数学

伊卡洛斯基数

存在一个L(V_λ+1，lcuras)非平凡基本嵌入，其临界点低于λ，同时伊卡洛斯存在于V_λ+2-L(V_λ+1)

称X是伊卡洛斯集，当且仅当V＿λ+2是X与Y的不交并，以至于任意y∈Y，j：(Vλ+1,X∪{y})→(Vλ+1,X∪{y})都可应用库能的证明

所以j:(Vλ+1,X)→(Vλ+1,X)就是j:Vλ+2→Vλ+2之下与选择公理兼容的一致性最强的嵌入形式

令X⊂Vλ+1为Icarus那么 Y∈L(X,Vλ+1)∩Vλ+2使得ΘL(X,Vλ+1)＜ΘL(Y,Vλ+1)

非选择基数范畴的伊卡洛斯集，j:Vλ+1→Vλ+1与j:Vλ+2→Vλ+2之间元素组成的最大集合就是伊卡洛斯集

称集合X∈V_λ+1为一个伊卡洛斯集，当且仅当存在非平凡初等嵌入j: L(X，V_λ+1)＜L(X，V_λ+1)，其临界点低于λ

那么 L(Y,Vλ+1)♯存在以及 L(Y,Vλ+1)♯∈L(X,Vλ+1)

并以至于∀y∈Y，j：(Vλ+1,X∪{y})→(Vλ+1,X∪{y})都可应用库能的证明

所以j:(Vλ+1,X)→(Vλ+1,X)就是j:V＿λ+2→V＿λ+2之下与选择公理兼容的一致性最强的嵌入形式

n-巨大基数

n-巨大基数的定义依赖于递归的方式

①:j: V＞M, crit（j）= K ∧ʲⁿ⁽ᵏ⁾ M⊆M

②：巨大基数，它有以下等价定义：κ是巨基数，当且仅当存在不可达的λ＞κ，且存在非平凡初等嵌入j:V＿λ+1→V＿λ*+1，cr(j)=κ，j(k)=λ已知2-巨基数已经强于V＿λ+a到V＿λ*+a*的非平凡初等嵌入，其中a取任意大于λ的不可达基数至于n-巨基数，就是嵌入点重置n次

③：无限基数κ被称为n-巨大的，如果对于每个λ＞κ，都存在一个非主超滤U在Pκ(λ)上，使得j_U(κ)＞n，其中j_U是U产生的初等嵌入

1-巨大基数

①：若V中存在一个初等嵌入j:V→M从V到一个具有临界点k的可传递内模型，j(K)M⊂M，k为巨大基数；

②：一般如果V中存在一个初等嵌入j:V→M从V到一个具有临界点κ的可传递内模型，那么它就是巨大基数，j(κ)M⊂M

③（应该不是）：一个基数κ被称为1-巨大基数（或简称巨大基数），如果对于任何正则基数λ＞κ，都存在一个λ-完全的超滤子U在Pκ(λ)上，使得对于任何X⊆Pκ(λ)，如果X在U中是站立的，那么存在一个函数f:λ→κ，使得对于任何α＜λ，X中都存在Y，使得Y∩Xα=∅，并且f"Y⊆Xα

殆巨大基数

存在一个大基数对象k,其能够使得ZFC+ω₁系统域系统域中σ理想是一个“ω₂饱和态的

构造：嵌入j:V→M任意初等嵌入都满足crit (j)=k 以及ℷᴍ⊆M且存在第n次迭代所形成jⁿ的拥有与其相同为属性并再满足λ＜jⁿ

并有进一步构造初j:V→M满足crit(j)=k,那么M在长度为ℷ下的序列=sup{jⁿ(k)n∈w)}下是封闭的，那么对于n∈W中如果是对于所有的λ＜j(k)情况的话就有一个殆-巨大基数

一个基数κ被称为殆-巨大基数，如果对于任何正则基数λ＞κ，都存在一个λ-完全的超滤子U在Pκ(λ)上，使得对于任何X⊆Pκ(λ)，如果X在U中是站立的，那么存在一个函数f:λ→κ，使得对于任何α＜λ，X中都存在Y，使得Y∩Xα=∅，并且f"Y⊆Xα

若对于任意的f：κ→κ：这里的κ是一个基数，函数f是从这个基数到自身的映射，这意味着要考虑所有可能的这样的函数

存在j′：V→M′使得crit(j)=k且V⊆M′：这里引入了一个从整个集合论宇宙V到另一个传递类M’的映射j'：

“crit(j)＝κ”表示这个映射的临界点是κ，即存在一个最小的序数α，使得j'（α）≠α，而这个最小序数就是κ，同时要求整个集合论宇宙V是M’的子集，意味着M'在某种程度上包含了所有的集合。

其中M′是传递的

综合上达后称κ为谢拉赫基数，'作区分不同

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