数学

司寇伦基数

如果一个基数κ满足，对于任意一个集合论语言的语句集∑，如果∑在某个基数大于等于κ的传递模型中可满足，那么∑在某个基数为κ的传递模型中也可满足，这样的基数κ就被称为司寇伦基数

一阶逻辑的司寇伦基数等价于阿列夫零，二阶逻辑的司寇伦基数等价于某些足够大宇宙的∏2正确基数

超世界基数

k是k-世界基数，即对于任意α＜k，k都是α-世界基数且是α-世界基数的极限

不可展开/折叠基数

①：一个基数κ 是强 λ 不可折叠的当且仅当对于每个ZFC负幂集的基数 κ 的传递模型 M使得 κ 在M中并且M包含其所有长度小于 κ 的序列，存在一个非-将M的平凡基本嵌入j到传递模型“N”中，其中 j 的临界点为κ，j (κ) ≥ λ，并且 V(λ) 是N的子集

②：基数κ是λ不可展开的当且仅当对于 ZFC 的基数κ的每个传递模型 M（负幂集使得κ在 M 中并且 M 包含其所有长度小于κ的序列），有将 M 的非平凡基本元素 j 嵌入到传递模型（N）中，其中 j 的临界点为κ且 j(κ)≥λ

不失一般性，我们也可以要求N包含其所有长度为 λ 的序列

同样，一个基数是强可展开的当且仅当它对于所有 λ 都是强 λ-不可展开的

强可展开基数

形式上，基数κ是λ不可展开的当且仅当对于ZFC的基数 κ 的每个传递模型 M负幂集使得 κ 在M中并且M包含其所有长度小于 κ 的序列，有将M的非平凡基本元素j嵌入到传递模型中，其中 j 的临界点为κ 且j (κ) ≥ λ

一个基数是可展开的当且仅当它对于所有的序数λ 都是 λ-不可折叠的

超展开基数

一个基数κ被称为超展开基数，如果对于任意的λ≥κ，都存在一个初等嵌入j：V→M，使得κ是j的临界点，M是传递类，并且对于任意的α＜λ，都有j“Vα⊆M，且M的基数至少为λ，并且在M中，j(κ)是λ超紧致基数

这些性质本质上是强和超紧基数的较弱版本，与V = L一致

许多与这些基数相关的定理都可以推广到它们的可展开或强展开对应物

例如，强展开的存在意味着适当强迫公理的稍弱版本的一致性

高跳基数

κ是高跳基数当且仅当在临界点κ时存在一个初等嵌入 j:V→M间隙θ使得 Mθ⊆M：M包含了所有的长度为θ的M的元素序列。

高跳基数是基本嵌入j的关键点:V→M使得M在长度sup{j(f)(κ)|f:κ→κ}。

超级高跳基数

基数κ为超级高跳的当且仅当存在拥有高度为Ord（宇宙V的）的高跳嵌入

正确基数

一个基数κ被称为正确基数，如果对于任何一个公式φ和任何小于κ的参数，若V中满足φ，那么Vκ中也满足φ，且反过来也成立，也就是说，Vκ这个集合层次与整个集合论宇宙V在涉及小于κ的参数的公式判断上是一致的

如果一个基数κ满足：对于任何一阶逻辑的∏₁语句φ，如果结构Vκ（即由小于κ的所有集合构成的集合论结构）满足φ，那么整个集合论宇宙V也满足φ，这样的基数κ就被称为∏₁正确基数

将“任何一阶逻辑的∏₁语句φ”中的“一阶”与“∏₁”改为“二阶”与“∏₂”就可以得到∏₂正确基数，之后的以此类推

例：∏₍ₒₘₑ₉ₐ₎正确基数/∏＿ω正确基数：

如果一个基数κ满足，对于任何一个二阶逻辑的形如∀x₁∃x₂∀x₃∃x₄……（其中量词交替出现共ω次）的语句φ，如果Vₖ⊨φ，那么φ在真正的集合论宇宙V中也成立，这样的基数κ就被称为∏＿ω正确基数。

