【数学与哲学论文】数学的进展（二）

此时，我们再次地遇到了一个看上去不那么像公理的命题，PD，但它却能给我们带来一种符合期望的途径。但是这个案例的细节与 V ≠ L 的情况不同。PD，与 V ≠ L 不同，很难被以太弱而拒绝，因为它蕴含了整个投射集的理论。但是同时PD又太过于专业化；它对一系列集合提出了一个非常特殊的要求，而不是对整个集合论层级结构提出一个广泛的要求。我们再次为这种情况做一个类比，想象一个物理学家对地球附近的抛物线运动感兴趣，他为此提出了一个物理理论，断定只有在地球附近才会出现某种现象。这似乎是太过具有针对性，而PD的问题也是如此。一个公理应该是更普遍的，更基本的。

在 V ≠ L 的情况里，这个问题是通过Scott的定理解决的，因为ZFC+MC可以直接判定 V ≠ L 。鉴于MC蕴含了一些超出ZFC确定的集合的决定性，我们自然地猜测更大的大基数公理也能在这个新情况下有所帮助。为了了解接下来的内容，我们必须回到MC的情况。Scott的证明是通过构造一个从V到一个传递类M的非平凡初等嵌入来完成的；事实上，可测基数是这种嵌入移动的第一个序数。在这里，类M对长度为κ的序列封闭，其中κ是可测基数，但是在更长的序列下不是封闭的。因此，一种推广可测性的方法是假设这样一个嵌入到一个具有更强封闭条件的M中。最强的封闭条件是对所有序列都封闭，即要求M本身是V。那么是否存在一个非平凡的V到V的元素嵌入呢？

这个问题的回答是否定的。Kunen在(1971)中提供了这样一个初等嵌入与选择公理不相容的证明。在这个结果之后，集合论学家们提出了各种大基数公理，这些公理被设计成尽可能强大，同时又避免了Kunen的不相容性。1978年，Martin从这些公理中证明了Σ¹₂集合的决定性(Martin 1980)。这个结果有两个方面的意义：首先，Martin的假设与不相容的假设非常接近，以至于人们对它的一致性产生了非常严重的担忧；其次，如果需要最强的已知大基数公理来证明Σ¹₂集合的决定性，那么似乎没有希望证明所有n的Σ¹ₙ集合的决定性，即PD。第二个担忧在1984年被克服了，当时Woodin设计了一个更强的公理，介于Martin的假设和Kunen的不一致性之间，并从中证明了PD。但是第一个担忧，即一致性，却因此而加剧了。

当然，自30年代以来，也就是自哥德尔的第二不完备性定理以来，我们知道直接证明一致性是没有希望的。集合论学家的目标是接受一致性的理论，然而这只能以一种粗略的方式来实现。ZFC本身的一致性是有这各种保障，例如它不会产生朴素集合论中已知的悖论，集合的迭代图景提供了一个直观的模型，而几十年的深入研究也没有发现不一致性。假设ZFC的一致性，可以证明ZFC+V=L的一致性，但是在这种相对意义上，甚至不能证明任何大基数的一致性[8]。 对MC一致性的最初担忧得以缓解，是因为我们有MC的各种推论的相对一致性的证明，也是因为集合论共同体尝试证明它的不一致性却没有成功，以及由于ZFC+MC的类似L的内模型的发展（在这种内模型中，MC的不一致性会更有可能突出）。但是Woodin的假设显然是不同类型的，因为它的定义本身就是通过有意识地努力来接近不一致性而产生的！

基于这样的前提下，Martin和Steel的普遍结果可能不会让人感到意外。Mitchell、Dodd和Steel的工作，从一个方向，以及Foreman、Magidor、Shelah和Woodin的工作，从另一个方向，都将注意力集中在超紧基数（SC）上。超紧性是可测性的一般化：一个基数κ是λ-超紧的（对于λ＞κ），当且仅当存在一个从V到一个类模型M的非平凡初等嵌入，使得M在λ序列下封闭，并且κ是第一个移动的序数。因此，一个基数κ是可测的，如果它是κ-超紧的。最后，一个基数κ是超紧的，如果它对所有λ＞κ都是λ-超紧的。Martin和Steel成功证明了ZFC+SC能推论出PD（Martin and Steel (1988)， (1989)）。再一次，大基数的添加提供了一个具有合理期望后果的理论。

