哲学与数学有什么关系（二）

（1）集合的概念

王浩在《数哲》中单辟一章讨论了集合的概念，它是王浩知识学研究的一个精华部分，当代著名数学哲学家帕森斯（Charles Parsons）就曾评论说，该章应该被所有寻求对此问题之成熟理解的人当作第一读本（参见邢滔滔《逻辑之旅》译后记）。

王浩著《逻辑之旅：从哥德尔到哲学》

集合的概念是整个现代数学的基础，现代数学的所有概念、理论和方法，都可以在集合论的公理框架内得到解释。但我们对集合的直观概念，一开始并不是清楚的，甚至是有矛盾的。回顾弗雷格和康托有关集合概念的论述，王浩指出，他们分别代表着关于集合的两种不同的直观概念，一个是关于集合的二分式概念，一个是关于集合的迭代概念。前者认为集合是通过将所有事物的总体划分为两个范畴得到的，其标志是接受不加限制的概括原则，即每个属性都能确定一个集合（由满足该属性的所有对象组成）；后者则对集合采取一种“生成式”的理解，认为集合是从一些给定的对象（也可以是空无）出发，通过迭次运用“……的集合”这个运算得到的东西。

弗雷格对集合持二分式理解，这是清楚的，因为他将集合等同于概念的外延，而康托是否已经达到了关于集合的迭代概念，则不是那么清楚。但王浩仔细分析了康托的著作，令人信服地表明了，康托对集合的生成式定义与集合迭代概念极其相符，并且他进而指出，这部分解释了二人对悖论截然不同的反应：对弗雷格而言，悖论意味着集合论的崩溃或破产，而康托则认为，悖论只是表示我们还未正确理解集合的概念。除了康托，王浩还讨论了策梅洛、冯·诺依曼和米利曼诺夫等人关于集合的一些论述，指出他们与康托具有基本相同的集合概念，即集合迭代概念。王浩还细致地说明了，从这样的直观概念出发，我们如何可以核证通行的集合论公理，甚至更多的新公理，而这些新公理或可有助于判定一些独立性问题，如连续统问题。

另外特别值得一提的一点是，王浩区分了关于集合论的一组渐强的观点：存在一种直觉迫使我们接受现有公理；这种直觉能产生更多公理；所产生的新公理有收敛趋势；它们能产生一个唯一的模型并判定连续统假设；集合客观存在并且我们能感知它们（248页）。

这些细致的区分既展示了王浩数学知识学研究的精微奥妙，也与数学哲学中后来的一些著名思想遥相应和。比如，麦蒂（Penelope Maddy）有关数学自主性的论题（该论题的一个主要思想来源即在于对哥德尔的如下解读：哥德尔有关连续统问题有意义性的观点不依赖关于集合存在的本体论观点）和她对数学深刻性（mathematical depth）的强调，都可以说与王浩的这些知识学思想高度相似。

然而令人奇怪的是，后来的那些数学哲学家似乎并没有在这方面给王浩任何credit，这或许是因为，王浩的知识学研究在精神上继承的是传统的数学基础研究，具有浓厚的老派风格，比如，他喜欢按论域大小和方法限度区分各种基础观点，并给出了一个五支分法——严格有穷主义、有穷主义、直觉主义、直谓主义、柏拉图主义——而基本未参与七十年代以来数学哲学中围绕抽象对象和贝纳塞拉夫问题的主流争论。

（2）心灵、大脑与机器

在今天的哲学中讨论心灵与机器，一个著名的主题是现象意识问题，其背后基本的直觉是，无论机器在能力或功能上多么出众，仍然很难设想，它如何可能具有现象意识，即那种私人的、主观的、第一人称性的感受质，如颜色的感受、疼痛的感受等。但王浩对心灵与机器的思考，基本集中于它们在认知能力上的差别。这既是王浩那个时代的一般状况，也与王浩本人的技术性工作有关。不过，相比于许多人热衷于从数理逻辑的结果（如不完全性和不可判定性结果）论证机器绝无可能做什么，王浩同时强调了更具建设性的一面，即如何让计算机做更多的事，从而从他那个时代对人工智能的未来做出了展望。

