数学

其实，从新的开始一文之后，我在尝试着直接运用想象力在基本原则构建的数学世界中直接获得感性认识，然后将其实现为特定的数学理论体系，与现有体系对比，从而建立起可行的学习的路线。

这种思维方式就是过去我谈到的想象力与灵感数学，直觉所能把握的为现实世界的现象，而灵感可以突破现实世界的局限，进入无尽世界中考察数学现象。

本来，我认为灵感是非常惊人的，超越现实的，但其实，各种数学理论中早已蕴含了灵感的痕迹，这个现象让我觉得很有趣，意味着如果要学习这样的理论，按通常的道理来讲是学不会的，即使逻辑上学会了，也无法理解，即使看似理解了，理解的也必定和作者所理解的不一样。

所谓的灵感数学，目前可以认为是通过基本数学原则重建所有数学现象的一种世界观切换能力，也就是说要使用灵感数学解决实际问题，实际上需要具备相当厉害的想象力，可以用一种抽象规则分解所有的事物，比如我在前两篇文章中所使用的那种方法，一种为同伦方法，一种为谱方法，以这些基本的数学方法背后的数学思想为世界观建立对应的数学现象世界，然后通过认知的方式直接获得某些感性认识，这些感性认识如果可以具现化为可行数学理论，实际上就完成了一次数学实践。将数学规律对应于某一个陌生或者抽象世界中的物质运动。

那么最基本的灵感数学就是直觉数学，也就是对现实世界的直接数学建模，这种建模可以通过多种方式实现，依赖于具体的科学模式。每一种具体的科学学科都可以看作一种建模方式，建模完毕后，现象与数学就产生了直接对应，高水平的体现就是使用数学概念与语言精准的刻画与描述物质现象，比如朗道，只用几个数学公式就可以直接刻画物理系统，其实还有很多科学家在他们的研究领域中同样具备这样的能力，我觉得抵达大师程度的人基本上都有这样的能力，可以将一种方法用的出神入化，描述一切的现象而没有任何的阻碍。真正的阻碍在于有些方法具有局限性，无法完备的展示事物的所有特征，还有就是计算上不可接受。所以，这刷新了我的看法，想要抵达大师的层次十分困难，需要实现一种数学或者科学哲学的自洽性。和普通人完全不一样了，对世界的认知是完全不同的。

那么如果想要从研究者层次抵达大师的程度该怎么做呢？答案或许是重建世界观，也就是选择自己坚信的一种普适数学规则解释所有的数学现象，当然，对于科学领域而言，可以将数学规则替换为科学规则，数学现象替换为科学现象。在完全实现或者说基本实现这样的世界观替换后，就能抵达一种无需思考即可理解的境地，任意的事物其实就是这些规则的具体演绎。无非是有的复杂一些，有的简单一些。

不过，我对此并不感兴趣【其实，我在多年前很感兴趣，一直追求这样的认知超越性，学习知识就是突破认知局限，更新世界观，只是，后来发现这条路需要花费无穷的时间，是抵达不了终点的死路】，我感兴趣的是人可以实现多少种世界观的兼容，能否同时容纳几十几百种世界观于一个世界，从而在数十种基本方法下分解同样的现象，而且同等有效，整体上构成数学理论族，在这样的数学理论族的层面下探究一切的数学现象。从而实现一种思想方法无关的一种再抽象思维，可以看作数学思想的万化归一。

这个目标会更加有趣一些，目的是解析一切知识，在极短时间。不过，不太靠谱，主要问题在于语言的繁杂，文字的效率太低，想要讲清楚一个东西需要很长的篇幅，如果可以把这些东西具现为图形语言的话，解析速度应该会快很多。比如这样的图，他是我对动力系统与微分几何图像综合理解的结果。

可以称之为时空演化数学系统。

左边是动力系统的基本图形，时间映射作用下的数学空间，右边为微分几何的基本图形，局部数学结构在空间移动条件下的联系性。

整体上意味着时间稳定结构的空间几何，与时变结构的时间演化几何。

空间几何其实就是物理量沿向量场的移动，这也算是度规理论的基本图像，时变结构则是分合，循环，稳定，守恒，破缺，可以看作对称性与守恒性理论。所以，实际上这就是物理学的基本图像。

