【数学与哲学论文】数学的进展（一）

【数学与哲学论文】PenelopeMaddy论数学的进展

Penelope Maddy（中文翻译）：佩内洛普·马迪

PENELOPE MADDY

MATHEMATICAL PROGRESS

‘What is progress in mathematics?’The answer,at least a partial answer,seems easy: ‘I make mathematical progress when I solve a problem I wanted to solve or prove a theorem I wanted to prove.'Now there's surely something right about this,but the issue that brings us here isn't my mathematical development or lack thereof；what we want to know is how mathematics as a discipline progresses. Does mathematics as a

中文翻译：佩内洛普·马迪

数学进度

“数学的进步是什么？”答案，至少是部分答案，似乎很简单：“当我解决了一个我想解决的问题或证明了一个我想证明的定理时，我在数学上取得了进步。”“这肯定是有道理的，但把我们带到这里的问题不是我的数学发展或缺乏，我们想知道的是数学作为一门学科是如何发展的。”将数学作为

原文标题：Mathematical Progress

作者：Penelope Maddy

来源：Maddy, P. (2000). Mathematical progress. In The growth of mathematical knowledge (pp. 341-352). Dordrecht: Springer Netherlands.

中文翻译：原文标题：数学进度

作者：佩内洛普·马迪

来源：MaddyP.(2000).数学

数学发展的进步

知识(第341-352页)。多德雷赫特：

斯普林格荷兰。

“什么算得上数学的进展？”这个问题的一部分回答看起来很简单：“当我解决了我想解决的问题，或证明了我想证明的定理时，我就获得了数学上的进展。”这种回应当然有一些正确的东西在里面，但是我们在这里想讨论的问题不是数学家个人在数学上有或者没有进展；我们想知道的是数学作为一门学科如何发展。例如说，当有人解决了她想要解决的问题或证明了她想要证明的定理时，数学作为一门学科是否会取得进展？显然，如果该问题在之前已经被别人解决了，或者该定理在之前已经被别人证明了，而且目前提出的解决方案或证明方案也已经为数学界所熟知的情况下，那么我们不会说数学作为一门学科获得了进展。这展示了文章开头简单回应不足的地方，但我们接下来将展示这种简单回应其实有着更深刻的缺陷。

例如说，假设我想要算一项从未被计算过的算式，或者解决一个从未解决过的二次方程。假设，在花费大量的铅笔和纸张之后，我成功了，并且我尽可能广泛地向数学界公布了我的成果。那么此时数学获得了学科进展吗？我想可能不是的。虽然我的特定例子是新的，但是我所用的技术是大家所熟悉且机械化的。

再比如说，假设这次我要尝试一项更有野心的任务。我定义了一种新的代数结构，也许这种代数结构的定义来自于否定掉某一类熟知的代数结构的某个条件；比如说我定义了一个“郡” ("schmoup")。然后我证明了没有群是“郡”，以及更多诸如此类的定理。数学有进展吗？可能没有。为什么没有？因为很有可能，我这种的数学活动实际上揭示了“郡”不是什么很重要的数学对象。这个例子说明了，如果我解决的问题或证明的定理要算作数学上的进展，那么这个问题、定理、解决方案或证明必须具有一定的数学重要性。

不经意间，我们的开头的简单回答渐渐变成了一个极其困难的新问题：是什么导致了一个数学事实/结果/工作被算得上重要？这个新问题也带来了一系列其他问题：数学重要性的标准是否因数学的不同分支而异？因数学的不同历史时期而异？更根本地，我们认为某件事重要与它真的是否重要，这两者是否不同？

我自己对于这三个衍生问题的回答都是肯定的：数学重要性的标准可以因数学的不同分支而异，也可以因数学的不同历史时期而异。但是数学界将某个数学事实/结果/工作算作“重要”这一行为是值得分析的，因为这一行为的背后存在着一些客观的内涵。简而言之，我的观点是：一个数学事实/结果/工作是否重要，取决于它是否有效地推进了它所处的数学实践的目标。这些目标可能因数学的不同分支而异，也可能因数学的不同历史时期而异，但是如果我们承认这些目标，那么一个数学事实/结果/工作是否有效地推进了这些目标，这个问题的答案是客观存在的；一个数学事实/结果/工作是否重要，取决于它是否有效地推进了这些目标，而不是取决于它是否仅仅在我们看来如此。

