物理（一）

目录

涌现的涌现 ▹

完美的时空，无限纠缠 ▹

不确定性的重要性 ▹

外星代数 ▹

无界的全息理论 ▹

放大与缩小 ▹

参考 ▹

约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）几乎达到了人类所能接近的柏拉图式天才的理想状态。6岁时，他已经能用古希腊语对话，这位匈牙利人在青少年时期就取得了重要的数学进展。成年后，他发明了博弈论，并参与设计了原子弹和现代计算机。

在这一过程中，1932年冯·诺依曼还是一位年轻人，他重写了量子力学的规则，以数学语言形式制定了今天用于描述粒子及其波动、概率行为的理论。他进一步发展了一个称为“算子代数”(operator algebras) 的框架，以更强大但更抽象的方式描述量子系统。然而，与他早期的量子理论研究不同，这个框架难以理解，并没有在理论物理学中广泛流行。它超越了时代，领先了足足一个世纪。

然而，在过去几年里，越来越多的物理学家开始重新研究冯·诺依曼的想法。他的算子代数现在帮助他们理解迄今最神秘的量子系统：时空的亚结构(the substructure of space and time)。

在冯·诺依曼的工作之前，阿尔伯特·爱因斯坦(Albert Einstein)的相对论已经将空间和时间合并为一个四维结构，称为“时空”。爱因斯坦展示了重力是由这个结构中的弯曲产生的。但物理学家们知道，时空结构并不是全部。当恒星死亡时，它们会在时空中产生深深的扭曲区域，称为黑洞，在这些地方广义相对论的方程失效。即使在时空较为平静的区域，当你放大到最小尺度时，量子波动似乎会将其撕裂。

因此，许多理论物理学家认为，时空最终会像水、金属和许多其他物质一样，表面上看似平滑简单的介质实际上是由复杂的原始量子实体组成的。几十年来，理论家们一直在思考这些实体，以及时空结构是如何从它们中涌现出来的。

这些物理学家现在对时空的量子结构有了更深入的理解。他们正在开发新的方法来预测在时空崩解的极端区域中会发生什么，同时识别出在通常情况下维持时空结构的条件。冯·诺依曼的深奥研究正处于这一进展的核心。

“人们以前对它有点害怕，”阿姆斯特丹大学的物理学家安东尼·斯佩兰扎（Antony Speranza）说道。但“它似乎确实为你提供了一些代数工具，可以让你看到时空正在形成。”

涌现的涌现

春天时，我乘火车前往新泽西州普林斯顿，来到高等研究院的牧场式校园。这是冯·诺依曼开发算子代数数学的地方，也是爱因斯坦移民美国后度过余生的地方，他们都是该研究院第一代教授中的成员。今天这里仍然是基础研究的主要中心。我的第一站是胡安·马尔达塞纳( Juan Maldacena)的办公室，他是当今最受尊敬的理论家之一。

1997年，这位阿根廷物理学家首次揭示了时空涌现的最著名例子——一种神秘的关系，被称为 AdS/CFT 对应(AdS/CFT correspondence)。“它为你提供了一个明确的时空涌现模型，”马尔达塞纳告诉我。

这种对应关系展示了一种令人惊叹的量子现象(quantum conspiracy, 阴谋？)。

为了理解其工作原理，想象你有一张二维金属薄片，像一个空心的铝球一样被包裹成球形（它仍然是二维的，因为你可以用经度和纬度来定位其上的任何点）。这张薄片上存在量子粒子，它们可以被视为介质中微小的波动，这些介质称为量子场。这些场及其波动遵循复杂但经过严格验证的数学规则，被称为量子场论。在这种情况下，这些波动遵循一种对称理论，称为共形场论（CFT）。

令人惊讶的是，马尔达塞纳和其他人在成千上万篇论文中探讨的发现是，这个二维表面在数学上等同于它所包围的三维体积，称为“体积”或“bulk”。这种对偶性产生了一个完整的玩具宇宙。例如，二维边界上的某些波动集合可能代表体积中的三维恒星，另一些则代表体积中的行星。

这个体积宇宙与我们的不同之处在于其空间具有固有的负能量，使其成为“反德西特”空间（AdS）。但除此之外，它与我们的宇宙非常相似：它是一个可变形的时空结构，其曲率产生重力。AdS/CFT 对应关系带来了一个令人兴奋的可能性：物理学家可以绕过他们尚未理解的物理现象（体积中的量子引力），只利用他们已经理解的物理学（量子场论）进行研究。

“这表明重力并不是独立于常规量子理论的东西，”韩国科学技术院的物理学家Josephine Suh说道。“它表明重力只是量子理论的一种不同描述。”

马尔达塞纳的“全息对偶性”将低维边界上的共形场论（CFT）与体积中的反德西特（AdS）时空联系起来。然而，他的工作并未具体说明边界上哪些量子波动模式代表体积中的恒星，哪些会将时空扭曲成黑洞。因此，在接下来的几十年里，研究人员开发了越来越复杂的方法来解决这个问题。这些方法涉及强大的数学工具，如张量网络和量子纠错码，大致上来说，它们就是在边界球面上敲击出波动模式，以对应体积中特定位置的测量结果。