理解了这样的图，任意的物理现象都可以被分类，一种是时变现象，考察时间下的运动规律，一种是时不变现象，考察他在空间上的分布规律，具体的规律就是物理学方程，其实物理学的基本理论也是这样展开的，含时方程与不含时方程，其实同样可以采用偏微分方程的形式理解，时间参数偏导数对应于时变结构，空间参数偏导数对应于空间变化。具体的理论则是为了计算和理解上的方便而继续定义各种典型的数学结构模式，使用特定模式理论描述与求解。比如群论与对称性，包括离散对称性与连续对称性，线性表示与非线性表示，或者说函数论，非线性函数之间的算子代数，对于非常简单的，就使用基本微积分和线性代数解决了。现在的物理学理论，通常来说至少也要搞点微分几何与李群。显得理论很有效，或者说能覆盖的范围很大。对于李群，分为多种，交换，非交换，结合，非结合，【李群实际上是几何群，也就是说几何空间如何呈现，李群就具有何种规律，是空间几何的群论表述】其实，这样的框架基本上就覆盖了所有的物理学，对于高深理论自然是不容易处理的，不过这种不容易在于对象的复杂性上，而不是思想原理上。

如果所有的理论都可以整理为这样的典型图形，实际上学习起来不会太困难，但是，目前没有见过这样讲的，可能是角度太高，受众太少，导致的问题就是几百页的书实际上基本都在写一些不太重要的概念定义，基本性质，定理证明。读这样的书其实没有太大意义。既没有启发性也没有高角度的把握。仅仅是铺陈大量的事实。这大概也是一种阻碍，知识的自我限制，语言限制导致一个人所能理解的知识局限在某一个有限范围内。客观上阻碍了通才的出现。

反映的问题则是，现代数学在现象上的大规模涌现没有被合理的整理为模式上的重复性。呈现为大而不强，广而不深的现象。按照我现在的观点的话，数学其实分为这几种基本模式，对称性与群，对称性破缺与序，由此获得对称代数与序代数，这就是代数学，分析学则为序列，简单序列与极限理论，复杂序列与组合学，非线性动力学，混沌理论，几何学则是时间几何与空间几何，实际上就是几何空间的同伦【以时间或者空间为变化参数，描述两种几何之间的连续变化，也可以看作参数空间的几何学】，拓扑学对应于抽象几何理论，也就是典型几何形到拓扑空间的映射【点，球面，单形，或者其他】，所以拓扑学自然的与范畴学建立联系，实现了点映射到函数映射的提升，也就是说函数理论提升到函子理论【范畴论的深化则是高阶范畴与无穷范畴，呈现为数学层级的自涌现】，数论则是周期数学，重周期数学，与任意重周期数学【对应于单素数结构，双素数结构，全素数结构】，所以一切的周期性结构必然对应于数论【周期函数积分，周期定义概念，比如群的阶，环的特征】。

这基本上算是主流数学理论所具有的所有模式了。看起来可能比较多，只不过相对于现代数学几百几千个具体领域而言要简化太多了。当然，这些思想也不可能完全包含所有类型的数学思想，因为前面也提到了数学理论中普遍存在着灵感层面的理论，那些理论是很难学习的，涉及了世界观的切换。至少不是这种简单的模式识别所能实现的。

那么，这也算是简单的学习总结了，直觉数学目前基本上可以说能自然使用了，在现象中提取出模式，在表达式中分解出模式，在图形中洞察出特征，在这个基础上，灵感数学的实现有了一丝的可能，灵感的作用是建立一个陌生世界，对于这个世界所能提供的是种种现象，依靠直觉数学的直接数学建模能力，大概是可以在陌生世界中建立完全不同于现实的数学体系的。这样才能拓展某种数学认知，实现更加深刻的理解。

灵感数学之上有没有其他的数学呢？其实有，我记得好像在那里提到过，找到了，是万有数学，一切数，这个目标就太大了，实际上也是当初我的一个疑惑，即使我在理念上体验到了一切皆为数学，想要在现实中实现也是困难重重。感觉更像是知道了最高层面的认识，然后尝试搭建一条登天梯。其实还有两块没有提及，一个是术数数学，一个是心灵数学，前者其实我已经写过了，只不过效果很差，主要原因是术数被污名化了，后者的话怎么说呢，他就是人的心智结构，在神圣几何与数学结构一文中提及了，人们的默认认知模式导致的一种美的倾向性，倾向于高对称几何图形。他们都可以看作特定世界观下的灵感数学。其实灵感数学本身就是一个很难形容的存在，意味着一切现象的数学，这些现象是人类可触及的现象，包括直觉依赖的真实物理世界，幻想，想象，文学，艺术对应的幻想世界，但是他距离一切现象还有难以想象的沟壑，填平这条沟壑，才能真正抵达万有数学的程度，也就是未知不存在了，现象界的自体统一。我都怀疑这真的能实现吗？不过，又确实可以实现，反正能理解的终究是极少数人，即使如此，也是有意义的。因为每一个人就是现象世界本身。

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