㏑²s、q=er=2.86s/㏑³s、

q=er=5.53s/㏑⁴s … q=er=cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.

一般地，s以内加u₁加u₂…加uₙ以及加uₙ…加u₂加u₁两种型号对称的素数链数量分布的计算公式都是q=er=cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.

[uₐ=mᵃ(m-1)b,(a=1,2…n，m∈N+,m＞1，b、n∈N+)；

cₙ为系数，㏑ⁿ⁺¹s表示㏑s的n+1次方；

当s较小时，用㏑s-1.08代替㏑s计算]

例三、

在自然数s以内，加30型素数链(例7,37)、加30加30型素数链(例7,37,67)、加30加30加30型素数链(例7,37,67,97)、加30加30加30加30型素数链(例7,37,67,97,127)、加30加30加30加30加30型素数链(例7,37,67,97,127,157)数量分布的计算公式依次是：q=er=3.52s/㏑²s、q=er=11.4s/㏑³s、q=er=33.2s/㏑⁴s、q=er=80.9s/㏑⁵s、q=er=138s/㏑⁶s.

(当s较小时，用㏑s-1.08代替㏑s计算)

一般地，s以内连续n个加u型素数链数量分布的计算公式是q=er=cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.

(令与偶数u互素的最小素数为p,n≤p-2)

例四、

在自然数s以内，使得a、u-a均为素数的a值数量分布的计算公式是q=er=rs/(㏑s㏑u).

{u为偶数(u＞1000)；

s≤u/2,s的下限＜＜u/2；

u=2ⁿ(n∈N)时,r=1.32；

u存在奇素因数d₁,d₂…dₓ时，r=1.32[(d₁-1)(d₂-1)…(dₓ-1)]/[(d₁-2)(d₂-2)…(dₓ-2)]；

s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算}

当s=u/2时，可得u的素数分解对数量的计算公式是q=er=rs/(㏑s㏑u)≈ru/(2㏑²u).

(u较小时,用㏑u-1.08代替㏑u计算)

依据该公式判断哥德巴赫猜想成立.

例五、

在自然数s以内，

集合A={x|x=a²+1，(a∈N)}、集合B={x|x=a²+a+1，(a∈N)}、集合C={x|x=(a²+a)/2+1，(a∈N)}

中素数数量分布的计算公式依次是：

q=er=1.37√s/㏑s、

q=er=1.56√s/㏑s、

q=er=1.98√2√s/㏑s.

(s较小时，用㏑s-1.08代替㏑s计算)

一般地，s以内集合X={x|x=kₘaᵐ+kₘ₋₁aᵐ⁻¹…+k₁a+n,(a∈N)}中

素数数量分布的计算公式是q=er=rₙk/㏑s.

(m、kₘ∈N+，n、k₁…kₘ₋₁∈Z；rₙ为系数，k表示s以内集合X中正元素的数量；s较小时，用㏑s-1.08代替㏑s计算)

以上仅是素数分布之道冰山一角，相关论述详见《素数分布之道》.

理论创新，知识共享，求真务实，欢迎助力.

素数分布之道，谐和对称自然，唯美公式开局，精确系数护航.

我将一如既往信念坚定深信不疑，终将有人照我所思看见无穷远处，终将有人完善相关公式的系数表，终将有人继续探索诠释更多问题，终将有人把这些理论写进教科书.

新理论的发展、完善任重而道远，期待大家尤其是数论工作者们以及热爱数学的各界人士检验、传播、助力、推广.

素数分布之道(原创彭秋年)

摘要：㈠创建能量参照法生成素数分布新论；㈡论各种奇素数组合的分布；㈢论偶数u的素数分解对的分布；㈣论m次函数中的素数分布；㈤论梅森素数的分布.

关键词：能量参照法、素数分布新论.

㈠、创建能量参照法生成素数分布新论.

首先陈述素数定理：如果以q表示自然数s以内的素数数量，则q=s/㏑s.

(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

当s足够大时，显然满足：

(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.

如果集合X是集合N(N=全体自然数)的子集.

且令：s以内集合X中大于2的元素依次是x₁，x₂…xₙ；同时定义s以内集合X中元素的能量和为e=1/㏑x₁+1/㏑x₂…+1/㏑xₙ.

则有：s以内集合N中元素的能量和e、素数数量q都趋近或等于s/㏑s，即q=e=s/㏑s.

以集合X={x|x=3a+1,(a∈N)}为例展开论述.

且令：集合X、N中与pᵢ互素的元素的分布比例分别为yᵢ、zᵢ.

(i∈N,p₀=2,i＞0时,pᵢ表示第i个奇素数)

则有：i=1时，y₁=1，z₁=2/3；

i≠1时，yᵢ=zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；

集合X、N中与p₀p₁…pᵢ互素的元素的分布比例分别为y₀y₁…yᵢ、z₀z₁…zᵢ.