就目前来看，这些抽象的论述并没有什么价值；无论你对数学进展抱有何种理解，你都可以通过选择合适的目标来让你的理解跟前面的断言一致。例如，一个实在论者可能会说，某个数学实践的目标是发现关于某个抽象领域的客观真理；另一方面，一个持有社会现实主义观点的人可能会说，数学实践的目标就是最大程度优化它能申请到的国家科学基金。因此，我在上一段中所主张的内容只能通过固定一些特定的例子和特定的目标来展示。出于展示的目的，我将在这里考虑两个这样的特定情况，这两个情况都来自于集合论的最近几十年的工作。在这两个例子里，我所给出的确定的目标和给出的相关论证并没有都明确地出现在历史文献中，所以我们可以把接下来的内容看作某种理性化的重构。话虽如此，但我确实认为这些思想的一般思路是隐含在集合论社区的实践中的。

我第一个例子是Dana Scott在1961年发表的证明（Scott 1961），该证明表明可测基数的存在意味着哥德尔的构造性公理（V=L）为假。我将尝试论证这个结果在数学上的重要性，即它构成了真正意义上的数学进步，不过同时我必须承认这个判断是有不一定完全正确。作为我论证的开头，我将探讨当代集合论的特定目标，而为了做到这点，我将不得不退后一步，对20世纪数学目标做出一些更一般的观察。不过让我先从Scott定理之前构造性公理的地位开始说起。

哥德尔在30年代末在证明选择公理（AC）和连续统假设（CH）的相对一致性的过程中引入了所谓的“构造性公理”（下文记作V=L）（见Gödel 1940）：他证明了如果ZFC本身是一致的，那么ZFC+V=L也是一致的，然后他证明了AC和CH可以从V=L推出。可构造宇宙的思路是这样的：从罗素的分层类型理论出发，哥德尔将集合看作是由直谓性(predicative)公式在不同阶段生成的，所谓直谓性公式，就是那些量词和参数都被限制在现阶段已经生成的集合上的公式。但是与罗素不同，哥德尔直接默认了整个序数类是给定的，无论它是直谓还是非直谓的，并且用这些序数来标记这些阶段。在跑完所有叙述后，得到的结果是ZFC的一个模型，称为“可构造宇宙”或L，这个模型中AC是真的，因为集合是按照良序序列生成的。CH也是真的，尽管证明这一点的考虑要更微妙一些。公理V=L则是这样的一条断言：真实的集合论宇宙V的所有集合都能被这样生成，即V就是L。

现在我们试着把视角放在40年代中期。哥德尔已经证明V=L解决了集合论中许多未解的问题；不仅仅是AC和CH，还有各种各样的关于可定义实数集的问题，这些问题在之前的几十年中都没有得到解决。把V=L加入到集合论公理的列表中是不是合理的？哥德尔本人似乎也曾考虑过这一点，他说V=L“似乎给出了集合论公理的一个自然的完善”（Gödel 1938, 27），但是到了40年代中期，他则改变了主意，写道“估计不是所有的集合都能用这种方式定义”（Gödel 1947, 185）。到了60年代中期，他写道V=L“陈述了某种极简性质”，而同时“只有极大性质才能与集合的概念相协调”（Gödel 1964, 263）。尽管这个评论出现在1964年，但是没有迹象表明哥德尔的立场是基于Scott的定理的。不管怎样，我将尝试阐述的是，即使在Scott的证明之前，这种通过“极大化”论证，不接受V=L的立场也是有效的。[1]

也就是在论证中的这个节点上，我打算退后一步，思考一下20世纪的一个数学目标。在更早的时期，数学与物理科学几乎没有什么区别，但是非欧几何、n维空间、抽象代数和公理系统的发展都促进了当代纯数学的兴起，其中大部分都是在没有直接或间接参考科学需求的情况下进行的。识别和描述这种一般实践及其特定分支的各种数学目标是一个庞大且迷人的项目，但是我们在此对其按下不表；对于我们的目的来说，我们只需要注意当代数学的一个我认为毋庸置疑的特征：那就是尽管在科学中的有用性显然不是这种实践的唯一目标，但它仍然是它众多目标中的一个。在承认这一点的前提下，我们可以问这个目标如何才能得到最好的推进。

