数学理论（三）

因此，s以内集合S₁'中素数数量分布的计算公式是q=er=4.15s/㏑⁴s；即，s以内加2加4加2型素数链(集合T中元素)数量分布的计算公式是4.15s/㏑⁴s.

(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

令s以内加2、加2加4、加2加4加2型素数链的实际数量分别为q₁'、q₂'、q₃'，

q₁=1.32s/(㏑s-1.08)²、

q₂=2.86s/(㏑s-1.08)³、

q₃=4.15s/(㏑s-1.08)⁴，

统计如下，以供参考.

s：10³，10⁴，10⁵，10⁶…

q₁'：35，205，1226，8164…

q₁：39，200，1213，8138…

q₂'：15，55，258，1393…

q₂：14，53，252，1385…

q₃'：5，12，38，166…

q₃：4，9，35，158…

且令：X={x|x=pa+y,(a∈N)}；P₃=X∩T.

[p∈P,y∈N,0＜y＜p,y≠pa-u(u=2,6,8)]

则有：p、y确定时，s以内集合P₃、T中的元素数量分布之比为1/(p-4).

(p=2,3时,用1代替p-4)

关于公式系数(例4.15)的计算谨作论述C'：

且令：序列U={u₁，u₁+u₂，u₁+u₂+u₃}中的元素(即2,6,8)除以素数pᵢ，所得互异的正整数余数为tᵢ个. (i=0,1…m)

且令：a=(p₀-t₀-1)(p₁-t₁-1)…(pₘ-tₘ-1)；

b=p₀p₁…pₘ；d=(p₀-1)(p₁-1)…(pₘ-1).

则有：m足够大时，ab³/d⁴=1.32*2.165*1.451=4.15.

③、以②类推，论各种动态素数链的分布.

如果序列U={u₁，u₁+u₂，… u₁+u₂…+uₙ}中的元素除以任意的素数p，所得互异的正整数余数的数量少于p-1个.

[uᵢ为正偶数(i=1,2…n)]

则有：s以内加u₁加u₂…加uₙ型动态素数链数量分布的计算公式是q=er=cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.

(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

综合论述C、C'，系数cₙ的计算方法如下：

且令：序列U中的元素除以素数pᵢ，所得互异的正整数余数为tᵢ个. (i=0,1…m)

且令：a=(p₀-t₀-1)(p₁-t₁-1)…(pₘ-tₘ-1)；

b=p₀p₁…pₘ；d=(p₀-1)(p₁-1)…(pₘ-1).

则有：m足够大时，cₙ=abⁿ/dⁿ⁺¹=n个常数之积=常数.

当㏑s＞n+1时，cₙs/㏑ⁿ⁺¹s是一个增函数，其值域为无穷大；因此，加u₁加u₂…加uₙ型动态素数链存在无穷多条.

继续探讨

经分析整理，n为正整数，可得以下结论：

1、s以内加2加4…加2n型动态素数链数量分布的计算公式是q=er=cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.

2、s以内连续n个加u型动态素数链数量分布的计算公式是q=er=cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.

(令与偶数u互素的最小素数为p,n≤p-2)

3、s以内加u₁加u₂…加uₙ型动态素数链数量分布的计算公式是q=er=cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.

[uₐ=mᵃ(m-1),(m∈N,m＞1,a=1,2…n)]

4、假设区间[n,2n)(n＞2)内存在t个素数，则该t个素数是一条长度为t的动态素数链；假设任意连续的n个自然数中，最长的动态素数链包含y个素数；n确定时，理论上能够通过有限个步骤的计算得到确定的t、y(且t≤y)；统计如下，以供参考.

n：11，21，41，61，81，101，121…

t： 4， 5，10，13，15， 21， 23…

y： 4， 7，11，16，19， 24， 27…

5、如果素数链的第一个元素在s以内，则定义该素数链在s以内；当n确定、s足够大时，(n+1)s以内每s个连续的自然数中接近存在s/㏑s个素数；因此，s以内加u₁加u₂…加uₙ[uᵢ≤s,(i=1,2…n)]型动态素数链的数量总和接近于(s/㏑s)ⁿ⁺¹；因此，s以内这些素数链数量分布的计算公式的系数总和接近于sⁿ.

[依据系数cₙ的取值规律同样可证(略)]

关于动态素数链伸展性与对称性的简论.

