符号逻辑

逻辑学中最有用的就是符号逻辑，非常贴近于数学物理计算机等学科，涵盖了三段论等一大堆繁杂无用的逻辑学理论。我接下来将使用的这些符号，可能会与中国的教材有所不同，不过不用在意。

一个命题要么为真，记为T，要么为假，记为F。两个命题A，B的真假就有四种情况。可以用逻辑符号将两个命题连接起来，它也是一个命题，称为复合命题。复合命题的真假取决于A,B的真假，同时制约着A,B的真假。一般使用以下五种逻辑符号：与(·)，或(⋁)，非(~)，等价(≡)，蕴涵(⊃)。

A·B=T，等价于A=T，B=T。A·B=F，等价于A=T，B=F或A=F，B=T或A=F，B=F A⋁B=T，等价于A=T，B=T或A=T，B=F或A=F，B=T。A⋁B=F，等价于A=F，B=F ~A=T，等价于A=F。~A=F，等价于A=T A≡B=T，等价于A=T，B=T或A=F，B=F。A≡B=F，等价于A=T，B=F或A=F，B=T A⊃B=T，等价于A=T，B=T或A=F，B=T或A=F，B=F。A⊃B=F，等价于A=T，B=F 可能已经注意到了，在定义这些逻辑符号的时候，已经使用了等价，或以及与（我使用的逗号）的概念。我认为仅用“若···，则···”一条语句就可以完成整个定义。无论如何，你们应该都能看懂。符号⊃，实际上就是我们所理解的“若···，则···”，“推出”的含义。如果A⊃B=T，A=T，遵照定义就可以得到B=T。如果A⊃B=T，B=F，同样可以得到A=F。

由定义可以得到一些表达式方便我们应用。无论A，B等取什么值，可以验证以下的逻辑表达式恒为真：（如果没有括号，符号~作用于A，B等单独的命题）

(A⊃B·A)⊃B

(A⊃B·~B)⊃~A

(A⊃B·B⊃C)A⊃C

(A∨B·~A)⊃B

(A⊃B·C⊃D·A∨C)⊃(B∨D)

(A⊃B)⊃[A⊃(A·B)]

(A·B)⊃A

A⊃(A∨B)

这些表达式中间都有一个⊃符号，当⊃前面的项为真时，就可以推出后面的项为真。而下面的表达式中间都有一个≡符号：

~(A·B)≡(~A∨~B)

~(A∨B)≡(~A·~B)

(A∨B)≡(B∨A)

(A·B)≡(B·A)

[A∨(B∨C)]≡[(A∨B)∨C]

[A·(B·C)]≡[(A·B)·C]

[A·(B∨C)]≡[(A·B)∨(A·C)]

[A∨(B·C)]≡[(A∨B)·(A∨C)]

A≡~~A

(A⊃B)≡(~B⊃~A)

(A⊃B)≡(~A∨B)

(A≡B)≡(A⊃B·B⊃A)

(A≡B)≡[(A·B)∨(~A·~B)]

[(A·B)⊃C]≡[A⊃(B⊃C)]

A≡(A∨A)

A≡(A·A)

我们不仅可以从表达式的左边推到右边，从右边推到左边，甚至还可以在一个更复杂的表达式中进行等价替换，因为不影响总表达式的真值。例如以下是一种反证法的形式，我们不需要再穷举A，B的真值即可证明：

[(~A·B)⊃~B]≡(B⊃A)

[(~A·B)⊃~B]≡[~(~A·B)∨~B]≡(A∨~B∨~B)≡(A∨~B)≡(~B∨A)≡(B⊃A)

又如：

[A⊃(C·D)]⊃(A⊃C)

[A⊃(C·D)]≡[~A⋁(C·D)]≡[(~A⋁C)·(~A⋁D)]≡[(A⊃C)·(A⊃D)]⊃(A⊃C)

注意到有几个恒等式和集合里的几个公式很像，比如这就叫德·摩根定律：~(A·B)≡(~A∨~B)，~(A∨B)≡(~A·~B)

符号逻辑的公式与集合论里的是互通的，因为有这种类似于同构的关系（x∈A和命题A）：

x∈A∩B≡x∈A·x∈B

x∈A∪B≡x∈A⋁x∈B

x∈∁A≡~(x∈A)

A⊆B≡x∈A⊃x∈B

A=B≡(x∈A⊃x∈B)·(x∈B⊃x∈A)≡(x∈A≡x∈B)

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