仅仅看数学在物理学中的应用，我们很快就会注意到，哪怕是那些最具戏剧性的交互，20世纪数学对物理理论的的帮助都普遍遵循着一个一般模式。例如黎曼几何在广义相对论中展现出应用价值，最开始是因为爱因斯坦在努力构建这个理论的过程中遇到了瓶颈，于是他向他的数学家朋友Grossman求助。格罗斯曼搜索了文献并且提供了爱因斯坦所需要的黎曼理论。同样地，在量子力学中，维格纳在求解n体问题时遇到了巨大的计算复杂性，于是他向数学家冯诺依曼求助。而冯诺依曼引起了维格纳对当时已经稍微完善的群论的注意，维格纳的问题很快就被解决了，而群论日后也成为了量子理论后续发展中的一个基本工具，尽管更早的时候人们预测群论永远不会有应用价值。

在这些例子中，都是数学家们独立开发了大量的数学理论，这些理论可以说是被存放于数学仓库里；直到某一天，物理学家们需要数学工具，于是这些库存的数学理论被拿出来并且被用于一些令人惊叹的用途。考虑到数学对科学的有用性这一目标，也考虑到这种成功的普遍范式，我们似乎可以合理地得出这样的结论：数学家对这个数学理论库存添砖加瓦得越多越广，这个目标就越有可能被推进；稍微不那么比喻地说，这个目标和这种成功的范式会鼓励数学界去研究尽可能多的数学结构，去设计和研究尽可能多的数学理论，换句话说，不要对数学的自由发展过程施加任何外部限制。[2]

这种对当代数学目标的认知，以及如何有效推进这一目标的手段评估，对集合论来说意味着什么？为了回答这个问题，我认为我们可以考虑集合论所扮演的奠基性角色。康托尔本人曾经宣称“纯数学...不过是纯集合论而已”，而且这种说法的变体现在出现在许多现代教科书的开头几页；例如，Kunen写道：

集合论是数学的奠基。所有的数学概念都能基于集合和成员关系的原始概念来定义...从公理出发，所有已知的数学都可以被推导出来。

如果我们想捍卫这种奠基性的主张，那么我们必须谨慎地表述它：我们必须承认这种基础并不能提供认识论上的确定性，只能提供本体论上的统一性；我们当然不必声称所有的数学对象都是集合，只需要声称它们能被表示为集合；我们也不应该声称只有集合论方法（相对于分析、代数、几何方法）才能最好地研究这些被表示的对象。令人惊讶的事实是，哪怕我们谨慎地做出了如上的各种让步，集合论确实提供了一个框架，使得所有的经典数学对象和结构都能在这个框架中被定义，所有的经典数学定理都能在这个框架中被证明。因此，在正统的当代数学中，一个关于什么样的数学事物或结构存在的问题，最终都可以被看作是一个关于什么样的集合存在的问题；而一个关于什么能被证明的问题，最终都是一个关于什么能从集合论公理中被证明的问题。

那么我想提出如下观点：当代集合论的目标之一就是在上述意义上为数学进行奠基性的贡献。前文我们提到过一些全局数学目标，如果我们将局部的集合论目标与它们结合起来，我们可以从这个结论中得出一些方法论上的推论。我所说的推论想法很简单：数学的目标之一是对科学产生帮助；实现这个目标的一个有效手段是研究各种各样的数学结构，发展各种各样的数学理论；集合论的一个目标是提供能实现所有数学结构的集合；因此，为了避免限制可用结构的范围，集合论应该提供尽可能多的同构类型的实现。这个对集合论学者的方法论建议就是我所说的“极大化”。

显然，极大化需要一个更精确的表述，才能应用到像V=L这样的具体案例中。事实上，我认为这是可以做到的，但是在此处我先按下不表。关键的观察是，理论ZFC+V=L证明了某一个同构类的存在，而这个同构类型在L中没有被实现。换句话说，有一个候选的集合论公理体系，它提供了比ZFC+V=L更多的同构类型，而且没有任何方法能够弥补ZFC+V=L的这种缺陷。从这个角度来看，V=L是有限制性的。要说我们能从极大化思想中提取什么经验，那么其中之一必然是我们要避免有限制性的理论。[3]

这就是反对V=L的“极大化”论证。它基于对当代数学目标和当代集合论目标的部分分析。它确定了哪些有效的手段应该能进一步实现这些目标，并对这些手段的实际使用带来了方法论上的告诫。最后它的建议是：否认V=L。