在王浩对哲学的基本设想中，人心了解客观实在的能力的范围与本性问题，是知识哲学的基本问题。在《数哲》中，他用了整章篇幅来谈论此话题。他主要关注计算机的影响，因此人与机器的问题收缩为心灵与计算机的问题，在此范围内，他在《数哲》中思考了人工智能与理论心理学的关系，比较了大脑与计算机，同时也尝试从关于理想化计算机的数理逻辑结果得到一些大的哲学推论。但由于前面已提到的理由，下面我仅摘出一个看起来不太起眼的段落，就之稍谈几句感想。

王浩在《数哲》中写道：

在心理学层面，人一般通过例子来学习，而计算机则只能按完整、详尽的指令行事。我们非常希望能引入一些方法，使得计算机能像儿童一样从几个例子中概括出覆盖广泛相似情形的特征。目前还难以看出，我们如何能通过巧妙的编程实现这一点，因为无论是提取数据（经验），还是提取借以从数据得到那种普遍化的机制（学习过程），抑或是用计算机术语表达所得到的那种普遍化，都是很困难的。（360页）

这段议论反映了王浩的一个核心信念：人心的本质能力在于习得和思索新概念的能力。王浩认为，该能力是哲学一直试图破解，但屡试屡挫的一个奥秘，而许多哲学争执，不过是这个事实的后果，即一旦破解了这个奥秘，许多争执就会消失。

有趣的是，哲学自然主义在最近三四十年的发展，很大程度上正呼应了王浩的这些观点。哲学自然化的一个核心部分即在于概念表征关系的自然化，而最近三四十年来，自然主义哲学家在这个问题上可谓是殚精竭虑。这些努力与认知科学的革命性进展密切相关，标志着我们这个时代哲学的一条新生血脉。特别地，人脑中的数学概念是否是表征性的，是否具有更特别的认知性质和功能，是此类研究的一个重要话题，这方面尤其可以参考莱考夫《数学从哪里来》和叶峰《无我的物理主义研究》等著作。

另一方面，具体到王浩谈到的计算机的学习能力问题，最近十几年人工智能和深度学习技术的发展，可以看作对此段文字的一个回响。虽然与儿童从少量例子习得高效概念的能力相比还远远弗如，深度学习技术却确实使计算机具有了从例子进行学习的能力。此外，很明显的一点是，深度学习并不是从例子去概括一般特征，而是基于复杂的统计计算做出正确预测，这反过来让我们反思人脑的工作机制，越来越明显的一点是，人脑习得概念也主要不是从例子概括特征的过程，而是涉及更为复杂的神经元网络计算。

知识与生活

王浩留给我们的主要哲学遗产是知识哲学方面的，但应该注意的是，他也始终关切人生和社会问题。实际上，据何兆武回忆，硕士毕业答辩时，金岳霖先生（但据王浩本人在《从昆明到纽约》一文中的回忆，发问者是沈有鼎先生）曾问王浩为什么要学哲学，王浩的回答是：“我想解决人生问题。”（《上学记》增订版，228页）而在《数哲》中，王浩引人注目地用了一章（《关于知识与生活的札记》）的篇幅，专门讨论知识与生活的关系问题。

何兆武的《上学记》

如果仅就个人品味和偏好而言，对王浩来说，好的生活无疑就是沉思的生活，或追求知识、追求对世界的理解的生活。何兆武也说，有一次他和王浩讨论幸福问题，王浩最终同意了如下说法：幸福是日高日远的觉悟，是不断地拷问与扬弃，是通过苦恼的欢欣，而不是简单的信仰（同前，226页）。但生长于那个家国乱离、社会动荡的年代，王浩不可能仅关心个人的幸福问题。也因此，他常常陷于一种矛盾和痛苦之中：是专事象牙塔中的知识哲学研究，还是投身于更具实践关怀的思考和工作中。

例如，在《数哲》中他写道：“我们很快就能达到这样一种哲学观，它把哲学理解为关于如何缔造更好的社会的研究。有鉴于这一哲学观和当前的世界局势，我们不难理解如下的断言：当代知识分子的中心问题是如何对待马克思主义。”（417页）

事实上，大约在写完《数哲》之后（准确地说是在1972年王浩第一次回国访问之后）的数年里，亦即七十年代，王浩曾花费大量时间和精力研究马克思主义和中国革命问题。但这些研究没有为他带来满足，经过一段精神上的挣扎和苦闷期后，他很快就又回到了逻辑与数学哲学研究的正轨上去。

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