没有人知道我们现实宇宙的时空结构是否是全息的。负能量的AdS空间的一个便利特征是，它有一个空间边界供这些量子波动存在，而我们的宇宙没有这样的边界。然而，AdS/CFT 对应关系提供了一个探索这种时空涌现的玩具模型。

“AdS/CFT 是一个看起来荒谬的建议，本应显得愚蠢，”研究全息理论的加州大学伯克利分校物理学家Geoff Penington说道。“但当你尝试所有这些方法时，结果却发现它们都是一致的。”

但全息理论尚未能告诉物理学家他们最想知道的问题：在被称为奇点的黑洞深处发生了什么？在这里，爱因斯坦的方程失效，平滑的时空结构崩溃？当宇航员或传感器接近这个奇点时，会观察到什么奇异现象？理论家们知道如何提取黑洞外部的边界涟漪来进行测量，但他们仍然不知道与将探测器送入黑洞并获取其读数相对应的节奏。今天这些问题显得有些深奥，但许多全息研究者希望有一天能将这些涟漪编程到未来的量子计算机中，以模拟爱因斯坦时空结构的崩溃。

“如果你想在60年后在量子计算机上模拟一个黑洞，你会问什么问题？”麻省理工学院的物理学家乔纳森·索斯（Jonathan Sorce）说。“我甚至无法告诉你该进行什么计算。”

为了找到答案，物理学家们一直在努力弄清近一个世纪前天才冯·诺依曼（von Neumann）在研究什么。

完美的时空，无限纠缠

在2020年，麻省理工学院的物理学家刘洪（Hong Liu）正在思考这个问题。黑洞深处的盲点令他苦恼。他特别想知道，哪组边界涟漪能模拟黑洞内部的时间流动——进入黑洞的飞船上时钟的滴答声。

“这段时间非常神秘，”在一次拜访他的办公室时刘告诉我，他桌子上倾斜的黄色法律便签堆看起来随时可能经历一种平常的重力崩溃。“你如何使用这个边界来描述进入[黑洞]视界的时间？”

为了研究这一点，刘和他的学生山姆·莱特哈瑟（Sam Leutheusser）构想了一个他们能想象的最纯粹的时空中的黑洞。在全息理论中，边界上涟漪的场越多，整体就越接近爱因斯坦的时空结构——平滑而连续。真实的时空（如自然界中的其他一切）应当经历量子波动，这模糊了“这里”和“那里”的概念。首先理解平滑的理想化时空可以作为理解真实的、量子力学波动结构的热身问题，而这种结构则由量子引力理论描述。

刘和莱特哈瑟想知道，当边界场变得无穷无尽时，究竟会发生什么变化——这对应于大块时空最后量子波动的消逝。“为了让所有这些时空出现，需要什么样的数学和物理结构？”刘问道。

但是，更多的场意味着更多的问题。这些场中的波动（也就是粒子）可以通过一种称为纠缠的内在量子关系相互依赖。当两个粒子强烈纠缠时，测量它们的取向会发现它们总是指向相反的方向。同样，在某一点上，某个场的波动可能依赖于其他场中远处的波动。

由于刘和莱特哈瑟想要在完美的时空中描述一个完全平滑的黑洞，他们需要在边界上有无限数量的量子场。但这造成了问题。边界的任何区域都会有无限的纠缠，因为该区域的量子波动会与其外部无数的波动纠缠在一起。因此，熟悉的全息工具变得无用。为了理解从波动到平滑时空的过渡，这对搭档需要掌握这种新的无限。

“你真的想找到某种内在的方式来描述这种无限的纠缠，”刘说。“令人惊讶的是，冯·诺依曼在1930年代早期的一些工作恰好是解决这个问题的完美工具。”

不确定性的重要性

到1932年，29岁的冯·诺依曼重新发明了新兴量子力学的数学语言。将他的语法连接在一起的动词是物理动作——比如测量粒子的位置、移动它，或将其翻转过来。通过列出这些操作及其组合规则，可以捕捉到任何量子系统（从氢原子到太阳系）内部可能发生的每一个物理方面。

这些列表被称为算子代数。它们相当于对在某一特定区域内可能发生的所有事件的详细记录，而对于外部宇宙的其余部分则一无所知。

冯·诺依曼和他的合作者弗朗西斯·穆雷最终识别出了三种类型的算子代数。每种类型适用于不同的物理系统。这些系统是根据两个物理量进行分类的：纠缠和一种称为熵的属性。

物理学家在19世纪研究蒸汽机时首次发现了熵。后来，他们将其理解为不确定性的度量。比如，你可能知道气体的温度，但对于其所有分子的具体位置仍然感到不确定。熵计算分子的位置和轨迹可能存在的状态数量。同样，在量子系统中，熵也是你无知的一个度量。它告诉你，由于你的量子系统与外部世界之间的纠缠，你无法访问多少信息。