且令：序列U={u₁，u₁+u₂，… u₁+u₂…+uₙ}中的元素除以素数p，所得互异的正整数余数为a个；序列V={mu₁，m(u₁+u₂)，…m(u₁+u₂…+uₙ)}. (n、m∈N,n＞1,m＞1)

则有：m被p整除时，序列V中的元素均被p整除；m与p互素时，序列V中的元素除以素数p，所得互异的正整数余数同样为a个.

且令：序列W={uₙ，uₙ+uₙ₋₁，… uₙ+uₙ₋₁…+u₁}；序列U中的元素除以素数p，所得余数依次组成序列X={x₁，x₂，…xₙ}；序列W中的元素除以素数p所得余数依次组成序列K={k₁，k₂，…kₙ}.

则有：xₙ=kₙ；(xᵢ+kₙ₋ᵢ)除以p得到余数xₙ. (i=1,2…n-1)

因此，序列X、K中互异的正整数数量相等.

综合而论动态素数链存在以下基本性质：

任一型号的动态素数链在自然数中的分布具有无穷性、谐和性、伸展性、对称性.

无穷性是指任一型号的动态素数链其数量都是无穷的.

谐和性是指任一型号的动态素数链都对应一个公式，其数量的分布状态接近于该公式的增长趋势. 同时存在更深层次的谐和性，且令全体加u₁加u₂…加uₙ型动态素数链的第一个元素组成集合P'；且令X={x|x=pa+y,(a∈N)}；[p∈P,y∈N,0＜y＜p,y≠pa-u，(u=u₁,u₁+u₂,… u₁+u₂…+uₙ),p对应k个y值]；Pₙ=P'∩X；当p、y确定时，s以内集合Pₙ、P'中元素数量分布之比为1/k.

伸展性是指将任一型号的动态素数链其相邻素数的间距统一放大到m(m∈N+)倍，即可得到m倍间距型号的动态素数链，s以内两者数量分布之比为常数.

对称性是指对于任一型号的动态素数链，都将存在与其相邻素数的间距对称的动态素数链，s以内两者数量分布之比为1.

㈢、论偶数u的素数分解对的分布.

且令：u(u＞1000)为偶数；√u以内存在m个奇素数；X={x|x=u-a,(a∈P,a＜u)}.

且令：集合X中与pᵢ互素的元素的分布比例为yᵢ；zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ). (i=0,1…m)

则可推出rᵢ→r；

u=2ⁿ(n∈N)时，r=1.320(精确到千分位)；

u存在奇素因数d₁,d₂…dₓ时，r=1.32[(d₁-1)

(d₂-1)…(dₓ-1)]/[(d₁-2)(d₂-2)…(dₓ-2)].

每个偶数u都对应一个参照常数r.(r≥1.32)

经分析，s(s≤u/2,s的下限＜＜u/2)以内集合X中元素的分布密度是1/㏑u.

又(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.

因此，s以内集合X中元素的能量和为

e=s/(㏑s㏑u).

因此，s以内使得a、u-a均为素数的a值数量分布的计算公式是q=er=rs/(㏑s㏑u).

{偶数u＞1000,s≤u/2,s的下限＜＜u/2；u=2ⁿ(n∈N)时,r=1.32；u存在奇素因数d₁,d₂…dₓ时，r=1.32[(d₁-1)(d₂-1)…(dₓ-1)]/[(d₁-2)(d₂-2)…(dₓ-2)]；s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算}

以偶数u=60000为例，该偶数的奇素因数为3、5，对应r=3.52，令q'表示s以内使得a、u-a均为素数的a值的实际数量，

q=rs/[㏑u(㏑s-1.08)]，

统计如下，以供参考.

s：1000，2000，4000，10000，30000.

q'： 54， 98， 183， 400， 1079.

q： 55， 98， 177， 393， 1040.

当s=u/2时，可得偶数u的素数分解对数量的计算公式是

q=er=rs/(㏑s㏑u)≈ru/(2㏑²u).

(u较小时,用㏑u-1.08代替㏑u计算)

依据该公式判断：哥德巴赫猜想成立.

㈣、论m次函数中的素数分布.

①、论一次函数(等差数列)中的素数分布.

以集合X={x|x=10a+1,(a∈N)}为例展开论述.

且令：集合X中与pᵢ互素的元素的分布比例为yᵢ；zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ. (i∈N)

则有：10的素因数为p₀=2、p₂=5，对应y₀=y₂=1；i≠0、2时，yᵢ=zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ.

且令：rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

则有：i＞1时，rᵢ=1/[(1/2)(4/5)]=5/2.

即，集合X存在参照常数r=5/2.

