哈姆金斯的集合论多宇宙观及其辩护策略（一）

李娜，叶发扬

文章来源：《自然辩证法研究》2022年第12期

李娜，1978年2月入河南大学数学系读本科，后获理学学士学位，1989年7月获中国科学院软件研究所理学硕士学位。1983年起在河南大学政治系工作，1994年—2000年任河南大学政治系副教授，2000年任教授。2002年1月调入南开大学哲学系工作。一直从事现代逻辑的教学与研究。

叶发扬，南开大学哲学院2020级逻辑学专业博士研究生，主要从事现代逻辑研究。

文章摘要

近年来，哈姆金斯的集合论多宇宙观受到广泛关注。

这种多宇宙观以集合论实践中的多样化模型和元数学上的不同集合概念断言为基点，诉诸类比论证、力迫的自然主义解释和理论的实用价值进行辩护。

通过对这三大策略的比较分析发现：实用价值辩护虽然成功但非辩护之根本，类比论证的结论是或然性的，而自然主义解释只是一种形而上学的哲学辩护，并未沿承传统方法对力迫的形式技术辩护进路。

在形式技术进路上，继续寻求解释集合力迫的新方法似乎举步维艰，而从技术源头上引入类力迫也许才是可行的备选方案。

关键词：哈姆金斯；集合论；多宇宙观；力迫扩张‬

全文推送

自康托尔（Georg Cantor）创立集合论以来，集合论单宇宙观（universe view）一直主导着集合论的发展。

它声称存在唯一绝对的集合概念和集合宇宙，真理亦是绝对的。

然而随着选择公理AC和连续统假设CH相继被哥德尔（Kurt Gödel）和科恩（Paul Cohen）证明独立于公理化集合论ZF，特别是力迫法的使用，爆发式地产生了诸多集合论模型。

由此单宇宙观愈发困难于集合论实践的解释，因而一种与之对立的哲学立场——集合论多宇宙观（multiverse view）应运而生。

近年来，多宇宙观与单宇宙观之争更是成为了集合论哲学的热议主题，关于多宇宙的研究成果也日臻丰硕。

如哈姆金斯（Joel David Hamkins）的实在论多宇宙、伍丁（W.Hugh Woodin）的脱殊多宇宙（generic-multi-verse）、斯蒂尔（John R.Steel）的多宇宙语言LMV和多宇宙理论MV。

其中受关注度最高、影响最大、直接挑战单宇宙观的当属哈姆金斯的多宇宙观。

其集合论多宇宙观被高度概括为：“存在多样化的不同集合概念，每个概念在相应的集合论宇宙中被实例化，表现出不同的集合论真理。”

本文旨在廓清哈姆金斯集合论多宇宙观的基本逻辑脉络，着重探究其主要的辩护策略及其困境，探索更适当的可能性辩护进路。

一、哈姆金斯集合论多宇宙观的两个逻辑基点

哈姆金斯集合论多宇宙观的提出，离不开两个重要的逻辑基点：一是集合论实践中存在的多样化模型，二是关于不同集合概念的元数学断言。

1. 实践事实：存在多样化的集合论模型

当前的集合论实践表明，存在多样化的不同集合论模型。

常见的模型有：可构成模型L，L的力迫扩张L[G]和非力迫扩张L[0＃]，具有大基数的模型V及其力迫扩张V[G]，具有大基数的内模型L[μ]和L[E→]，切割域（cut-off universes）Lδ、Vα、Hκ，HOD，超幂（ultrapowers），脱殊超幂（generic ultra powers）等等。

总体而言，哈姆金斯的多宇宙由集合论的一切模型组成，是一个“异质开放式多重体（heterogeneous open-ended plurality）”。

据此他甚至将集合论的研究对象确定为模型。

模型有内模型和外模型之分，单宇宙主义者一般认为内模型不足以支持多宇宙观，因其包含于绝对宇宙V之内。

哈姆金斯反对这种观点，因为我们对内模型的构造和理解都必须依靠外模型，单宇宙观缺乏对可定义内模型的完整解释。

当然真正对单宇宙观提出挑战的是外模型，一个外模型V[G]是在地基模型（ground model）V上通过添加脱殊滤子（generic filter）G而获得的力迫扩张。