且令：rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

则有：r₀=1；i＞0时，rᵢ=1/(2/3)=3/2.

分析：s以内集合X中的元素相对于集合N中的元素，它们成为素数的能力强度其参照值是r=3/2；简述为集合X存在参照常数r=3/2.

且令：s以内集合X中元素的能量和为e.

则有：e=s/(3㏑s).

分析：s以内集合X中的素数数量q等于能量和e与参照常数r之积，即q=er=s/(2㏑s).

以此类推

且令：P={全体素数}；

X={x|x=pa+y,(a∈N)}.

(p∈P,y=1,2…p-1)

则有：p、y确定时，s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=s/[(p-1)㏑s].

且令：P₀=P∩X.

则有：s以内集合P₀、P中元素数量分布之比为1/(p-1).

定义：使用能量和e与参照值r的概念对素数分布进行分析探讨的方法称为能量参照法.

素数定理与能量参照法结合为素数分布新论如下：

如果集合X是集合N(N=全体自然数)的子集；集合X中与pᵢ、p₀p₁…pᵢ互素的元素的分布比例分别为yᵢ、y₀y₁…yᵢ. (i∈N)

且令：zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

若存在n使得：i＞n，所有的rᵢ都趋近或等于r；则称集合X存在参照常数r.

且令：s以内集合X中元素的能量和为e，素数元素的数量为q. (s足够大)

则有：q=er.

㈡、论各种奇素数组合的分布.

①、将奇素数组合分为两种类型.

类型一、非动态素数链.

如果序列U={u₁，u₁+u₂，… u₁+u₂…+uₙ}中的元素除以某个奇素数p，所得互异的正整数余数为1,2…p-1. [uᵢ为正偶数(i=1,2…n)]

且令：序列A={a，a+u₁，a+u₁+u₂，… a+u₁+u₂…+uₙ}. (a为奇素数)

则有：序列A中至少有一个数能够被p整除.

当序列A中的元素均为素数时，则称其为加u₁加u₂…加uₙ型素数链(或非动态素数链).

序列A中的元素包含p时才有可能均为素数，使得序列A能够包含p的a值数量有限.

因此，任一型号的非动态素数链数量有限.

类型二、动态素数链.

如果序列U={u₁，u₁+u₂，… u₁+u₂…+uₙ}中的元素除以任意的素数p，所得互异的正整数余数的数量少于p-1个. [uᵢ为正偶数(i=1,2…n)]

且令：序列A={a，a+u₁，a+u₁+u₂，… a+u₁+u₂…+uₙ}. (a为奇素数)

当序列A中的元素均为素数时，则称其为加u₁加u₂…加uₙ型素数链(或动态素数链).

且令：a，a+a₁，a+a₂，…a+aₙ₋₁均为素数. (2≤n＜a，2≤a₁＜a₂…＜aₙ₋₁)

则有：a₁，a₂，…aₙ₋₁除以任意的素数p，所得互异的正整数余数的数量少于p-1个.

故a，a+a₁，a+a₂，…a+aₙ₋₁是动态素数链.

由此可知：任意n(n≥2)个互异且大于n的素数均可组成一条长度为n的动态素数链，几乎所有的奇素数组合都属于动态素数链.

②、以序列A={5,7,11,13}为例展开论述.

序列A={5,7,11,13}中相邻素数的间距依次是u₁=2，u₂=4，u₃=2.

且令：P={全体素数}；

Qᵢ={x|x=a-2i,(a∈P)}. (i=1,2,3,4)

且令：Rᵢ=P∩Qᵢ；S₁=R₁∩R₃；

S₂=R₂∩R₃；S₃=R₁∩R₄；

S₄=R₃∩R₄；T=R₁∩R₃∩R₄.

则有：R₁={3,5,11…}；R₂={3,7,13…}；

R₃={5,7,11…}；R₄={3,5,11…}；

S₁={5,11,17…}；S₂={7,13,37…}；

S₃={3,5,11…}；S₄={5,11,23…}；

T={5,11,101…}.

[集合Rᵢ(i=1,2,3,4)分别由全体加2i型素数链的第一个元素组成；集合S₁、S₂、S₃、S₄分别由全体加2加4、加4加2、加2加6、加6加2型素数链的第一个元素组成；集合T由全体加2加4加2型素数链的第一个元素组成]

s以内素数的分布密度是1/㏑s.

因此，s以内集合Qᵢ(i=1,2,3,4)中元素的分布密度同样是1/㏑s.

又(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.

因此，s以内集合Qᵢ(i=1,2,3,4)中元素的能量和为e=(s/㏑s)(1/㏑s)=s/㏑²s.

已知集合Q₁={x|x=a-2,(a∈P)}={0,1,3…}.

且令：集合Q₁中与pᵢ互素的元素的分布比例为yᵢ. (i∈N)

则有：y₀=1；i＞0时，yᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1).