简述：10以内有4个正整数(1,3,7,9)与10互素，对应集合X存在参照常数r=10/4=5/2.

s以内集合X中元素的能量和为e=s/(10㏑s).

因此，s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=s/(4㏑s).

(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

以此类推

且令：X={x|x=ma+n,(a∈N)}；

m以内有u个正整数与m互素.

(m,n为互素的正整数,m＞n)

则有：集合X存在参照常数r=m/u；s以内集合X中元素的能量和为e=s/(m㏑s).

因此，s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=s/(u㏑s).

(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

②、论二次函数中的素数分布.

以集合X={x|x=a²+1,(a∈N)}为例展开论述.

且令：集合X中与pᵢ互素的元素的分布比例为yᵢ. (i∈N)

则有：y₀=1/2；pᵢ=4c+1时，yᵢ=(pᵢ-2)/pᵢ；

pᵢ≠2、4c+1时，yᵢ=1. (c∈N)

又，4以内共有2个正整数(1,3)与4互素.

因此，s以内有1/2的pᵢ=4c+1.

且令：zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

则有：rᵢ→1.37…

即，集合X存在参照常数r=1.37.

s以内集合X中元素的能量和为e=√s/㏑s.

因此，s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=1.37√s/㏑s.

(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

以此类推

且令：A={x|x=a²+n,(a∈N)}；

B={x|x=a²+a+n,(a∈N)}；

C={x|x=(a²+a)/2+n,(a∈N)}.(n∈Z)

则有：n确定时，s以内集合A、B、C中素数数量分布的计算公式都是q=er=rₙk/㏑s.

[k表示s以内集合X(X=A,B,C)中正元素的数量,s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算]

集合A的参照常数rₙ的计算方法如下：

1、n=-b²(b∈N)时，集合A的表达式能够进行因式分解，rₙ=0.

2、n≠-b²(b∈N)时，令|4n|以内存在2u个正整数与|4n|互素，集合A的正元素中包含的与|4n|互素的素因数除以|4n|所得互异的余数(有且仅有u个)组成序列B={b₁,b₂…bᵤ}；

当pᵢ整除|4n|时，令tᵢ=1；

当pᵢ=|4n|c+bᵥ时，令tᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1)；

当pᵢ不能整除|4n|且pᵢ≠|4n|c+bᵥ时，

令tᵢ=pᵢ/(pᵢ-1)；

s以内有1/2的pᵢ=|4n|c+bᵥ；

i足够大时，rₙ=t₀t₁…tᵢ=常数.

(i∈N,c∈N,v=1,2…u)

另外，如果m=nb²(b∈N+)；

b不存在与|4n|互素的奇素因数，则rₘ=rₙ；

b存在与|4n|互素的奇素因数d₁,d₂…dₓ，

当dᵢ=|4n|c+bᵥ时，令kᵢ=(dᵢ-1)/(dᵢ-2)，

当dᵢ≠|4n|c+bᵥ时，令kᵢ=(dᵢ-1)/dᵢ，

则rₘ=rₙk₁k₂…kₓ. (i=1,2…x；c、bᵥ同上)

例如：

n=7时，|4n|=28，28以内存在12个正整数与28互素，集合A的正元素中包含的与28互素的素因数除以28所得互异的余数(有且仅有6个)组成序列

B={b₁,b₂…b₆}={1,9,11,15,23,25}；

28的素因数为p₀=2、p₃=7，令t₀=t₃=1；

当pᵢ=28c+bᵥ时，令tᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1)；

当pᵢ≠2、7、28c+bᵥ时，令tᵢ=pᵢ/(pᵢ-1).

(i、c∈N,v=1,2…6)

又，s以内有1/2的pᵢ=28c+bᵥ；

经计算，i＞167时，r₇=t₀t₁…tᵢ=1.96…

因此，集合A={x|x=a²+7,(a∈N)}的参照常数为r₇=1.96.

经粗略计算，r₁=r₄=1.37，r₂=r₈=0.71，r₃=1.11，r₅=0.52，r₆=0.71，r₇=1.96，r₀=r₋₁=r₋₄=0，r₋₂=r₋₈=1.89，r₋₃=1.38，r₋₅=1.78，r₋₆=1.04，r₋₇=0.75.

(连续足够多个rₙ的均值为1)

集合B的参照常数rₙ的计算方法如下：

1、n为偶数时，集合B中的元素均为偶数，rₙ=0.

