不动点定理

本文证明Brauwer's Fixed point theorem，这是代数拓扑一个经典定理，由庞加莱最新证明，之后Hadamard,Brauwer相继给出证明，由于Brauwer的证明最modern,用了基本群的方法，所以流传下来就称之为布劳威尔不动点定理，它也是其他各种不动点定理的基础，同时和经济学的纳什均衡，以及游戏理论的几个定理有关。

本文证明参考于Hatcher. 当然本人没有看过，只是这个证明来自那本书。本文证明的是2维空间的特列。

首先定义：S¹：＝{(x，y)|x²＋y²＝1}

D²：＝{(x，y)|x²＋y² ≤ 1}

布劳威尔不动点，是说任意连续函数f：D² → D²，存在一个不动点 x∈D²，使得 f(x)＝x

基本群和同伦假设读者已经知道了，随便一本基础拓扑书都会介绍的。同伦就是函数A可以连续变形为函数B,就称之为A,B同伦。基本群需要固定拓扑空间中一个基点，然后起始点都在该点的路径的等价类构成的群。

证明思路是反证法， 先假设布劳威尔不动点不成立，也就是存在一个函数f：D² → D² 使得对任意 x∈D²，f(x) ≠ x

那么我们可以据此构造一个连续映射：r：D² → S¹，x ↦ r(x) 使得 r(x) 位于以 f(x) 为起点，过点 x 的射线上，几何上不难证明这样的 r(x) ∈ S¹ 是唯一的。

并且，显然有若x∈S¹，r(x)＝x 。

现在我们取定S¹ 上的任意一个连续函数 f₀ 满足： f₀：[0，1] → S¹ 使得 f₀(0)＝f₀(1)＝x₀，这样的函数称为 S¹ 上的loop .

然后，根据D² 的性质，有：π₁(D²)＝{e} （也就是说 D² 上的基本群是平凡的) ,这意味着存在 D² 上同伦：

f₀ ~ x₀ （一个具体的例子是：f₁(s)＝(1 – t)f₀(s)＋tx₀）

我们利用r 与这个同伦， 可以构建 f₀ 与 [公式] 的在 x₀ 上的同伦：rf₀ ~ x₀ ，具体来说就是 rfₜ .

从f₀ 的任意性，我们立刻得到 π(S¹) 平凡，而根据常识， π(S¹) ≅ Z，矛盾， Q.E.D.

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