范畴理论

我们要求“sheaves of spaces”只满足空间X 的覆盖条件，而不是任意的 hypercoverings 。除了这一点，可以以相同的方式进行，设 H(Ⅹ；K)＝π₀(F'(X))， 其中 F' 是通过强制“值为 K 的常数预层”满足这种较弱的下降条件而获得的（单纯）层。 于是得到的理论具有以下性质：

（1） 如果X 是仿紧致的，则 H(X；K) 可以用从 X 到 K 的同伦类集来确定。

（2）存在一个规范映射θ：H(X；K) → ˆH(Ⅹ；K)；

（3）如果X 是有限覆盖维数的仿紧拓扑空间（或有限克鲁尔维数的诺特拓扑空间），则 θ 是同构。

（4）如果K 只有有限数量的 nonvanishing 同伦群，则 θ 是同构。特别是，将 K 设为 E – M 空间 K(G，n)，那么 H(X；K(G，n))≈Hⁿₛₕₑαf(X；G). higher stacks 理论具有良好的形式性质，而 Brown-Joyal-Jardine 理论并不总是共享这些性质;本文将在第 6.5.4 节中总结这些情况。

然而，这些好的性质是有代价的。∞ – stαcks 和 ∞ – hyperstαcks 之间的本质区别在于，前者可能无法满足怀特海定理：例如，可以存在一个 pointed stack (E，η)，其中 πᵢ(E，η) 是所有 i≥0 的平凡的层，但 E 不是“可收缩的”（有关这些同伦层的定义，请参见 §6.5.1）。

为了对X 上的 stacks 理论和 X 上的 hyperstacks 的 Brown-Joyal-Jardine 理论进行彻底的比较，似乎有必要将它们都放入更大的上下文中。适当的框架由 ∞ – topoi 理论提供。粗略地说，∞ – topoi 是一个 ∞ – 范畴 ，它“看起来像”拓扑空间上层的范畴。对于每个拓扑空间（或拓扑）X，X 上的 ∞ – stαcks 构成一个 ∞ – topoi，Ⅹ 上的 ∞ – hyperstαcks 也是如此。然而，∞ – topos 与 X 相关的 ∞ – topoi 中享有更普遍的地位。

本书的目的是构建一个∞ – 拓扑理论，使我们能够理解上述讨论，并说明该理论与经典拓扑学之间的一些联系。所涉及的思想从根本上说是同伦理论，不能用经典范畴论的语言来充分描述。因此，本书的大部分内容都与构建一个合适的更高范畴理论有关。高等范畴理论的语言还有许多其他应用，我们将在其他地方讨论。

本文的总结：

我们将从第 1 节开始介绍高维范畴理论。目的是，§1 可以用作更高范畴学习的简短“用户指南”。因此，许多证明被推迟到后面的章节，这些章节包含了对∞-范畴理论的更详细和技术性的描述。我们希望，不想被技术细节所困扰的读者可以直接从第 1 节开始阅读第 5 节及以后的（更有趣的）材料，并根据需要回到第 2 节到第 4 节。

为了有效地处理∞-范畴，重要的是要有一个灵活的相对理论，这能够讨论在给定的∞范畴 C上纤维化的∞-范畴。于是将通过引入单纯集合之间的笛卡尔纤维化的概念来正式化这个想法。在第 2 节中的笛卡尔纤维理论以及几个相关概念，每个概念在高维范畴理论中都发挥着重要作用。

在第 3 节中，将更详细地研究笛卡尔纤维化理论。主要目标是证明给出 ∞ 范畴 C → D 的笛卡尔纤维等价于从 D 给出一个（逆变）函子到一个合适的 ∞ 范畴的 ∞ 范畴。这个结果的证明使用了单纯集的理论，并且具有相当的技术性。

在第 4 节中，通过详细分析∞范畴极限和colimit理论来完成奠定基础的工作。将证明，复杂图的极限可以根据简单图的极限进行分解。还将介绍 colimit 结构的相对版本，例如左 Kan 扩展的形成。

从某种意义上说，本书第1节至第4节的材料应被视为完全正式的。所有的主要结果都可以归纳为：存在一个合理的∞范畴理论，它的行为方式与普通范畴理论大致相同。许多想法都是对其经典对应物的直接概括，对于大多数掌握了范畴论基础知识的数学家来说，这些想法应该很熟悉。

在第 5 节中，引入了来自普通范畴理论的更复杂概念的∞分类类比：presheaves、Pro 和 Ind 范畴等。仔细利用这一事实将使能够推导出许多令人愉快的结果，例如伴随函子定理的∞分类版本。

在第 6 节中，来到了本书的核心：对 ∞-topoi 的研究，它可以被视为 Grothendieck topoi 的∞分类类似物。第一个主要结果是吉罗定理的类比，该定理断言了“外在”和“内在”方法对主题的等价性。

粗略地说，∞-topoi 是一个∞范畴，它“看起来像”空间∞范畴。将证明，这种直觉是有道理的，因为有可能在任意的∞拓扑中重建经典同伦理论的大部分。在第 7 节中，将讨论 ∞-topoi 理论与经典拓扑学思想之间的关系。

并且证明，如果X 是一个仿紧致空间，那么 X 上的“空间层”的∞-topos可以用 Ⅹ 上空间的经典同伦理论来解释：这将使能够得到引言中提到的比较结果。主题是几何拓扑学中的各种思想（如维度理论和shape理论）可以使用∞∞-topos 的语言进行重新表述。文章还将制定和证明经典上同调结果的“nonabelian”推广，例如 Noetherian 拓扑空间上同调的 Grothendieck 定理。在附录中，总结了经典范畴论和模范畴理论的思想，将在正文中使用这些思想。建议读者仅在需要时引用它。

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