现在假设我们在1960年就得出了这个结论。我们当然不会把V=L加入到公理列表中，但是我们想要超越这种简单的不可知论；我们想要否认V=L。我们可以通过把 V ≠ L 加入到公理中来实现这一点，但这是一个不太吸引人的选择。为什么？因为 V ≠ L 是没有信息量的；它告诉我们存在一个不可构造的集合，但是它对这个集合一无所知。正是因为它毫无信息量，所以它是一条相当弱的公理；ZFC留下的所有问题，通过添加V=L都得到了解决，但是通过否认V=L却没有一个问题得到解决。为了对这个选项有一个直观的感受，想象一个物理学家，他相信他的基本粒子列表——例如说a、b和c——是不完整的，他提出了新的物理理论——“存在一个基本粒子，它不是a、b或c”。这显然是不令人满意的。那么集合论学家该怎么办呢？

Scott就是在这时出场的。通过从可测基数公理证明 V ≠ L，他为ZFC+V=L这个不可行的选项提供了一个替代品，即ZFC+MC（即ZFC+“存在一个可测基数”）。这个新公理体系是否更好？我认为我们可以公平地说它是的。为了看到这一点，我们回想一下，康托的发明集合论时采用的一个基本方法就是假设无穷是一个已经完善了的过程；特别地，他假设了存在一个对象ω，它在所有有限序数之后，也假设存在一个ω₁在所有可数序数之后，等等。正是这种大胆的方法开创了我们现在所知的集合论；这个理论的种种成功用例又反过来佐证了它们的合理性。现在考虑康托这种基本方法的扩展：在由替换公理和幂集公理生成的所有序数之后，假设存在一个不可达基数κ；在由替换公理和幂集公理生成的所有大于κ的序数之后，假设存在第二个不可达基数；等等。显然，这个过程可以继续下去。当Ulam在1930年首次定义可测基数时，他证明了可测基数是不可达的；1960年，Tarski刚刚宣布了他的结果，即第一个可测基数以下有许多不可达基数。因此，MC呈现出一个很有力的候选公理的样子，它为集合论基本发展方针带来了一个受欢迎的扩展。

因此，我认为Scott的结果是数学进展的一个典范例子，理由如下：数学的一个非常一般的目标是为自然科学提供工具；经验表明，这样做的有效方法是尽可能不受限地提供各种各样的数学理论和结构；集合论的一个非常一般的目标是为数学提供库存的基础；为了做到这一点，集合论应该实现尽可能多的同构类型；ZFC+V=L在同构类型上是有缺陷的，因此应该被拒绝；Scott的定理表明，采用ZFC+MC是拒绝V=L的一种有吸引力的方式，有吸引力是因为MC是一条有前途的公理，它扩展了康托集合论最基本的方法。这个论证显然采用了我在开头勾勒的形式：数学上的进步是根据所涉及实践的目标和实现这些目标的有效手段来衡量的。

我此处想补充一点。在Scott定理之后的十年里，可测基数公理可以算得上是实现了它的潜力。例如，Solovay和Martin证明了MC蕴含了实数可定义集合的各种正则性质；在我第二个数学进展例子中，我将对这些结果做更多的阐述。此外，Scott定理的结论原本是“在可测基数κ上存在一个不可构造的测度”，这点也在接下来得到了改进，精确到了“存在一个不可构造的自然数集”（Rowbottom 1964），到存在一个特定的不可构造的自然数集，即0逻恽展：1966）。事实上，0#是一个哥德尔数的集合，它编码了一组描述L与V的不同之处的公式，提供了一个精确的关于L如何出错的丰富理论。此外，从Silver 1971和Kunen 1970为可测基数寻找类似L的内模型的研究开始，ZFC+MC理论的这种极其富有成效的发展到今天仍在继续。

这个故事还有很多可以讲的，但是我在这里对数学进展的第一个例子就此打住。我所要说的只是，1961年的Scott定理提供了一个数学上富有成效的方式，来得到一个合理的结论，即V ≠ L。我的第二个例子发生在同一条发展线上的大约25年后，我想到的是Martin和Steel在80年代中期证明的一个定理。为了能对这个结果的评估做好铺垫，我再次回到集合论的起源。