且令：zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

则，rᵢ={(1/2)(3/4)(5/6)…[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)]}/{(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)…[(pᵢ-1)/pᵢ]}可化为式B与式B'如下：

式B、rᵢ=[(3/4)(3/2)][(5/6)(5/4)]…{[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)][p₍ᵢ₋₁₎/(p₍ᵢ₋₁₎-1)]}[pᵢ/(pᵢ-1)].

式B'、rᵢ=(3/2)[(3/4)(5/4)][(5/6)(7/6)]…{[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)][pᵢ/(pᵢ-1)]}.

式B中 pᵢ/(pᵢ-1)＞1；

[(pₘ-2)/(pₘ-1)][pₘ₋₁/(pₘ₋₁-1)]＞1.

(m=2,3…i)

因此，rᵢ＞[(3/4)(3/2)][(5/6)(5/4)]…{[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)][p₍ᵢ₋₁₎/(p₍ᵢ₋₁₎-1)]}.

式B'中 [(pₘ-2)/(pₘ-1)][pₘ/(pₘ-1)]＜1.

(m=2,3…i)

因此，rᵢ＜(3/2)[(3/4)(5/4)][(5/6)(7/6)]…{[(p₍ᵢ₋₁₎-2)/(p₍ᵢ₋₁₎-1)][p₍ᵢ₋₁₎/(p₍ᵢ₋₁₎-1)]}.

经计算，rᵢ=2,1.5,1.406,1.367,1.354…

当i=253时，1.3196＜rᵢ＜1.3204；

随着i的不断增大，rᵢ→1.3203236…

因此，rᵢ→1.320(精确到千分位).

即，集合Q₁存在参照常数r=1.32.

因此，s以内集合Q₁中素数数量分布的计算公式是q=er=1.32s/㏑²s.

(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

同理可证：集合Q₂，Q₃，Q₄的参照常数依次是1.32，2.64，1.32.

因此，s以内加u(u=2,4,6,8)型素数链[集合Rᵢ(i=1,2,3,4)中元素]数量分布的计算公式依次是1.32s/㏑²s，1.32s/㏑²s，2.64s/㏑²s，1.32s/㏑²s.

且令：X={x|x=pa+y,(a∈N)}；P₁=X∩R₁.

[p∈P,y∈N,0＜y＜p,y≠pa-u(u=2)]

则有：p、y确定时，s以内集合P₁、R₁中的元素数量分布之比为1/(p-2).

(p=2时,用1代替p-2)

且令：R₁'={x|x=a+6,(a∈R₁)}={9,11,17…}.

s以内集合R₁中元素的分布密度是1.32/㏑²s. 因此，s以内集合R₁'中元素的分布密度同样是1.32/㏑²s.

又(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.

因此，s以内集合R₁'中元素的能量和为

e=(s/㏑s)(1.32/㏑²s)=1.32s/㏑³s.

且令：集合R₁'中与pᵢ互素的元素的分布比例为yᵢ. (i∈N)

则有：y₀=1,y₁=1；i＞1时,yᵢ=(pᵢ-3)/(pᵢ-2).

且令：zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

经计算，rᵢ→2.165(精确到千分位).

即，集合R₁'存在参照常数r=2.165.

因此，s以内集合R₁'中素数数量分布的计算公式是q=er=2.86s/㏑³s；即，s以内加2加4型素数链(集合S₁中元素)数量分布的计算公式是2.86s/㏑³s.

(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

同理可证：s以内加4加2、加2加6、加6加2型素数链(集合S₂、S₃、S₄中元素)数量分布的计算公式都是2.86s/㏑³s.

且令：X={x|x=pa+y,(a∈N)}；P₂=X∩S₁.

[p∈P,y∈N,0＜y＜p,y≠pa-u(u=2,6)]

则有：p、y确定时，s以内集合P₂、S₁中的元素数量分布之比为1/(p-3).

(p=2,3时,用1代替p-3)

关于参照值rᵢ的计算谨作论述C(标识C备用)：

在计算rᵢ→1.32(n=1)及rᵢ→2.165(n=2)的过程中发现，n为任意正整数时，rᵢ={…[(pᵢ-n-1)/(pᵢ-n)]}/{(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)…[(pᵢ-1)/pᵢ]}都能够类似地化为两个式子，且使得：一个式子里面从某一项开始，后面连续相乘的各项均趋近1且不小于1；另一个式子里面从某一项开始，后面连续相乘的各项均趋近1且不大于1.

因此，n为任意正整数，rᵢ都将趋近于常数.

且令：S₁'={x|x=a+8,(a∈S₁)}={13,19,25…}.

经计算，集合S₁'存在参照常数r=1.451.

s以内集合S₁中元素的分布密度是2.86/㏑³s.

因此，s以内集合S₁'中元素的分布密度同样是2.86/㏑³s.

又(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.

因此，s以内集合S₁'中元素的能量和为

e=(s/㏑s)(2.86/㏑³s)=2.86s/㏑⁴s.

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