玄学（二）

少阳 7，太阳 9，少阴 8，太阴 6；春 3，夏 1，秋 2，冬 4；两两呼应，都以十为全而自分。此意为万物存覆之生、长、收、藏顺从天地四季之春、夏、秋、冬，因此生长收藏对应春夏秋冬的补数，和为 10：

天地春，3；万物少阳 ⚎ ，生，S，7。命名与种子。天行健。

天地夏，1；万物太阳 ⚌ ，长，T，9。历法与耕种。自强不息。

天地秋，2；万物少阴 ⚍ ，收，N，8。刺绣与果实。地势坤。

天地冬，4；万物太阴 ⚏ ，藏，F，6。收纳与安息。厚德载物。

春 3 秋 2 和为五，是生与收之五；夏 1 冬 4 和为五，是长与藏之五。春夏秋冬合为十，即一年之数，为十全十美。

1、加与减：同维度计算，加合并，减消除

两点确定一线。两个概念相加，可以抽取出其中的「线」性维度。如，小明+小张=两个男人，小明+小李=两个程序员。他们通过提取线性数量维度获得共性的非线性特征。120W 充电器与 300W 屏幕之间也通过「W」功率维度的标量，获得了「电器」的非线性共性空间（通过量纲统一实现的分类）。

张量（tensor）是更一般化的数学对象，可以描述任意维度的线性关系。在张量框架下，标量是0阶张量，向量是1阶张量，矩阵是2阶张量，以此类推。

2、乘与除：跨维度计算，乘合并，除消除。

「两个苹果」，两个是 1+1 的低维，苹果是高维自然语言标记，即量词提取了低维信息，名词保留了其高维语意。

乘法中的常量可以获得跨维的映射信息。如 Pi，是笛卡尔坐标系向弧度坐标系映射的跨维转化常数。

外积（outer product）和内积（inner product）：外积可以提高维度，而内积可以降低维度。外积获得空间，进而可以被精细操作；内积降维获得投影，进而可以提供判断候选人。从某种角度而言，「空间」即一种特殊的「实体」，可能是高维的体现，是高维赋予的「自由度」，如二维空间（视觉空间）暗示了物体投影角度上的自由度。外积创造了一个新的空间，这个空间包含了原始向量的所有可能组合（Q*K^T）。而内积是在问题维度上最终量化的有效性分布（Softmax）。

3、幂：数的维度标记

所有数默认都是一次（一维）的。也就是对一维的度量。

9 + 16 = 25，标记为 3^2 + 4^= 5^2，就可以暗示为 3-4-5 的直角三角。其 5 是圆直径，3-4 定位到其圆周。这就是二维化拓维。

反之，则是降维。人一般默认追求降维（简化）后的表示，即最终一次方标记作为「结果」。

维度是线性的，维度拓展是线性拓展，封装拼接无穷。分形维度（fractal dimension）允许非整数维度的存在。人对维度的认识与光紧密相关——光是将三维特征投射到二维视平面（视野），再被分析理解的关键。光的运动方向定义直线，折射反应的不是光不直，而是空间性质不同——空间承载物质，物质也可以反向影响空间；空间也是特殊的存在体。因此，整数维度是与光相关的维度，分形维度是非光作用的维度，即可能存在分数（甚至无理数）维度，其中的存在特定分形运动路径，使其不能「密布」，而是存在占据比例。

在这里，我们始终假设光是「密布」的空间，即一切都以光空间为标准基，以此为「直」（光是「直」的具有某种自证（自然）性质）。光的「直」性，与 1+1=2 的「对」性，具有同样的自证属性——只要人按照某种理性结构来认识问题，就必然得到相对应的结论，不论其符号标记为何。直即线性，线性即逻辑性，逻辑、理性、线性、「直」性等都是同构的「1」性的泛化。而「弯曲」是一种非直的相对性描述。

是否存在比光更密布的空间？这种存在可能能够感知甚至操控那些光无法完全覆盖的分形维度或更高维度的结构——这可以视作算法所指向的指向特定维（非整数维）的能力，该维可以完整联通问题所处高维空间压缩后的低维空间。其中构造出数据流经路径，最终通往低维可表示的数据结构。

4、指数与对数：对维度的操作，指数合并，对数消除

2^3=8，三组二分构成八维，这是对维度「空间」的操作。而抽取其中维数，即取对数，是对空间的度量。

香农度量信息熵的熵值等价于：通过多少个二元空间（二进制位，bit）并联（合并维度）可以描述一个高维空间的秩（维数）。

5、三角函数：低维对高维的模拟，对应波动。三角展开可以提取任意波中的基本音符/语素，而其合并后可以构造出高维特征。

Positional Embedding 便是利用三角函数将 token 位置信息叠加在了一个周期中，使其作为整体起作用：将线性序列信息（如文本中的位置）嵌入到向量表示中，保留了序列的相对位置关系。