由此生成的扩张模型是V的真扩张，换言之，在V之外还存在其他模型。

多宇宙中的宇宙在本体论与认识论上的地位不同。

就本体论而言，它们都是合法的独立宇宙，其中没有一个享有特权。

正如贾莫尼亚（Mirna Džamonja）所说：“鉴于数学证据并不支持这些宇宙中的任何一个优于其他宇宙的事实，这显然是多元论者的观点，无疑是目前唯一合理的观点。”

但在认识论上我们可根据实践需要优先选择偏好宇宙。

哈姆金斯认为，“没有理由平等地考虑多宇宙中的所有宇宙，我们可能更感兴趣的是由满足非常强的理论的宇宙组成的多宇宙的一部分，例如ZFC+大基数。

......我们可能很容易认为一些宇宙比其他宇宙更具有集合论意义。”

2. 元数学断言：存在不同的集合概念

为了谈论不同的集合论模型，哈姆金斯在元数学上断言了不同集合概念的存在。

由于不同宇宙是对不同集合概念的实例化，因此该断言对于多宇宙的辩护十分重要。

但由于他极端强调集合概念的绝对不确定性，致使他最终似乎走向了激进化道路。

例如，在回应范畴问题时，他将自然数概念视作是不确定的，即在不同语境下，同一自然数在不同的模型中概念不同，因而自然数的结构也不唯一。

这一观点遭到了严厉的批判。

首先，我们无法想象两个包含相同的有限数的模型是完全不同的。

对于两个不同的模型，其所包含的对象集存在两种情形：包含完全不同的对象集，或者存在部分相同的对象集。

第一种情形似乎争议不大，而第二种情形则带来了巨大困难。

安托斯（Carolin Antos）等人认为，如果两个模型存在相同的对象集，尤其是包含相同的有限数，那么我们没有理由将它们视为完全不同的模型。

对于模型M和N，“M中的P(ω)可能不同于N中的P(ω)，但是诸如７这样的集合在Ｍ和Ｎ中将是相同的。”

其次，集合概念的绝对不确定性会导致指称与数学基础上的困难。

巴顿（Neil Barton）曾对多宇宙观做过两种解释：本体论解释和代数解释。

但他认为，本体论解释存在一个恶性的非良基依赖链（dependency chain）的指称倒退与元逻辑困难，尤其是集合概念的强相对性削弱了指称能力，如果要描述或指称无数模型则需要无数集合概念。

该困难的解决要求弱化多宇宙观的激进性质，将一些集合概念加以确定性地理解；抑或拒绝本体论解释，坚持代数解释。

就数学基础而言，在文图里（Giorgio Venturi）看来，虽然哈姆金斯强调集合论仍然是数学的基础，但如何调和由不同宇宙实例化的不同集合概念之间的关系是值得怀疑的。

而且“问题是，如果把不同的模型视为不同的数学基础，我们就失去了从概念的角度来比较它们的可能性，除非假设存在一个比我们在每一个宇宙中发现的任何概念更原初的集合的元理论概念”。

也就是说，无论是基于指称还是作为数学基础都对概念的确定性提出了要求。

在笔者看来，哈姆金斯的概念思想遭到反驳的原因，既有自身的因素又有反对者的问题。

就哈姆金斯而言，他断言了不同集合概念的存在，但并未直观阐明概念之间的关系。

细究发现，他关于概念间关系的阐释藏匿于一系列论述中。

具体而言，一方面，由于他的多宇宙观以力迫产生的多样化模型为基点，并且不同模型之间是通过力迫关系、大基数嵌入（large cardinal embeddings）等实现关联的，因而这揭示出了被不同模型实例化的不同概念之间存在扩张关系。

另一方面，哈姆金斯在论及诸如自然数概念在不同的模型中可能不同，甚至存在实例化不相容的集合概念的不同模型时，他确实强调存在绝对不同的集合概念。

综上可知，哈姆金斯实质上最终将这些不同的集合概念进一步划分成两类：一类概念是绝对不同的，另一类概念则存在扩张关系。

乍看起来这似乎是一个悖论性结果，但事实并非如此，因为两类概念的受囿量词是特称的“有些”而非全称的“所有”。

然而，有些反驳者只看到绝对不同概念的存在，并将其进行全称化处理，却忽视了哈姆金斯对概念间扩张关系的最重要阐释。

这显然是一种极大的误解。

因此，对哈姆金斯集合概念思想的正确理解理应是，“在‘概念扩张’的框架内来解释本体论上的多宇宙主义者对概念的使用。”