0-反射基数

定义强嵌入关系(Va*∈，R*)＜*(Vk，∈，R*)表示“对任意R∈Vk+1，均有α＜k，使得(Va，∈，RnVa)＜(Vk，∈，R)”其中a*为这些α的收集，＜*为初等嵌入的收集，R*是一串符号集，实际意义视情况而定

二重链的情况

如(Va*,∈,R*)＜1*(Vβ*,∈,R*)＜2*(Vk,∈,R*)意义为“对任意R∈Vk+1，均有β＜k，使得(VB,∈,RnVB)＜(Vk,∈，R)，且对任意R∈Vβ+1，均有α＜β，使得(Va,∈,RnVα)＜(VB,∈，R)”其中＜1*与＜2*是不同的初等嵌入收集k为1-反射基数，当且仅当存在α＜β＜k，使得(Va*,∈,R*)＜1*(Vβ*,∈,R*)＜2*(Vk,∈,R*)

k是n-反射基数，当且仅当存在一条长为n的二阶参数强嵌入初等链：(Vk1,∈,R*)＜*'(Vk2,∈,R*)＜*2...<*n(VK,∈,R*)

k是α-反射基数，α＜k，且α是极限序数，则存在一条α长的二阶参数初等链，且(Vk，∈，R*)为此链的并

k是Ω+1-反射基数，当且仅当对于任意R∈Vk+1都有α＜k满足(Va，∈，RnVa)＜(Vk，∈，R)，且α是Ω-反射基数

k是Ω+2反射基数，当且仅当存在二重强嵌入链：

(Va,∈,R*)＜*1(Vβ,∈,R*)＜*2(Vk,∈,R*)，且α是Ω-反射基数

k是Ωx2-反射基数，当且仅当有一条长度为k的Ω-反射基数组成的初等链，且(Vk，∈，R*)为它们的并

k是Ω^2反射基数，当且仅当有一条长度为k的Ω·α-反射基数组成的初等链，且(Vk，∈，R*)为它们的并

总结：反射性基数是正确基数的不可达基数版本，反射基数是马洛基数的强化，对弱紧致基数的逼近

可反射基数是对反射原则的反射

广义反射基数

称K是广义反射基数，当且仅当存在α＜k，使得(Va，∈，Va+1)是(Vk，∈，Vk+1)的初等子结构，放到V上就是(Vk，∈，Vk+1)非平凡初等嵌入到(V，∈，C)，其中C是所有真类的收集，这个大基数远超不可描述基数，ERP都只能属于它的小弟

伯克利基数

伯利克基数是ZFC集合论模型中的基数κ，由休·伍丁（Hugh Woodin）在 20 世纪 90 年代初于加利福尼亚大学伯克利分校的一次研讨会上提出

简单来说，伯克利基数具有这样一种性质：无论考虑怎样的包含它的传递集以及比它小的序数，都能找到这样一种特殊的映射关系，满足相应的条件

伯克利基数与选择公理不兼容

对于任意的传递集 M 定义 S（M）为包含所有非平凡初等嵌入 j:M→M 的族proto-Berkeley cardinal：

S(M) 内的所有成员在crit(j)＜δ 处使得 δ∈M 且存在一个 j∈S(M).对于一切传递集M，满足κ∈M 均存在 j:M→M 且crit(j)＜κ

无界闭伯克利基数

①：在基数κ是伯克利基数下，如果对于任何带κ的传递集k∈M和任何序数α＜κ，都有一个初等嵌入j:M

该基数是在ZF集合理论的背景下定义的，不符合选择公理

如果存在一个伯克利基数，那么就有一个“对力迫扩张绝对”，它使最小的伯克利基数有共尾性ω

通过对κ的施加一定的条件(共轭关系越大，κ越强，直至正则κ)，似乎可以增强Berkeley性质，如果κ是Berkeley和α，α∈M且M有传递，那么对于任意α＜k，都有一个j:M＜M和α＜crit j＜k和crit j(a)=a，对于任意一个可传递的M∋k都存在j:M≺M与crit j＜k(初始伯克利基数)