康托年轻时的研究，是从一个标准的分析问题开始的：什么时候实数到实数的三角函数表示是唯一的？许多前人都曾尝试过这个问题，但是没有成功，而康托尔的第一个结果就是提供了一个解决方案：如果表示收敛于每一个值，那么这个表示是唯一的。但是在分析中，人们也常常提出这种提出进一步的问题：如果在某些“特殊”的点上不收敛，那么表示是否仍然是唯一的？在努力为这个进一步的问题提供一个完全一般的答案时，康托尔发现自己面对着越来越复杂的实数集：首先是有限集；然后是只有一个聚点的无限集；然后是有有限多个聚点的无限集；然后是有无限多个聚点的无限集，其中聚点的集合也有一个聚点；等等。给定一个实数集A，它的聚点集A'被称为A的“导集”；如果一个实数集足够丰富，那么它的导集、它的导集的导集等等，都将是非空的。但是所有这些导集的交集呢？那个交集的导集呢？这些也会因为原始集合A的结构而不同。因此，康托尔对实数集的思考，导致他需要假定序数作为这些导出集的脚标。与此同时，关于“特殊”点集与所有实数集之间关系的问题，使得他需要比较简单的无限集（例如自然数集）的基数与实数集的基数，而这个研究的结果就是康托尔关于实数集不可数性的定理，这是超穷基数理论的开端。

从分析学到实数集的另一条道路则要从法国分析学家Baire、Borel、和Lebesgue开始。这其中的动机来自于推广函数概念时遇到的一种病态反例。Baire、Borel、Lebesgue三人尝试将这种混乱的情况进行分类。函数的分类很快就被归约为对集合的分类，因为例如函数的连续性被定义为原像是开集。[4] 所谓的Borel层级，就是从开集开始，然后允许通过取补集和可数并集获得的所有集合。尽管它们很复杂，但是Borel集合有许多所谓的正则性质；举两个例子，它们是Lebesgue可测的，它们有完美子集性质（即任何不可数的Borel集合都有一个与实数等势的有着规范结构的子集 [5]）。俄罗斯分析学家Lusin和Suslin很快就发展出了另一个复杂性层次，即Borel集合之上的投射层次。为了看清楚这一点，想象一个平面上的闭集（译者注：此处Maddy笔误了。平面上的闭集的投影仍然是Borel集。要真正地超越Borel集，我们要考虑平面上的Gδ集，或者说考虑一般Borel集的投影），然后将它投射到一个轴上；结果是一个Σ¹₁集。一个Π¹₁集是一个Σ¹₁集的补集；一个Σ¹₂集是一个Π¹₁集的投影；等等。事实证明，Borel集合就是那些既是Σ¹₁集又是Π¹₁集的集合，即Δ¹₁集合。人们很快就证明了Σ¹₁集和Π¹₁集都是Lebesgue可测的，而Σ¹₁集有完美子集性质（Lusin 1917）。但是既不知道Σ¹₂集的Lebesgue可测性，也不知道Π¹₁集的完美子集性质；直到20世纪20年代中期，也没有更多的进展。

从这段历史中我们可以看到，集合论起源于分析学，特别地，它起源于对实数集的分类和结构理论的努力。

鉴于这些根源，我认为将这些作为集合论实践的内在目标是合情合理的。我之前曾经论证过，集合论作为数学的一个分支，有着为经典数学提供基础的目标，但是我认为我们也必须承认，集合论作为一个有着自己议程的数学分支，有着提供对实数集的结构和多样性的全面分析的目标。这就是为什么可测基数的吸引力在Martin和Solovay的结果出现后大大增加。例如，Solovay在60年代末的定理（Solovay 1969）表明MC蕴含了所有Σ¹₂实数集都是Lebesgue可测的，从而提供了Lusin自20年代以来一直悬而未决的一个问题的解决方案。我接下来会讲到Martin的定理。

我们假设集合论实践的目标之一是提供一个关于实数集的理论，那么我们来考虑一下1980年的情况，这一年Moschovakis著的《描述集合论》出版了。届时Suslin和Lusin的开放问题已经被证明与ZFC独立，而基于进一步假设的两个竞争性的投射集理论也出现了。第一个理论是从ZFC+V=L推导出来的，它给出了以下的图景：存在一个非Lebesgue可测的Σ¹₂集合，以及一个没有完美子集的不可数Π¹₁集合。同时，ZFC+V=L也为Σ¹ₙ集合判定了一系列所谓的“结构性”属性。这些结果意料之中地与Solovay在ZFC+MC中证得的结果相矛盾：所有的Σ¹₂集合都是Lebesgue可测的，每一个不可数的Σ¹₂集合（因此，每一个Π¹₁集合）都有一个完美子集。但是ZFC+MC对于投影级结构的其余部分提供的图景就没那么完整：“存在一个Lebesgue不可测的Σ¹₃集合”，以及“存在一个没有完美子集的不可数Π¹₃集合"都不与它矛盾（Silver 1971a）。