具体而言，就是在元数学上断言存在某些绝对确定的集合概念，其他概念基于给定的原初概念进行扩张，最终形成由相应的“概念树”组成的“概念林”。

其中，基于不同原初概念的“概念树”之间的任意两个概念完全不同，而基于同一原初概念的“概念树”上的概念之间则存在扩张关系。

二、哈姆金斯集合论多宇宙观的三大辩护策略

尽管哈姆金斯未明确提出相关的辩护策略，但其论述已蕴含之。

我们大致可以将其总结为三大辩护策略：类比论证、力迫的自然主义解释和实用价值辩护。

1. 类比论证策略

“类比论证是类比推理的明确表达，它援引两个系统之间公认的相似性来支持存在一些其他相似性的结论。”

由此定义可知，类比论证成立的前提是两个对象之间的“相似特征”，其结论不具有逻辑必然性。

具体而言，哈姆金斯在辩护中主要涉及集合论与几何学、集合论与算术之间的类比。

首先，将集合论与几何学进行类比。

这种类比从两个方面展开，一个方面是将集合论中的连续统假设类比几何学中的平行公理；另一个方面是将集合论模型的研究方法类比非欧几何的研究方法。

哈姆金斯对研究方法的类比做了详细的阐释，他认为几何学家存在以下研究替代几何的方式：

第一，通过欧几里得空间内的模拟来研究替代几何；

第二，可以在某种意义上跳进替代几何；

第三，可以通过使用定义特定几何的等距群（group of isometries）来对替代几何进行抽象推理。

相应地，集合论学家在研究力迫扩张时也存在相同的三种模式。

第一，通过名字和力迫关系，基于地基模型产生力迫扩张；

第二，亦可通过某种方式跳进替代宇宙；

第三，可以考查布尔代数及其自同构群（automorphism group）、同质性质（homogenetity properties）对力迫扩张进行抽象推理。

该类比试图表明，集合论与几何学存在诸多相似之处，既然非欧几何被广泛接受，那么多宇宙也应该被接受。

其中争议最大的是连续统假设与平行公理之间的类比。

巴顿指出，平行公理和连续统假设存在不同的范畴论证行为。

平行公理独立于二阶公理化，其在不同的模型中存在不同的真值；而诸如连续统假设之类的命题在具有完全语义的ZFC2的所有模型中真值相同。

文图里则指出两者存在实质性的范围差异，平行公理是一个整体原则（global principle），而连续统假设是局部原则（local principle）。

科尔纳（Peter Koellner）等学者似乎持更激进的观点，强调集合论与几何学之间的类比问题绝非仅限于个别命题或公理假设，绝对否定了两个学科领域之间类比的可能性。

他指出：“今天我们区分物理几何和形式几何，集合论与物理几何非常不同。它是否像形式几何的问题，......结论是我们还没有理由认为它是。”

换言之，集合论与几何学完全不同。

其次，将集合论与算术进行类比。

哈姆金斯将集合论中的扩张模型类比算术中的复数。

将绝对宇宙Ｖ比作实数域，脱殊滤子比作虚数，而脱殊扩张比作复数域。

在算术中，由于实数域是存在的，虽然虚数并非实在，但是我们接受其存在，进而产生复数域。

集合论的情形与此相似，我们以Ｖ为地基模型，接受“理想的”脱殊滤子Ｇ的存在，进而产生力迫扩张V[G]。

这一类比在逻辑上极其清晰，由此产生的质疑甚少，惟有科尔纳微弱地发问：“目前尚不清楚哈姆金斯是否认为算术和集合论之间存在实质性的区别。”

换言之，他认为集合论与算术之间也不能进行类比。

由上可见，学者们都是通过表明类比论证的前提不成立来实现反驳的，这抓住了该策略的要害。

但类比对象之间“相似特征”的相似度只会影响结论的可靠程度，不能绝对否定结论的可靠性。

2. 力迫的自然主义解释策略

集合论模型的构造技术甚多，如内模型、力迫法、迭代超幂。

然而在外模型的构造中，力迫法是根本。

对于力迫扩张也存在诸多实现方式，如通过添加科恩实数、真或半真力迫、自编码力迫、Lévy坍塌、Laver预备。

这一切似乎都暗示Ｖ的力迫扩张是真实存在的。

但单宇宙主义者却声称，所有的扩张模型都为Ｖ所囊括，Ｖ即一切。

这一质疑要求多宇宙主义者为力迫扩张的存在进行辩护，而力迫扩张是否存在的最大困难在于脱殊滤子。

解释力迫的两个传统方法是基于形式技术进路的可数传递模型方法和布尔值模型方法。

可数传递模型方法，是从ZFC的一个可数传递模型Ｍ开始，选择一个偏序Ｐ∈Ｍ，并构造出一个脱殊对象Ｇ，从而产生一个满足ZFC＋¬φ（其中¬φ表示命题φ的否定）的可数传递模型M[G]。