冯·诺依曼代数规定了一个系统具有何种类型的纠缠，并因此确定了你对其了解的程度。

类型 I 代数是最简单的。它们描述的是具有有限部分的系统，这些部分可以完全与外部宇宙解纠缠。因此，如果系统的部分确实与外部发生纠缠，你可以准确地知道它们的纠缠程度。它们的熵——你不了解的部分是有限的。你总是可以精确计算出它的值。索尔斯将这种代数比作一个烧杯，水位代表熵。你可以看到底部，因此你知道水的高度。

类型 II 代数更复杂。它们描述的是具有无限部分的系统，这些部分与外部纠缠不可分割。绝对熵是无限的，因此没有意义。但该系统具有某种均匀性，为你提供了一个参考点。例如，部分可能都与外部尽可能纠缠在一起。那么，如果你解纠缠五个粒子，你知道纠缠减少了五个单位。绝对的不确定量是无法知晓的，但你比之前稍微少了一些不确定性；确切地说，减少了五个单位。你看不到烧杯的底部，但你可以看到水位的升降。

最后一种，类型 III是最糟糕的：它描述的是一个具有无限部分、与外部无限纠缠且在纠缠中没有均匀模式的系统，无法帮助你定位。甚至熵的变化也无法知晓。烧杯的底部太远而无法看到，水位也同样遥不可及。

“类型 III 真是糟糕透顶，没有人愿意处理它们，”佩宁顿说（使用的语言比“糟糕透顶”更强烈）。

当冯·诺依曼和穆雷首次遇到类型 III 代数时，他们发现这些代数过于陌生，无法理解。这些代数的性质在接下来的三十多年里仍然是个谜，直到法国数学家阿兰·孔纳斯(Alain Connes)在 1973 年成功定义了它们。这一成就为孔纳斯赢得了菲尔兹奖，数学界的最高荣誉。他确定类型 III 代数的独特之处与一种极具技术性的属性——模流（modular flow）有关。

粗略来说，模流类似于时间的流逝——但更为抽象。这是一个物理过程，它使得系统在特定温度下保持该温度。室温的茶杯自然经历模流（以及正常的物理时间），因为它保持在室温下。但对于一杯蒸汽腾腾的热茶，模流则是保持其永远热度所需的操作序列。这不是自然发生的事情，因为它需要不断调整所有茶的原子，但这个过程可以用数学来指定。孔纳斯意识到，类型 III 代数描述的是一个与其环境高度纠缠的系统，以至于系统的模流也与外部发生的事情不可分割。

数学家们——以及一些无畏的物理学家——将继续研究冯·诺依曼代数及其模流。然而，只有在最近几年，量子引力研究人员才开始认识到它们的强大之处。

外星代数

当刘和莱特哈瑟试图理解黑洞内部发生的事情时，他们将其置于一个完全平滑的体积时空中。他们知道，波动的量子时空对应于边界上的有限数量的纠缠场和类型I理论。但随着他们在边界上添加场以确保时空变得平滑，他们发现代数从类型I变为类型III。换句话说，场越多，纠缠越多，时空的行为越接近其理想化的经典版本。

随后，他们利用类型 III 代数中无可救药的纠缠模流，窥探了潜伏在其体积中的黑洞。起初，他们用一种简单的边界涟漪模式，这种模式已知可以模拟黑洞外部的测量设备，他们认为涉及类型 III 模流的某种程序可以将该设备带入黑洞内部，从而测量时间的流动。这个过程实现了刘的目标，即确定什么复杂的边界涟漪模式等同于全息黑洞内部的滴答时钟。

刘说：“这些新结构为你提供了涌现的时间。”

他们并不是唯一重新发现冯·诺依曼代数的物理学家。其他小组也在利用模流来理解黑洞。例如，2017 年的一项提议将测量设备放入黑洞，并以某种方式打乱它，使其最终在黑洞外。而在 2020 年，研究人员设想将一个小黑洞发射到一个较大的黑洞中，并利用小黑洞的模流将其带回。

索斯说，他在这个春季工作了另一个模流程序，这些算法都朝着一个单一的目标努力：理解量子粒子在奇点附近的行为。奇点将存在于反德西特空间（AdS space）中，而不是在一个现实的宇宙中，但大多数全息学者预计，所有时空结构应该以类似的方式磨损。（全息学社区以外的物理学家对此假设表示质疑。）索斯说：“如果你能在量子层面理解 AdS 空间中的奇点，你会非常高兴地宣称在我们的宇宙中理解它们的胜利。”

刘和莱特哈瑟使一直处于数学物理学边缘的领域引起了关注。加州理工学院的数学物理学家埃利奥特·杰斯托说：“在刘的论文之前，这有点像一个梦想。人们有一种直觉，这一定很重要，但不清楚如何将这种直觉变得精确。”

但也许更重要的转折点出现在一篇 2022 年的论文中，该论文利用刘和莱特哈瑟的代数视角，向着我们的无边界宇宙迈出了modest 的一步。其作者是爱德华·维滕(Edward Witten)，或许是当今最受尊敬的理论物理学家，也是唯一获得菲尔兹奖的理论物理学家。

“那时我变得非常感兴趣，”佩宁顿说。

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