第二个图景则是从一中完全不同类型的新假设中得出的。假设A是一个实数集（译者注：实数全集在此处理解为由无穷长的0-1序列构成的康托空间）。[6] 想象两个玩家I和II在一个游戏G(A)中轮流选择0和1。如果他们最终生成的无穷序列在A中，那么I赢；否则II赢。我们说A是决定的，如果I或者II在G(A)中有一个必胜策略。举一个简单的例子，如果A由所有以序列000110开头的实数构成，那么玩家II有一个获胜策略：总是选择1。（在第一轮游戏之后，生成的序列保证不在A中。）如果一个集合是确定的，那么它也有诸如Lebesgue可测性这样的规则性质，如果它是不可数的，那么它就有一个完美子集。另一方面，选择公理蕴含了一个非确定集合的存在；证明方法是通过一个熟悉的技巧，将潜在的策略用良序排列，然后在每一轮游戏中构造一个集合来挫败每一个策略。

鉴于并非所有的实数集都是决定的，我们自然而然地会问哪些是决定的。Gale和Stewart于1953年将这个概念引入了文献中，并且证明了所有的闭集（并且推论出开集）都是决定的。1955年、1964年和1972年，人们证明了各种各样的Borel集合的都是决定的，这个序列最终由Martin在1975年的证明达到了顶峰，他证明了所有的Borel集合都是决定的（见(Martin 1975)）。Martin还在(1979)中证明了MC蕴含了所有的Σ¹₂集合都是决定的；这个结果，连同Solovay的Lebesgue可测性结果，为MC在实数集的可定义集合上有重要的结果提供了基础。但是决定性证明在这一步之后便陷入了僵局，而同时决定性假设成为了主角。

“所有的实数集都是决定的这个假设”，即决定性公理或AD，最早是由Mycielski和Steinhaus在(1962)中考虑的。当然，鉴于AC蕴含了存在一个非决定集合，ZFC+AD是不一致的。现在我认为每个人都会承认，数学理论选择的一个工作原则是为了追求一致性的理论，但是各种历史案例，最著名的是微积分的早期几十年，证明了在缺乏一致性的情况下也可以实现其他数学目标。因此，我们应该注意到，公理集合论的情况在这方面可能是独一无二的：公理化的中心动机之一就是避免朴素集合论的不一致性。所以我认为我们必须承认，避免不一致理论的目标对于当代集合论来说是基本的。鉴于没有人准备放弃选择公理，ZFC+AD理论从来没有受到过严肃的考虑。

相比之下，我们考虑的是一类断言“许多相对简单的实数集都是决定的”的公理；例如，所有的投影集都是决定的（PD）[7]。这个假设提供了投射层次结构的V=L生成图景的替代品：V=L蕴含了非Lebesgue可测集合早至Σ¹₂层级就存在，而PD蕴含了所有投影集都是Lebesgue可测的；V=L提供了一个没有完美子集的不可数的Π¹₁集合，PD蕴含了所有不可数的投影集都有完美子集；V=L蕴含了Π¹₁的一类结构性质对于Σ¹ₙ集合和Π¹ₙ集合都成立，PD蕴含了这些结构性质对于奇数n的Π¹ₙ集合和偶数n的Σ¹ₙ集合都成立。这两个理论——ZFC+V=L和ZFC+PD——都提供了许多实数集的丰富而详细的描述，但是这两种描述是非常不同的。

就目前来说，我们的目标是提供一个关于实数集的描述，但是对于许多实数集，我们面临着两种不同的描述。幸运的是，在两者中选择其一并不困难。我们已经看到，V=L是一个应该被拒绝的假设，而MC有它自己的吸引力。PD现在呈现出一种扩展MC所带来的图景的方式，例如，不仅保证Σ¹₁集合是Lebesgue可测的（ZFC中可证），不仅保证Σ¹₂集合是Lebesgue可测的（ZFC+MC中可证），甚至所有的Σ¹ₙ集合都是Lebesgue可测的（ZFC+PD中可证）。同样，完美子集性质从Σ¹₁（ZFC中可证）被提升到Σ¹₂（ZFC+MC中可证），再到Σ¹ₙ（ZFC+PD中可证）。在这些选项中，毫无疑问，ZFC+PD是更好的选择。

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