而布尔值模型方法，是从一个完全的布尔代数Ｂ开始，并生成一个布尔值模型VB。

当布尔值为１时，VB满足ZFC＋¬φ。

这两种方法可谓瑕瑜互见。

第一种方法可以以非常具体的方式得到力迫扩张，由此生成的原理图（elementary diagram）是图灵可计算的（Turing computable）；

但是它只能解释部分扩张，而且有关于ZFC的可数传递模型在存在方面的元数学问题。

第二种方法较为简单，在扩张中无需引入稠密集和脱殊滤子，摆脱了脱殊滤子的约束；

但它与集合力迫的联系似乎不够紧密，也不能产生真正的新模型。

由于传统解释存在无法规避的困难，哈姆金斯遂提出自然主义解释，并形成了力迫的自然主义解释定理，从而使脱殊滤子的存在是不证自明的。

力迫的自然主义解释表明，以任意的Ｖ为地基模型，我们可以根据需要断言Ｖ-脱殊滤子Ｇ的存在（无论Ｇ是否真实存在），进而得到力迫扩张V[G]。

无疑，该解释极具认识论意义，其使脱殊滤子和力迫扩张似乎都真实存在。

但这种解释不能使单宇宙主义者信服，因为它实质上无法真正说明任何的本体论存在，脱殊滤子和力迫扩张的存在只是“描述性的”“虚幻的”，数学上无法得到证明。

哈姆金斯对此的回应是，“当然，这是一个我们无法在集合论中证明的主张，但是这一哲学立场使我们的经验有意义——以单宇宙观不具有的方式——仅仅通过填补间隙，通过将力迫几乎抓住但并未实际抓住的脱殊对象的实际存在作为一个哲学主张来假设。”

这一回应明确表明，哈姆金斯并未基于理论技术本身对力迫扩张进行辩护，而是诉诸形而上学的哲学解释。

3. 基于实用价值的辩护策略

一个理论的实用价值是该理论得以发展的重要辩护标准，其强调理论的可应用性或相关的功用价值。

通过对哈姆金斯的文本研究，我们已然觉察到，他曾诉诸理论的实用价值对集合论多宇宙观进行过辩护。

首先，多宇宙观有利于产生丰富的数学结果。

理论结果的丰富性是对一个理论进行外在价值辩护的最重要标准。

对集合论而言，“集合论本身现在已经成为数学研究的一门独立学科，而不仅仅是作为其他数学的基础。”

然而，作为一门独立学科的集合论，我们的目标之一是实现理论发展的丰盈性。

哈姆金斯指出，集合论旨在探索其广泛的可能性，而多宇宙观有利于我们培养出一种态度，它将引导研究者提出有趣的集合论问题，并不断找出相应的答案，进而丰富集合论的主题与内容。

他所发展出的两个重要方向———力迫的模态逻辑（the modal logic of forcing）和集合论地质学（set-theoretic geology）就是最好的例证。

其次，多宇宙为单宇宙的裁决提供语境。

在多宇宙立场上，不同宇宙的存在具有两个方面的重要作用，一方面是加深我们对绝对宇宙Ｖ的进一步理解，另一方面是基于多元宇宙之间的比较，从中选取更合适的一个宇宙作为所谓的单宇宙。

哈姆金斯指出，“只有在多宇宙背景下，我们才能明智地比较关于唯一的绝对背景宇宙的竞争建议。从这个意义上说，多宇宙观提供了一个自然论坛来判断在单宇宙观中产生的不同观点。”

再次，强化了集合论哲学研究的新范式：关注集合论实践。

这种观点在近年来主要由麦蒂（Penelope Maddy）所系统研究，而且影响巨大。

麦蒂基于对集合论实践的研究发现，康托尔、戴德金（Richard Dedekind）等人在引入集合时并未断言相关的本体论问题，而仅仅将集合视作为明确的数学目标服务的一种有效手段。

换言之，集合论诞生之初并未带有哲学立场上的倾向性。

但在康托尔之后，集合论学界普遍走上了单宇宙道路。

而独立性现象对这一长期以来所坚持的立场发起了挑战，再次提醒我们关注实践。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。