2、n为奇数时，令|4n-1|以内存在2u个正整数与|4n-1|互素，集合B的正元素中包含的与|4n-1|互素的素因数除以|4n-1|所得互异的余数(有且仅有u个)组成序列B={b₁,b₂…bᵤ}；

当pᵢ整除|4n-1|时，令tᵢ=1；

当pᵢ=|4n-1|c+bᵥ时，令tᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1)；

当pᵢ不能整除|4n-1|且pᵢ≠|4n-1|c+bᵥ时，

令tᵢ=pᵢ/(pᵢ-1)；

s以内有1/2的pᵢ=|4n-1|c+bᵥ；

i足够大时，rₙ=2t₁t₂…tᵢ=常数.

(i∈N+,c∈N,v=1,2…u)

另外，如果|4m-1|=|4n-1|b²(b为正奇数)；

b不存在与|4n-1|互素的奇素因数，则rₘ=rₙ；

b存在与|4n-1|互素的奇素因数d₁,d₂…dₓ，

当dᵢ=|4n-1|c+bᵥ时，令kᵢ=(dᵢ-1)/(dᵢ-2)，

当dᵢ≠|4n-1|c+bᵥ时，令kᵢ=(dᵢ-1)/dᵢ，

则rₘ=rₙk₁k₂…kₓ. (i=1,2…x；c、bᵥ同上)

经粗略计算，r₁=1.56，r₀=r₋₂=r₂=0，

r₃=1.01，r₋₁=3.43，r₋₃=1.61.

(连续足够多个rₙ的均值为1)

集合C的参照常数rₙ的计算方法如下：

1、n=-(b²+b)/2(b∈N)时，集合C的表达式偶数项与奇数项能够分开进行因式分解，rₙ=0.

2、n≠-(b²+b)/2(b∈N)时，令|8n-1|以内存在2u个正整数与|8n-1|互素，集合C的正元素中包含的与|8n-1|互素的素因数除以|8n-1|所得互异的余数(有且仅有u个)组成序列B={b₁,b₂…bᵤ}；

当pᵢ整除|8n-1|时，令tᵢ=1；

当pᵢ=|8n-1|c+bᵥ时，令tᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1)；

当pᵢ不能整除|8n-1|且pᵢ≠|8n-1|c+bᵥ时，

令tᵢ=pᵢ/(pᵢ-1)；

s以内有1/2的pᵢ=|8n-1|c+bᵥ；

i足够大时，rₙ=t₁t₂…tᵢ=常数.

(i∈N+,c∈N,v=1,2…u)

另外，如果|8m-1|=|8n-1|b²(b∈N+)；

b不存在与|8n-1|互素的奇素因数，则rₘ=rₙ；

b存在与|8n-1|互素的奇素因数d₁,d₂…dₓ，

当dᵢ=|8n-1|c+bᵥ时，令kᵢ=(dᵢ-1)/(dᵢ-2)，

当dᵢ≠|8n-1|c+bᵥ时，令kᵢ=(dᵢ-1)/dᵢ，

则rₘ=rₙk₁k₂…kₓ. (i=1,2…x；c、bᵥ同上)

经粗略计算，r₁=1.98，r₀=r₋₁=0，

r₋₂=2.35，r₂=1.24.

(连续足够多个rₙ的均值为1)

综合而论

s以内集合X={x|x=k₂a²+k₁a+n,(a∈N)}中素数数量分布的计算公式是q=er=rₙk/㏑s.

(k₂∈N+,k₁∈Z,n∈Z,k表示s以内集合X中正元素的数量,s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

集合X的参照常数rₙ的计算方法如下：

1、集合X的表达式能够进行因式分解或所有元素都被某个素数整除时(例如k₁、k₂为奇数,n为偶数时,所有元素均被2整除)，rₙ=0.

2、当集合X不符合第1条所述；k₁为偶数时，令A={x|x=a²+k₂n-k₁²/4,(a∈N)}；

k₁、k₂、n均为奇数时，

令B={x|x=a²+a+k₂n-(k₁²-1)/4,(a∈N)}；

k₁为奇数、k₂为偶数时，令C={x|x=(a²+a)/2+k₂n/2-(k₁²-1)/8,(a∈N)}；

当k₂=2ᵐ(m∈N)时，令b=1；

当k₂存在奇素因数d₁,d₂…dₓ，

dᵢ(i=1,2…x)整除k₁时，令bᵢ=dᵢ/(dᵢ-1)，dᵢ与k₁互素时，令bᵢ=(dᵢ-1)/(dᵢ-2)，令b=b₁b₂…bₓ

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