拓扑学

Chern-Simons form

一个数学上的概念，它起源于微分几何和拓扑学。给定一个纤维丛E 和一个纤维丛上的连接 A ，可以构造一个与其相关的 Chern-Simons 形式 CS(A) 。对于一个规范群 G （例如 SU(n) 或者 U(n) ，Chern-Simons 形式是一个 G-连接的函数，通常定义为一个三维的微分形式。

具体而言，对于一个规范群G ，Chern-Simons 形式可以定义为：

k 2

CS(A)＝─ ∫ᴍTr(A∧dA＋─ A∧A∧A)

4π 3

这个形式的积分给出一个实数，它在适当的条件下是一个拓扑不变量，也就是说，它只依赖于纤维丛的拓扑结构而不是具体的连接。

Chern-Simons 形式在数学上有几个重要的性质：

- 它是一个闭形式（即dCS(A)＝0 ）。

- 当两个连接A 和 B 通过一个规范变换 g 相关时， CS(A) – CS(B)的差是一个整数倍的 2π （如果 k 是整数的话）。

Chern-Simons theory

Chern-Simons theory 是一个三维的拓扑量子场（TQFT），它以 Chern-Simons 形式为基础构建。在这个理论中，Chern-Simons 形式被用作作用量的一部分，从而定义了一个量子场论。

Chern-Simons 理论的作用量定义为：

k 2

Sᴄs＝─ ∫ᴍTr(A∧dA＋─ A∧A∧A)

4π 3

由于作用量中的形式是闭的，这意味着该理论是拓扑不变的，即物理结果仅依赖于空间的拓扑性质而不是几何细节。

Chern-Simons 理论具有以下特点：

- 它是一个无质量的理论，即它不包含任何关于粒子质量的信息。

- 由于它是拓扑的，它不包含任何关于空间度规的信息。

- 它的量子化版本给出了许多有趣的拓扑不变量，例如纽结不变量。

- 它与二维共形场论（CFT）之间存在紧密的联系，这体现在 AdS/CFT 对偶中。

综上所述

- 数学角度：Chern-Simons form 是一个三维微分形式，它与连接和纤维丛的拓扑性质有关。

- 物理角度：Chern-Simons theory 是一个三维的拓扑量子场论，它以 Chern-Simons form 作为作用量，描述了规范场的拓扑效应。

两者的关联

Chern-Simons form 提供了一个数学工具来计算拓扑不变量，而 Chern-Simons theory 则是一个量子场论，它利用 Chern-Simons form 来定义作用量并研究规范场的拓扑效应。

在物理中，Chern-Simons 理论经常用来描述凝聚态物理中的奇异量子霍尔效应、拓扑绝缘体以及量子霍尔液体等现象。此外，它还在弦理论和引力理论中有重要应用，例如在 AdS/CFT 对偶中，Chern-Simons 理论在边界上的行为与四维的 Yang-Mills 理论有关。

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