傅里叶变换不仅适用于周期函数，还可以应用于非周期信号——这带来非常非常重要的维度归一化性质。

6、矩阵：高维在低维的嵌入（截面），其中网格布局的数字对应屏幕分辨率；像素性对应粒子性，「粒子」作为「实体」，暗示低维切面下「看到」的高维「实体」（合并为一个概念）。数字矩阵就是像素阵列，可以直接转化为热力图。

实际上，任何数字都是 1*1 的矩阵：a * [[x维 * y维]] = a * [[x维 * y维 * [1] ]] = [[x维 * y维 * [[a]] ]]

「1」是最关键的归一标记——维度与 1、数字与 1、1 自己作为维度与数字都可以相乘而不变——这个性质是维度扩展、收缩的关键。正如 Transformer 在 NormLayer 中会进行向量归一化——使其方差归 1，均值为 0。

矩阵可以表示物理系统的状态或演化规则，而这些系统的解决方案可能涉及粒子的行为或状态。

在 AI（LLM）训练中，矩阵压缩过程即抽取高维空间关键信息的过程。矩阵之间点乘的过程即获得高维空间相干程度（投影）的过程。

7、复合数：维度空间合并（数域拓展）

虚数是实数与 i 的复合。矢量（向量）是实数与实数的复合，是多个数构成的有序数组。四元数（quaternions）和八元数（octonions）是在几何计算中（如旋转）常用的四维/八维矢量。

复合数保留了其维度本质。化学方程式是其经典应用：FeSO4 即变长的复合标记。其标记具有「元素」性：低维数字（如省略的 1，与 SO4 的 4）乘高维元素（Fe、S、O，其中 SO4 又可以合并视为整体，是对几何关系的简化标记）

8、拓扑数（象数）：图形化的分子式

复杂的有机物的链式图像标记保留了它的物象结构，即具有拓扑性质的数，也就是象数。

至此，低维线性分析会步入爆炸式的发展——DNA：A-T，G-C 双链螺旋，RNA：A-U，G-C（二级结构有时会：G-U，即 U 二级结构可代替 C） 单链，氨基酸：人体 22 个（20+2），20 常见，另两个由密码子直接编码：含硒半胱氨酸/吡咯赖氨酸。9 种必须。

这些都还可以穷尽。然而蛋白质：人 200 万种，有机物普遍千万种有效蛋白——到蛋白质层面就几乎无法通过分析来穷尽了：氨基酸序列（初级）、α螺旋和β折叠等局部结构（二级）、整体三维结构（三级）、多个蛋白质亚基的组合（四级）。这就是因为三维空间中微妙的非线性扰动可以在更高一层带来无法预测的信息复杂度，这就是「涌现」的一个关键机制。然而，如此庞杂的信息却从底层可以还原到对一维进行零维标记的数字，与宏观上温度、ph、离子浓度等稳定的统计表征参数（当然，不能被完整标记，但实用中往往足够）。

同胚（homeomorphism）是拓扑学中归一化操作：如果一个拓扑空间可以通过连续变形（如拉伸、弯曲、扭转，但不允许撕开或粘合）变成另一个拓扑空间，那么这两个空间就是同胚的。象数操作基本都是同胚操作。如计算机算法计算图问题，如计算地图最短路径，即将现实空间路径化为代码数据结构中的联通结构——数据结构即其取象上的同胚结构。而算法过程中遍历、操作其象即同构于实际问题——其算法本质实际上是真正地将现实「执行」了一遍。数据库设计中的「实体关系图」（UML）是对现实世界实体和关系的同胚表示，神经网络可以被视为对大脑神经元连接的同胚映射。

自然语言可以视作高维拓扑数——这意味着每个 token 都是被压缩后的表征，其中在字形、字音、语法等方面保留着原始高维特征的关键信息胚。

从这个角度来说，每个字都是一种适配人脑的信息编码结构，每句话都以咒语承载的算法，而每个理念都是一个种子——它可以在人脑中发生质变，自动运作，生根发芽。

Now you will know the truth... and the truth will set you free.

情绪与寓言、梦境同胚：先有情绪，后有梦境与象征。

逻辑与线性的情绪反应同胚：现有对事态的分析，后产生线性的情绪逻辑（喜怒哀乐）。

预设的情绪结构（欲望、本能）可以从高维渗透到低维中的 bug 逻辑，带来不可抗力的行动。

而线性的情绪逻辑如果出现问题，可能会形成病灶节点，高度消耗神经的物质与能量，甚至产生病变。

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