至此，ZFC+SC公理体系提供了一种有效的手段来实现对实数集的投射集的描述，但是它对这个目标有多少收获，它就必须在一致性上付出。当然，这在Scott的情况下也是成立的。我在前面提供了一些MC看起来一致的原因，但是这些原因并不能是百分百毋庸置疑的。如果ZFC+MC最终被证明是无可救药地不一致的[9]，那么Scott定理带来的数学进展就仅仅是一种幻觉。SC比MC强得多，虽然它似乎不像Woodin（或者Martin）的假设那样会引发不一致性，但是它还没有享受到MC的优势。事实上，ZFC+SC蕴含了PD，这恰恰表明了SC不可能有一个像MC那样简单的让人放心的模型。因此，在这种情况下，SC带来的数学进展最终被证明是虚假的风险也相应地更大。毫无疑问，随着进一步的研究，情况会变得更加明朗，但是现在，我认为仍然有理由合理地希望Martin和Steel的结果确实构成了重要的数学进展。尽管一致性的担忧仍然存在，但是ZFC+SC为一个提供了一个有关许多实数集的全面而详细的描述的理论提供了一个有前途的候选者；换句话说，它提供了实现集合论中心目标之一的有效手段。

综上所述，我阐述了集合论近期历史中的两个案例，并且声称我们有充分的理由相信这两个案例都是真正的数学进展。这个主张基于对数学进展的一种特定理解，即采用有效的手段来实现特定实践目标，它也同时基于对这些特定目标的定义，例如：（1）对科学带来有效贡献；（2）为数学提供基础；（3）作为集合论实践目标，为实数集的提供一套理论；（4）作为集合论公理化的目标，提供一致无矛盾的理论。这一切在原则上恐怕似乎相当平凡，尽管它们在细节上很有趣。但是我也不得不考虑，对于“数学进展”这样宽泛的概念做出的工作，可能就不可避免地会具有如此的特征。

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参考

1. 这个是我1997年论文给出的论证的缩减版。我的1993论文给出了另一种风味的论证

2. 这里不是说数学家应该被鼓励去随意研究比如说schmoups这种随便生成的理论，而是说如果一个纯数学对象在数学上是丰富的，那么就不应该阻拦研究它的数学家

3. 我1997年论文中的论证概要到此结束。

4. 一个实数集是开集当且仅当对于它的每个点它都包含该点的某个开区间。

5. 即完美子集，就是一个闭集，其中每个点都是聚点。注意到这相当于证明了Borel集上的连续统假设：每个不可数的Borel集都有连续统势。

6. 我在这里稍稍作弊一点；“实数”在这里的意思是无穷的0-1序列。它们在标准拓扑下同胚于康托集。描述集合论的语境通常就是那些完美的波兰空间，例如正常意义上的实数集和这里的0-1序列。

7. 其实还有一个稍微更具吸引力的假设，那就是ZF+AD在某个内模型中成立，特别是包含了所有实数的内模型。Mycielski和Steinhaus就提出过这个建议，从那时起一个受到偏好的公理就是“AD在从实数集出发可构造的宇宙中成立”

8. 这是因为任何大基数公理都能证明ZFC的一致性。所以如果ZFC证明了Con(ZFC)-＞Con(ZFC+MC)，那么ZFC+MC就能证明Con(ZFC+MC)，而此时哥德尔第二不完备定理就告诉我们ZFC+MC是不一致的

9. 这里我的意思是它不但不一致，而且我们能想到的什么合适的修正或者弱化都没法挽救它

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