基数是α-初-Berkeley当且仅当对于任何传递集M∋κ存在j:M≺M和α＜crit j＜k，因此如果δ≥k，δ也是α-初-伯克利，最小的α-初-伯克利基数被称为δ_α我们称κ为club-伯克利，如果κ是正则的，并且对于所有club→C⊆κ和所有带κ的传递集M∈M

有j∈ε(M)和crit (j)∈C我们称κ为limit club伯克利，它是一个club伯克利基数/limit伯克利基数(如果K为最小的伯克利，则y＜k。

莱因哈特基数

如果存在一个非平凡的初等嵌入j：V→M，其中M是传递类，并且crit（j）＝κ（ 是该嵌入的临界点），同时j（κ），那么基数κ被称为莱茵哈特基数

这个定义明确地引用了适当的类j，在标准ZF中，类的形式为{x|Φ(x,a)}对于某些集合a和公式Φ

但是在Suzuki中表明没有这样的类是基本嵌入j ：V→V.

还有其他已知不一致的莱因哈特基数公式

一是新增功能符号j用ZF的语言，连同公理说明j是的基本嵌入V，以及所有涉及的公式的分离和收集公理j

另一种是使用类理论，如NBG或KM，它们承认在上述意义上不需要定义的类

又或是有一个公理主张存在被称为莱因哈特基数的基数

简单来说，反射论证j：V→M的强度会随着M的扩张而不断增强，所以在M为V时（即j：V→V）会产生这种情况下最强大的基数，即莱因哈特基数。

超级莱茵哈特基数

①：超级莱因哈特基数对于任一序数α，存在一j:V→V and j(K)＞α并具有临界点K，可以称为0=1是因为足够大的大基数公理会导致不一致性，从而使该系统下所有命题为真。

②：基数κ被称为超级莱因哈特基数，如果对于任意序数α，都存在一个非主超滤U在Pκ(α)上，使得j_U(κ)＞α，其中j_U是U产生的初等嵌入。

③：α为序数，如果存在一个非平凡初等嵌入序列jₐ：V→M，使得对于每个α，crit（jₐ）＝κ（κ是该序列的共同临界点），并且jₐ（κ）＝κ，同时序列具有一些特殊的性质，如单调性等，那么基数κ被称为超级莱茵哈特基数，可以称为0=1是因为足够大的大基数公理会导致不一致性，从而使该系统下所有命题为真。

V与L

“V”通常被用来表示整个集合论宇宙，即所有集合的全体，可构造集合的类（L）具有以下特点：

确定性：

可构造集合的类是通过一个明确的、逐步的构造过程得到的。

从空集开始，按照特定的规则进行幂集运算、并集运算以及只选择可明确定义的集合加入，每一步都有严格的操作规范。

这种确定性使得可构造集合的性质相对容易把握和研究。

对于给定的集合论问题，可以在可构造集合的框架内进行分析，利用其明确的构造过程来推导结论。

相对受限性：

与整个集合论宇宙（V）相比，可构造集合的类在范围上可能相对较小。

由于其构造过程的特定规则，一些在一般集合论宇宙中可能存在的集合可能不在可构造集合的类中。

例：某些通过非构造性方法可能得到的集合可能无法在可构造集合的类中出现。这种受限性一方面使得可构造集合的类具有一定的简洁性和可研究性，但另一方面也引发了关于其是否能完全代表集合论宇宙的争议

与公理的关系：

可构造性公理（V = L）直接将整个集合论宇宙等同于可构造集合的类。

在接受可构造性公理的情况下，所有的集合论研究都在可构造集合的范围内进行。

可构造集合的类与其他集合论公理也有密切关系。

例如，在可构造集合的类中，一些公理可能具有特定的形式或性质。

连续统假设在可构造集合的类中可以被证明成立，这显示了可构造集合的类与特定数学命题之间的紧密联系。

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